Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus gehören zu den Areafunktionen. Sie sind die Umkehrfunktionen zu Sekans hyperbolicus bzw. Kosekans hyperbolicus. Als Funktionen werden sie
oder seltener
bzw.
und seltener
geschrieben.
Man definiert den Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus meist über:
![{\displaystyle \operatorname {arsech} (x)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271ad8fe7efa074388eabe603934cde5217d0418)
![{\displaystyle \operatorname {arcsch} (x)={\begin{cases}\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)&,{\text{für }}x>0\\\ln \left({\frac {1-{\sqrt {1+x^{2}}}}{x}}\right)&,{\text{für }}x<0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/065cc8d3a2c26cfa14bfa6100eed958c70bc3b24)
Hierbei steht
für den natürlichen Logarithmus.
Graph der Funktion Areasekans hyperbolicus
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Graph der Funktion Areakosekans hyperbolicus
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Areasecans hyperbolicus
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Areakosekans hyperbolicus
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Definitionsbereich
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Wertebereich
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Periodizität
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keine
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keine
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Monotonie
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streng monoton fallend
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streng monoton fallend
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Symmetrien
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keine
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Ungerade Funktion
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Asymptote
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;
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;
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Nullstellen
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keine
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Sprungstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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Extrema
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keine
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keine
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Wendepunkte
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keine
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Es gilt:
![{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,2=\ln \Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f02decce341ca81de2779026dbab3c3f92d37c2)
wobei
den goldenen Schnitt bezeichnet.
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {2}{x}}\right)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{2k}}{(2k)!!2k}}&\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \,0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {P_{k-1}(0)}{k}}x^{k}\\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\cdot ({\tfrac {1}{2}})_{k-1}}{(2k-1)(k-1)!}}\,x^{1-2k}\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb17ac894f057c0a82c8bc83f1bfa28aef371b7)
Dabei ist
das
-te Legendre-Polynom und
steht für das Pochhammer-Symbol.
.
.
Stammfunktionen des Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus sind:
![{\displaystyle \int \operatorname {arsech} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arsech} (x)-\arctan \left({\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3500ec9da6e8ac1ed1022f83f0c7d0792da850f)
![{\displaystyle \int \operatorname {arcsch} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsch} (x)+\ln \left(x+x{\sqrt {1+{x}^{-2}}}\right)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/143b36f8d68336d135acbf2214d043c6332aa301)
![{\displaystyle \operatorname {arsech} \,(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fcded9f5c5d0188e3c3938d53a43751f33856b)
![{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,(x)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b28d1ce45e71b107498a93ecfe6ea2d533046d1)