Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten a und b sowie der Hypotenuse c ist die Summe der Kathetenquadrate a² und b² gleich dem Hypotenusenquadrat c².

Der Satz des Pythagoras ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind $a$ und $b$ die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und $c$ die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, dann lautet der Satz als Gleichung ausgedrückt:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit Pythagoras’ in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte. In der modernen Mathematik motiviert der Satz das Konzept des Senkrechtstehens in mathematischen Räumen.

Mathematische Aussage

Bezeichnungen am rechtwinkligen Dreieck

Der Satz des Pythagoras lässt sich folgendermaßen formulieren:

Sind $a$, $b$ und $c$ die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei $a$ und $b$ die Längen der Katheten und $c$ die Länge der Hypotenuse ist, so gilt $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

In Worten ausgedrückt ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat. In der geometrischen Anschauung entspricht die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gerade der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.

Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:

Gilt die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ in einem Dreieck mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$, so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite $c$ gegenüber liegt.

Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes.

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c²-b²=a² Dies ist die Formel zum berechnen einer Kathete, wenn c² gegeben ist und a² oder b² gesucht ist.

Verwendung

Längen im rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.

Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist es, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die Dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:

${\begin{aligned}a&={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}\\b&={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}\end{aligned}}$

Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, um zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird schlicht getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist:

• sind die Seitenlängen $3$, $4$ und $5$, dann ergibt sich $3^{2}+4^{2}=9+16=25=5^{2}$ und somit ist das Dreieck rechtwinklig
• sind die Seitenlängen $4$, $5$ und $6$, dann ergibt sich $4^{2}+5^{2}=16+25=41\neq 6^{2}$ und somit ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Weiterhin folgt aus dem Satz des Pythagoras, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als beide Katheten zusammengenommen sein muss.

Pythagoreische Tripel

→ Hauptartikel: Pythagoreisches Tripel

Unter allen Dreiergruppen $(a,b,c)$, die die Gleichung $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen $a$, $b$ und $c$ jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste solche Tripel bilden die Zahlen $3$, $4$ und $5$. Pythagoreische Tripel werden seit altersher zur Konstruktion rechtwinkliger Dreiecke verwendet. Ein Beispiel ist die Zwölfknotenschnur, mit der ein Dreieck gelegt wird, dessen Seiten die Längen $3$, $4$ und $5$ haben. Die beiden kurzen Seiten bilden dann einen rechten Winkel.

Der große fermatsche Satz besagt, dass die $n$-te Potenz einer Zahl, wenn $n>2$ ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Zahlen $\neq 0$ und natürliche Potenzen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:

Die Gleichung $a^{n}+b^{n}=c^{n}$ besitzt für ganzzahlige $a,b,c\neq 0$ und natürliche Zahlen $n>2$ keine Lösung.

Das ist erstaunlich, weil es für $n\leq 2$ unendlich viele Lösungen gibt. Für $n=2$ sind dies die pythagoreischen Zahlentripel.

Euklidischer Abstand

→ Hauptartikel: Euklidischer Abstand

Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte $(x_{0},y_{0})$ und $(x_{1},y_{1})$ in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand $c$ durch

$c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}$

gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehrere Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum

$c={\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}}}$.

Beweise

Für den Satz sind mehrere hundert verschiedene Beweise bekannt. Der Satz des Pythagoras ist damit der meistbewiesene mathematische Satz. Exemplarisch werden nachfolgend drei geometrische Beweise vorgestellt. Ein vierter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield.

Geometrischer Beweis durch Ergänzung

Positionierung von vier Dreiecken in einem Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$

In ein Quadrat mit der Seitenlänge $a+b$ werden vier gleiche (kongruente) rechtwinklige Dreiecke mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ (Hypotenuse) eingelegt. Dies kann auf zwei Arten geschehen, wie im Diagramm dargestellt ist.

Die Flächen des linken und des rechten Quadrates sind gleich (Seitenlänge $a+b$). Das linke besteht aus den vier rechtwinkligen Dreiecken und einem Quadrat mit Seitenlänge $c$, das rechte aus den gleichen Dreiecken sowie einem Quadrat mit Seitenlänge $a$ und einem mit Seitenlänge $b$. Die Fläche $c^{2}$ entspricht also der Summe der Fläche $a^{2}$ und der Fläche $b^{2}$, also

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Geometrischer Beweis des Satz des Pythagoras (Animation)

Eine algebraische Lösung ergibt sich aus dem linken Bild. Das große Quadrat hat die Seitenlänge $a+b$, und somit die Fläche $(a+b)^{2}$. Zieht man von dieser Fläche die vier Dreiecke ab, die jeweils eine Fläche von ${\tfrac {ab}{2}}$ (also insgesamt $2ab$) haben, so bleibt die Fläche $c^{2}$ übrig. Es ist also

$(a+b)^{2}=2ab+c^{2}$.

Aus Auflösung der Klammer folgt

$a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}$.

Zieht man nun auf beiden Seiten $2ab$ ab, bleibt der Satz des Pythagoras übrig.

Scherungsbeweis

Zweifache Scherung der Kathetenquadrate und Drehung in das Hypotenusenquadrat

Ähnlichkeit der Dreiecke $ACB$, $CBD$ und $ACD$

Eine Möglichkeit ist die Scherung der Kathetenquadrate in das Hypotenusenquadrat. Unter Scherung eines Rechtecks versteht man in der Geometrie die Überführung des Rechtecks in ein Parallelogramm unter Beibehaltung der Höhe. Bei der Scherung ist das sich ergebende Parallelogramm zu dem Ausgangsrechteck flächengleich. Über zwei Scherungen können die beiden kleineren Quadrate dann in zwei Rechtecke umgewandelt werden, die zusammen genau in das große Quadrat passen.

Beim exakten Beweis muss dann noch über die Kongruenzsätze im Dreieck nachgewiesen werden, dass die kleinere Seite der sich ergebenden Rechtecke jeweils den Hypotenusenabschnitten entspricht. Wie üblich wurden in der Animation die Höhe mit $h$, die Hypotenusenabschnitte mit $p$ und $q$ bezeichnet.

Beweis mit Ähnlichkeiten

Es ist nicht unbedingt notwendig, zum Beweis des Satzes von Pythagoras Flächen heranzuziehen. Geometrisch eleganter ist es, Ähnlichkeiten zu verwenden. Sobald man sich durch Berechnung der Winkelsummen im Dreieck überzeugt hat, dass die beiden grünen Winkel im unteren Bild gleich groß sein müssen, sieht man, dass die Dreiecke $ACB$, $CBD$ und $ACD$ ähnlich sind. Der Beweis des Satzes von Pythagoras ergibt sich dann wie im Bild gezeigt. Diese Herleitung lässt sich anschaulich mit der Ähnlichkeit der Quadrate und der Ähnlichkeit deren angrenzender Dreiecke erklären. Da diese proportional zur Fläche der jeweils anliegenden Quadrate sind, repräsentiert die Gleichung

$CBD+ACD=ACB$

den Satz.

Verallgemeinerungen und Abgrenzung

Kosinussatz

→ Hauptartikel: Kosinussatz

Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras für beliebige Dreiecke:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$,

wobei $\gamma$ der Winkel zwischen den Seiten $a$ und $b$ ist. Der Kosinussatz unterscheidet sich also durch den Term $-2ab\cdot \cos \gamma$ vom Satz des Pythagoras. Da der Kosinus von $90^{\circ }$ gleich null ist, fällt dieser Term bei einem rechten Winkel weg und es ergibt sich als Spezialfall der Satz des Pythagoras. Gilt umgekehrt in einem Dreieck die Beziehung

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$,

so muss $-2ab\cdot \cos \gamma =0$ sein, woraus $\gamma =90^{\circ }$ folgt, und daher ist das Dreieck rechtwinklig. Für spitzwinklige Dreiecke gilt entsprechend

$c^{2}<a^{2}+b^{2}$

und für stumpfwinklige Dreiecke

$c^{2}>a^{2}+b^{2}$.

Skalarprodukträume

Abstrahiert man vom gewöhnlichen euklidischen Raum zu allgemeinen Skalarprodukträumen, also Vektorräumen mit einem Skalarprodukt, dann gilt die folgende Aussage: Sind zwei Vektoren $u$ und $v$ zueinander orthogonal, ist also ihr Skalarprodukt $\langle u,v\rangle =0$, dann gilt aufgrund der Linearität des Skalarprodukts

$\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle u,v\rangle +\langle v,u\rangle +\langle v,v\rangle =\langle u,u\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}$,

wobei $\|\cdot \|$ die von dem Skalarprodukt induzierte Norm bezeichnet. Hier findet sich der Satz des Pythagoras wieder, allerdings in abstrakten mathematischen Strukturen, wie unendlichdimensionalen Funktionenräumen. Die Umkehrung gilt ebenfalls. Trifft die Gleichung zu, so sind die beiden Vektoren orthogonal zueinander. Der Satz lässt sich noch weiter verallgemeinern. Ist $\{u_{1},\ldots ,u_{n}\}$ ein Orthogonalsystem bestehend aus paarweise orthogonalen Vektoren $u_{k}$, dann gilt durch wiederholte Anwendung obigen Arguments

$\left\|\sum _{k=1}^{n}u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|u_{k}\|^{2}$.

Die entsprechende Aussage gilt sogar für unendliche Summen, wenn man eine Folge $(u_{k})$ von Vektoren betrachtet, die alle zueinander orthogonal sind. Konvergiert nun die Reihe $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }u_{k}$, so konvergiert auch $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}$ und es gilt

$\left\|\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\|u_{k}\|^{2}$.

Der Beweis der zweiten Behauptung folgt dabei aus der Stetigkeit des Skalarprodukts. Eine weitere Verallgemeinerung führt zur Parsevalschen Gleichung.

Weitere Verallgemeinerungen

Ebenfalls als Verallgemeinerungen des Satzes des Pythagoras können der Schenkeltransversalensatz, der Satz von Stewart und der Satz von Ptolemäus gelten.

Unterschiede in der Nichteuklidischen Geometrie

Nichteuklidische Geometrien sind Geometrien, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt. Ein Beispiel hierfür ist die Geometrie der Kugeloberfläche. Dort gilt der Satz des Pythagoras nicht mehr, da in solchen Geometrien der Innenwinkelsatz nicht gilt, also die Winkelsumme eines Dreiecks von 180° verschieden ist. Ein anderes Beispiel ist der „gekrümmte“ Raum der Allgemeinen Relativitätstheorie Albert Einsteins.

Geschichte

Babylon und Indien

Bereits auf einer babylonischen Keilschrifttafel (Britisches Museum 85196, London), die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert wird (ca. 1829 bis ca. 1530 v. Chr), findet sich eine geometrische Problemstellung mit Lösung, bei der der Satz zur Berechnung von Längen (im Sexagesimalsystem) verwendet wurde:

Ein Balken, 0;30 (= 30/60 GAR = 1/2 GAR ≈ 3 m lang)

Von oben ist er 0;6 (= 6/60 GAR) herabgekommen.
Von unten was hat er sich entfernt?
0;30 (= 30/60) quadriere, 0;15 (= 900/3600 = 15/60) siehst du.
0;6 (= 6/60) von 0;30 (= 30/60) abgezogen, 0;24 (= 24/60) siehst du.
0;24 (= 24/60) quadriere, 0;9,36 (= 576/3600) siehst du.
0;9,36 (= 576/3600) von 0;15 (= 900/3600) ziehe ab, 0;5,24 (= 324/3600) siehst du.
0;5,24 (= 324/3600) hat was als Quadratwurzel ? 0;18 (= 18/60).

0;18 (= 18/60 GAR) am Boden hat er sich entfernt.

Daraus ergibt sich:

$0;18^{2}=0;30^{2}-0;24^{2}$, also $a^{2}=c^{2}-b^{2}$ bzw. $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

Ein Interesse der Babylonier an einem mathematischen Beweis geht jedoch aus den Quellen nicht hervor.

Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält außerdem $15$ verschiedene pythagoreische Tripel, unter anderem

$(56,90,106)$, $(119,120,169)$ sowie $(12709,13500,18541)$,

was auf ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel schließen lässt.

In indischen Sulbasutras („Schurregeln“ bzw. „Leitfäden zur Meßkunst“), die ungefähr im 6. bis zum 4. Jahrhundert v. Chr. entstanden, finden sich einige pythagoreische Tripel. Außerdem wurde auch der Lehrsatz dort benutzt, aber nicht bewiesen.

China

Der Satz war ebenso im antiken China bekannt. In der Schrift Zhoubi suanjing („Arithmetischer Klassiker des Zhou-Gnomons“), die ungefähr vom 1. Jahrhundert v. Chr. bis zum 6. Jahrhundert n. Chr. entstand, wird mit der so genannten „Hypotenusen-Figur“ (Xian-tu) ein dort am Beispiel des rechtwinkligen Dreiecks (gougu) mit den Seiten 3, 4 und 5 gegebener Beweis des Satzes veranschaulicht. Auch im Jiu Zhang Suanshu („Neun Bücher arithmetischer Technik“, 1. Jahrhundert n. Chr.), dem klassischen mathematischen Werk Chinas mit einer Sammlung von 263 Problemstellungen, ihren Lösungen und den Lösungswegen, wird er angewendet. Liu Hui (3. Jahrhundert n. Chr.) gab wohl in seinem Kommentar zu den „Neun Büchern“ im neunten Kapitel einen Zerlegungsbeweis an.

Die umstrittene Rolle des Pythagoras

Büste des Pythagoras; Kapitolinische Museen, Rom

Die Benennung des Satzes nach dem griechischen Philosophen Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) ist erst in späten Quellen bezeugt. Daher ist in der Forschung die Frage nach der Rolle des Pythagoras stark umstritten. Verschiedene Hypothesen kommen in Betracht:

• Pythagoras übernahm den Satz von den Babyloniern, seine Rolle war nur die eines Vermittlers orientalischen Wissens an die Griechen. Antiken Quellen zufolge unternahm er eine Ägyptenreise, er soll sogar in Babylonien gewesen sein, doch ist die Glaubwürdigkeit der Berichte über seine Reisen umstritten.
• Pythagoras hat den Satz unabhängig von der orientalischen Mathematik entdeckt und auch erstmals bewiesen. Diese Ansicht war in der Antike verbreitet.
• Pythagoras verdankte die Kenntnis des Sachverhalts orientalischen Quellen, war aber der erste, der einen Beweis dafür fand. Tatsächlich waren Babylonier und Ägypter anscheinend nur an der Anwendung des Satzes für praktische Zwecke, nicht an einem allgemeingültigen Beweis interessiert. So enthält beispielsweise das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das ägyptische Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind) aus dem 17. Jahrhundert v. Chr., bereits komplizierte Aufgaben, es fehlt jedoch jede Verallgemeinerung, es wird nicht definiert und bewiesen.
• Pythagoras hat in der Geschichte des Satzes keine Rolle gespielt; erst spätere Pythagoreer haben möglicherweise den ersten Beweis gefunden.

Gegensätzliche Positionen vertreten die Wissenschaftshistoriker Walter Burkert und Leonid Zhmud. Burkert zieht allenfalls eine Vermittlerrolle des Pythagoras in Betracht, Zhmud schreibt ihm mathematische Leistungen wie den Beweis des Satzes zu und betont seine Eigenständigkeit gegenüber der orientalischen Mathematik.

Euklid, der in der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. in seinem berühmten Werk Elemente das mathematische Wissen seiner Zeit zusammentrug, bot einen Beweis (Elemente, Buch 1, Satz 47), brachte den Satz aber nicht mit Pythagoras in Zusammenhang. Der älteste Beleg dafür, dass der Satz mit Pythagoras in Verbindung gebracht wurde, ist ein Epigramm eines Apollodoros, der möglicherweise mit dem Philosophen Apollodoros von Kyzikos zu identifizieren ist; in diesem Fall stammen die Verse aus der zweiten Hälfte des 4. Jahrhunderts v. Chr. Der Text lautet:

„Als Pythagoras einst die berühmte Zeichnung gefunden,
Brachte als Opfer er dar herrliche Stiere dem Gott.“

Apollodoros gibt nicht an, welche „berühmte” Zeichnung oder Figur er meint, doch Diogenes Laertios (3. Jahrhundert n. Chr.), der die beiden Verse zitiert, ging davon aus, dass es sich um den „Satz des Pythagoras” handelt. Diese Überlieferung, wonach Pythagoras einem Gott zum Dank dafür, dass dieser ihm die Erkenntnis eingab, ein Rinderopfer darbrachte, steht in Widerspruch zu dem von zahlreichen antiken Quellen überlieferten Umstand, dass Pythagoras und die Pythagoreer Tieropfer grundsätzlich ablehnten.

Siehe auch

• Pythagoreische Addition
• Trigonometrischer Pythagoras
• Satz von de Gua

Literatur

• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann. Rowohlt, Reinbek 1982. ISBN 3-499-16692-5
• Anna M. Fraedrich: Die Satzgruppe des Pythagoras. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1994. ISBN 3-86025-669-6
• H.L. Resnikoff, R.O. Wells Jr.: Mathematik im Wandel der Kulturen. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1983. ISBN 3-528-03578-1
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB, Stuttgart 1977. ISBN 3-506-99189-2
• Simon Singh: Fermats letzter Satz. dtv, München 2000. ISBN 3-423-33052-X
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C.H. Beck, München 1990. ISBN 3-406-02535-8
• Alexander K. Dewdney: Reise in das Innere der Mathematik. Birkhäuser, Berlin 2000. ISBN 3-7643-6189-1
• Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press 2007, ISBN 0-691-12526-0
• Alfred S. Posamentier: The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty. Prometheus Books 2010, ISBN 9781616141813

Weblinks

Commons: Satz des Pythagoras – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Vielzahl animierter Beweise des Satzes von Pythagoras, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
• [hhttp://web.archive.org/web/20100912103144/http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Verschie/Gut_Ref/Pythago/Pythagoras.html Beweise für den Satz des Pythagoras]
• Geometrische Beweise für den Satz des Pythagoras (Video)
• Beweissammlung für den Satz des Pythagoras auf cut-the-knot (englisch)
• Java-Applets (englisch)
• Interaktives Lernprogramm mit Beweisen, Aufgaben und vielen Links
• Eric W. Weisstein: Pythagorean theorem. In: MathWorld (englisch). (enthält auch verschiedene Beweise)