Arkusfunktion

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Die Funktionsgraphen aller Arkusfunktionen. Y-Achse im Bogenmaß

Arkusfunktionen (von lat. arcusBogen“), auch zyklometrische Funktionen genannt, sind, wie es ihre alternative Bezeichnung als inverse Winkelfunktionen andeutet, Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen - die Arkusfunktionen liefern also zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel.

Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion, die in mathematischen Formeln und Gleichungen durch ein vorangestelltes \operatorname{arc} oder \operatorname{a} vom Kürzel der zugehörigen trigonometrischen Funktion unterschieden wird. Vor allem im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner, findet sich immer häufiger eine Schreibweise mit dem Exponenten -1, der signalisieren soll, dass es sich um die Umkehrfunktion (aber nicht um den Kehrwert) der besagten Winkelfunktion handelt:

Winkelfunktion Arkusfunktion Kürzel alternatives
Kürzel
Sinus Arkussinus \arcsin oder \operatorname{asin} \sin^{-1}
Kosinus Arkuskosinus \arccos oder \operatorname{acos} \cos^{-1}
Tangens Arkustangens \arctan oder \operatorname{atan} \tan^{-1}
Kotangens Arkuskotangens \arccot oder \operatorname{acot} \cot^{-1}
Sekans Arkussekans \arcsec \sec^{-1}
Kosekans Arkuskosekans \arccsc \csc^{-1}
Riemannsche Fläche des komplexen Logarithmus. Die Blätter haben einen Abstand von 2\pi.

Da die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen sind, sind sie zunächst einmal nicht invertierbar. Beschränkt man sich jedoch auf ein Monotonieintervall der jeweiligen Ausgangsfunktion, z. B. auf das Intervall [-\pi/2,\pi/2] oder [0,\pi], kann die so erhaltene eingeschränkte Funktion sehr wohl invertiert werden. Allerdings überdecken die Monotonieintervalle jeweils nur eine halbe Periode, siehe Abbildung oben. Kennt man jedoch sowohl den Sinus als auch den Kosinus eines Winkels (allgemeiner: komplexe Komponenten), so kann man den Winkel bis auf ganze Perioden (2\pi) ermitteln, siehe Abbildung rechts für die Anschauung und atan2 für die Berechnung.

Weblinks[Bearbeiten]