Sekans und Kosekans

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Definitionen am Einheitskreis

Sekans und Kosekans sind trigonometrische Funktionen. Der Sekans wird mit bezeichnet, der Kosekans mit oder [1]. Die Funktionen haben ihren Namen durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge von Sekantenabschnitten:

Ein rechtwinkliges Dreieck

Im rechtwinkligen Dreieck ist der Sekans das Verhältnis der Hypotenuse zur Ankathete und damit die Kehrwert-Funktion der Kosinusfunktion.

Der Kosekans ist das Verhältnis der Hypotenuse zur Gegenkathete und damit die Kehrwert-Funktion der Sinusfunktion:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graphen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Sekansfunktion
Graph der Kosekansfunktion

Definitionsbereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:   
Kosekans:   

Wertebereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Periodizität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Periodenlänge

Symmetrien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:    Achsensymmetrie:
Kosekans:    Punktsymmetrie:

Polstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:   
Kosekans:   

Extremstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:    Minima:  Maxima: 
Kosekans:    Minima:  Maxima: 

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide Funktionen haben keine Nullstellen.

Asymptoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide Funktionen haben keine horizontalen Asymptoten.

Sprungstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide Funktionen haben keine Sprungstellen.

Wendepunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide Funktionen haben keine Wendepunkte.

Wichtige Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da Sekans und Kosekans periodische Funktionen mit der Periode (entspricht im Gradmaß ) sind, reicht es, die Funktionswerte des Sekans für den Bereich und die des Kosekans für den Bereich zu kennen. Funktionswerte außerhalb dieses Bereichs können also aufgrund der Periodizität durch den Zusammenhang

bestimmt werden. In Gradmaß lautet der Zusammenhang analog

Hierbei bezeichnet eine ganze Zahl. Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden trigonometrischen Funktionen in einer leicht zu merkenden Reihe auf.[2]

Winkel (Grad) Bogenmaß Sekans Kosekans

Weitere wichtige Werte sind:

Winkel (Grad) Bogenmaß Sekans Kosekans

Beweisskizzen:

  • , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) dann gleichschenklig ist, und nach Pythagoras gilt .
  • , weil das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) gespiegelt an der -Achse dann gleichseitig ist (mit Seitenlänge 1), und somit die Seitenlänge die doppelte Länge der Gegenkathete ist.
  • , weil für das rechtwinklige Dreieck im Einheitskreis (mit der Hypotenuse 1) wegen für den Sekans nach Pythagoras gilt .
  • , weil im Pentagramm das Inverse des Goldenen Schnitts auftritt, wobei der halbierte Winkel in den Spitzen gleich 18° ist.
  • , weil im regelmäßigen Fünfeck der Goldene Schnitt auftritt, wobei der halbierte Innenwinkel gleich 54° ist.
  • und lassen sich mit Hilfe der Halbwinkelformeln für Sinus und Kosinus herleiten.

Weitere mit Quadratwurzeln darstellbare Funktionswerte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Siehe auch: Sinus und Kosinus: Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte

Weil der Sekans jeweils der Kehrwert des Kosinus und der Kosekans der Kehrwert des Sinus ist, lassen sich die Funktionswerte und genau dann mit Quadratwurzeln darstellen, wenn das auch für und möglich ist. Generell gilt, dass und genau dann explizit mit den vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln darstellbar sind, wenn der Winkel mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, insbesondere also wenn von der Gestalt

ist, wobei , und die für Fermatsche Primzahlen sind.[3]

Umkehrfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. ist die Funktion umkehrbar (Arkussekans):

Kosekans

Auf einer halben Periodenlänge, z. B. ist die Funktion umkehrbar (Arkuskosekans):

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:

Kosekans:

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:

Kosekans

Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sekans:

Kosekans

Komplexes Argument[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  mit


  mit

Anwendung für numerische Berechnungen – Bedeutung historisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bevor elektronische Rechenmaschinen allgegenwärtig waren, verwendete man für die Winkelfunktionen Tabellen, meist in gedruckten Büchern. Mit einem solchen Funktionswert aus einer Tabelle zu multiplizieren war bequemer und praktischer, als durch so einen Wert zu dividieren (dies gilt übrigens auch für nicht aufgehende Wurzelwerte usw.); wenn in einer Formel also ein Sinus oder Kosinus im Nenner steht, ist es bequem, statt dieser Werte die entsprechenden Kosekans- bzw. Sekanswerte in den Zähler zu schreiben. Dieses Argument ist im Zeitalter der allgemein verfügbaren elektronischen Taschenrechner nur noch von historischer Bedeutung; Sekans und Kosekans sind in den neueren Formelsammlungen nicht mehr erwähnt und auch nicht als Funktionen (mit eigener Taste) in den Rechnern implementiert. Für diesen Zweck sind diese Funktionen schlicht überflüssig geworden; sie lösten ein Problem, das nicht mehr besteht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 2008, ISBN 3-8171-2007-9, S. 1220 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S. 85.