Volumenviskosität

Die Volumenviskosität, der Zähigkeitskoeffizient oder die zweite Viskosität (Formelzeichen ζ, μ', μ_b , η_V, ν⁰ oder ξ, Dimension M· L⁻¹· T⁻¹, Einheit Pa· s) bezeichnen die Viskosität von Gasen (Fluiden) bei Volumenänderungen. Die Volumenviskosität ist verantwortlich für die Energiedissipation eines Fluids von gleichförmiger Temperaturverteilung bei einer endlichen Volumenänderung.

In der Praxis kann bei einatomigen Gasen und nicht zu hohen Drücken von der Stokes’schen Hypothese ausgegangen werden, die ζ = 0 fordert. Bei angenommener Inkompressibilität kann die Volumenviskosität vernachlässigt werden.

Eine von Null verschiedenen Volumenviskosität führt nicht zu sehr auffälligen Effekten. Die Volumenviskosität hat einen nennenswerten Einfluss in Flüssigkeiten mit Gasblasen, in Stoßwellen und bei der Schallausbreitung. Einige Fluide, insbesondere Kohlenstoffdioxid, besitzen Volumenviskositäten, die über tausend mal größer sind als ihre Scherviskosität, was in solchen Gasen einen erheblichen Einfluss auf die hydrodynamische Grenzschicht bei Überschallströmungen hat. Die Volumenviskosität von verdünnten, mehratomigen Gasen spielt eine wichtige Rolle beim Eintritt in planetarische Atmosphären.

Definition

Die Volumenviskosität tritt bei der reinen Kompression oder Expansion von Gasen als Ursache einer in allen Richtung wirkenden Normalspannung

$\sigma ^{V}=-\zeta {\frac {\dot {\rho }}{\rho }}=\zeta \nabla \cdot {\vec {v}}=\zeta \operatorname {div} {\vec {v}}$

neben dem Druck auf. Hier ist

• ζ die Volumenviskosität,
• ρ die Dichte,
• ${\vec {v}}$ die Geschwindigkeit eines Teilchens in der Strömung,
• der Überpunkt die substantielle Zeitableitung und
• „·“ das (formale) Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator $\nabla$, das die Divergenz eines Vektorfeldes div bildet.

Die Divergenz der Geschwindigkeit ist ein Maß für die Volumenänderungsgeschwindigkeit eines (infinitesimal) kleinen Volumenelements dV: ${\dot {\mathrm {d} V}}=\operatorname {div} ({\vec {v}})\,\mathrm {d} V$. Dies begründet bei gleichbleibender Masse ρ dV des Volumenelements die Massenbilanz

${\dot {\rho }}+\rho \operatorname {div} {\vec {v}}=0\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {div} {\vec {v}}=-{\frac {\dot {\rho }}{\rho }},$

die in obiger Definitionsgleichung eingesetzt wurde.

In einem newtonschen Fluid gilt der Zusammenhang

$\zeta =\lambda +{\frac {2}{3}}\mu$

mit der Scherviskosität μ und der ersten Lamé-Konstante λ.

Bei Inkompressibilität verschwindet die Divergenz der Geschwindigkeit, sodass in dem Fall keine Volumenviskosität auftreten kann.

Newtonsche Fluide

Die Bewegung eines linear viskosen, isotropen newtonschen Fluids gehorcht den Navier-Stokes-Gleichungen

$\rho {\dot {\vec {v}}}=-\nabla p(\rho ,T)+\mu \Delta {\vec {v}}+\left(\zeta +{\frac {\mu }{3}}\right)\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.$

Hier ist p(ρ, T) der von der Dichte und Temperatur T abhängige (statische) Druck, Δ ist der Laplace-Operator und der Vektor ${\vec {f}}$ steht für eine Volumenkraftdichte, wie beispielsweise die Gravitation oder die Corioliskraft jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen.

Die Navier-Stokes-Gleichungen lassen sich aus dem Materialmodell

${\boldsymbol {\sigma }}=-p(\rho ,T)\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} =-p(\rho ,T)\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} ^{\rm {D}}+\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1}$

der klassischen Materialtheorie herleiten. Hier bezeichnet σ den Spannungstensor, d den symmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradienten, den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

$\mathbf {d} ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\&2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\\{\text{sym.}}&&2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}$

1 den Einheitstensor, Sp die Spur und das hochgestellte D den Deviator. Im Verzerrungsgeschwindigkeitstensor sind $v_{x,y,z}$ die Geschwindigkeitskomponenten der Fluidelemente in x-, y- bzw. z-Richtung eines kartesischen Koordinatensystems. Die Spur des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors ist die Divergenz der Geschwindigkeit:

$\operatorname {div} {\vec {v}}={\tfrac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\tfrac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\tfrac {\partial v_{z}}{\partial z}}=\operatorname {Sp} (\mathbf {d} )$

Aus den Modellgleichungen oben lässt sich der Zusammenhang $\zeta =\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu$ ableiten.

Die in der Definition auftretende Normalspannung $\sigma ^{V}=-\zeta {\tfrac {\dot {\rho }}{\rho }}$ ist Bestandteil der Spur des Spannungstensors:

${\bar {p}}:={\frac {1}{3}}\operatorname {Sp} {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}\left[-3p(\rho ,T)+3\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\right]=-p(\rho ,T)+\zeta \operatorname {div} {\vec {v}}=-p(\rho ,T)-\zeta {\frac {\dot {\rho }}{\rho }}$

Hier wurde benutzt, dass die Spur des Einheitstensors gleich der Raumdimension ist und der Deviator per definitionem spurfrei ist.

Die fluiddynamische Grenzschicht ist in Strömungen viskoser Fluide bedeutsam. In der sie behandelnden Grenzschichttheorie werden Normalspannungen gegenüber den Scherspannungen vernachlässigt, weswegen die Volumenviskosität in der Grenzschicht nicht gebraucht wird. Neuere Untersuchungen zeigen jedoch einen nennenswerten Einfluss einer hohen Volumenviskosität auf die Grenzschicht bei Überschallströmungen.

Stokessche Hypothese

Die Stokes’sche Hypothese besagt,

„in the case of a uniform motion of dilatation the pressure at any instance depends only on the actual density and temperature at that instant, and not on the rate at which the former changes with time (englisch für „Im Fall einer gleichförmigen Dilatation hängt der Druck zu jedem Zeitpunkt nur von der aktuellen Dichte und Temperatur zu diesem Zeitpunkt ab und nicht von der Rate, mit der erstere sich mit der Zeit ändert.)“

– G. G. Stokes

Aus dem bei newtonschen Fluiden gültigen Zusammenhang

${\bar {p}}=-p(\rho ,T)-\zeta {\frac {\dot {\rho }}{\rho }}$

folgt aus der Hypothese unmittelbar

$\zeta =0.$

Diese Hypothese wurde bereits 1843, also zwei Jahre vor Stokes, in ähnlicher Weise von Barré de Saint-Venant formuliert.

Die Messung der Volumenviskosität ist so schwierig, dass es Anfang des 21. Jahrhunderts noch nicht gelungen ist, die Gültigkeit dieses Postulats experimentell zu prüfen.

Reine Kompression

Bei einer reinen Kompression in Richtung des Ursprungs habe das Geschwindigkeitsfeld die Form ${\vec {v}}({\vec {x}})=-c{\vec {x}}$ mit einem Proportionalitätsfaktor c. Der Geschwindigkeitsgradient ist dann wegen des symmetrischen Gradienten $\operatorname {grad} {\vec {x}}=\mathbf {1}$ und

$\operatorname {grad} {\vec {v}}=-c\operatorname {grad} {\vec {x}}=-c\mathbf {1} =\mathbf {d}$

gleich dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor. Der viskose Spannungstensor $\mathbf {S} :={\boldsymbol {\sigma }}+p\mathbf {1}$ ergibt sich damit aus der Materialgleichung für newtonsche Fluide zu

$\mathbf {S} =2\mu \mathbf {d} +\lambda \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} =-2\mu c\mathbf {1} -3\lambda c\mathbf {1} =-(2\mu +3\lambda )c\mathbf {1} =-3\zeta c\mathbf {1}$

Soll dieser nach der Stokes’schen Hypothese von der Geschwindigkeit c unabhängig sein, dann folgt:

$\zeta =0\quad \Leftrightarrow \quad \lambda =-{\frac {2}{3}}\mu .$

Die spezifische Spannungsleistung an den Verzerrungsgeschwindigkeiten ist definiert als $l_{i}:={\tfrac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d}$ und berechnet sich bei reiner Kompression zu

$l_{i}={\frac {1}{\rho }}\left[-p\mathbf {1} +2\mu \mathbf {d} ^{\rm {D}}+\zeta \operatorname {Sp} (\mathbf {d} )\mathbf {1} \right]:c\mathbf {1} ={\frac {c}{\rho }}[-3p+9\zeta c]=-{\frac {3c}{\rho }}p+{\frac {9c^{2}}{\rho }}\zeta$

Der Doppelpunkt „:“ bildet das Frobenius-Skalarprodukt zweier Tensoren A und B mittels der Spur A : B := Sp(A^T · B) worin das Hochgestellt T die Transposition bedeutet. Der erste, zum Druck proportionale Anteil der Leistung ist reversibel und der zweite Anteil ist irreversibel und wird dissipiert.

Folgerungen aus der kinetischen Gastheorie

Die Chapman-Enskog-Entwicklung der Boltzmann-Gleichungen der kinetischen Gastheorie führen auf die Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Volumenviskosität, also ζ = 0. Diese Entwicklung basiert auf einer Verteilungsfunktion, die nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, also deren Rotationsdrehimpuls vernachlässigt. Dies ist in einatomigen Gasen bei niedrigem bis mittlerem Druck eine probate Annahme, gilt jedoch nicht bei mehratomigen Gasen.

Bei mehratomigen Gasen kann ein Energieaustausch zwischen der Translationsbewegung und den molekularen Bewegungen, d. h. den Rotations- und Vibrationsbewegungen, geschehen, was auf eine positive Volumenviskosität führt.

Zur Charakterisierung des Zustands mehratomiger Gase im Nicht-Gleichgewicht ist eine verallgemeinerte Verteilungsfunktion (Dichteoperator) zu benutzen, die nicht nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, sondern auch von deren Rotationsdrehimpuls. Dementsprechend ist auch die Boltzmann-Gleichung durch eine verallgemeinerte kinetische Gleichung (die Waldmann-Snider-Gleichung) zu ersetzen. Aus ihr kann eine Temperaturrelaxationsgleichung hergeleitet werden, die auf den Ausdruck

$\zeta ={\frac {2}{3}}{\frac {nkc_{V}^{\text{intra}}}{c_{V}\omega }}T$

für die Volumenviskosität führt. Darin ist c_V die spezifische Wärmekapazität, c_V^intra die spezifische Wärmekapazität, die nur aus den molekularen Bewegungen resultiert, n die Teilchendichte, k die Boltzmann-Konstante, ω die Stoßfrequenz und T die Temperatur. Weil die Stroßfrequenz proportional zur Teilchendichte ist, ist die Volumenviskosität unabhängig von der Teilchendichte und damit vom Druck des Gases. Für einatomige Gase ist wieder ζ = 0 wegen c_V^intra = 0. Bei gegebener Kapazität c_V^intra ist die Volumenviskosität umso größer, je kleiner die Stoßfrequenz ω ist, d. h. je seltener bei Stößen ein Austausch zwischen der Translations- und intramolekularen Energie stattfinden kann. Deshalb ist das Verhältnis ζ/μ bei Wasserstoff größer als für Stickstoff.

Messung

Nach der klassischen Theorie von Gustav Robert Kirchhoff gilt für ebene Schallwellen in Medien mit nicht zu großer Viskosität ein Absorptionskoeffizient der Amplitude pro Längeneinheit

${\frac {k^{2}}{\omega ^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{3}}\eta +\zeta \right){\frac {1}{c_{0}^{3}\rho }}+{\frac {\lambda (\kappa -1)}{2\rho c_{p}c_{0}^{3}}}$

der von der Volumenviskosität abhängt. Darin ist

• c₀ die Schallgeschwindigkeit für
• sehr kleine Kreisfrequenzen ω,
• c_p und c_v die spezifischen Wärmekapazitäten bei konstantem Druck bzw. Volumen und
• κ = c_p / c_v

Dieser Tatbestand gilt auch für die Streuung und Dämpfung von Schall in molekularen Gasen. Akustische Spektrometer eignen sich daher für die Messung der Volumenviskosität eines Fluids.

Weitere Vorschläge zur Messung der Volumenviskosität sind:

• Brillouinspektroskopie von relaxierenden Flüssigkeiten
• Messung der Dicke einer Stoßwelle
• Vermessung der Taylor-Couette-Strömung eines kompressiblen Mediums

Mit diesen Methoden konnte die Volumenviskosität einer Vielzahl von Fluiden bestimmt werden.