Arkussinus und Arkuskosinus

Der Arkussinus - geschrieben $\rm arcsin$ oder $\rm asin$ - und der Arkuskosinus - geschrieben $\rm arccos$, $\rm acos$ - sind Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion: Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, wird zu ihrer Umkehrung der Definitionsbereich des Sinus auf das Intervall $[-\pi/2;\pi/2]$ und der des Kosinus auf das Intervall $[0;\pi]$ reduziert. Sinus bzw. Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton.

Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise $f^{-1}$ beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen $\sin^{-1}$ und $\cos^{-1}$ die klassische Schreibweise $\arcsin$ bzw. $\arccos$ zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.

Definitionen

Die Sinusfunktion ist $2\pi$-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, damit sie umkehrbar-eindeutig wird. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert), die Umkehrfunktion der Einschränkung $\sin|_{\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]}$ betrachtet. In diesem Fall entsteht die bijektive Funktion mit

$\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right].$

Analog zum Arkussinus wird der Hauptwert des Arkuskosinus definiert als die Umkehrfunktion von $\cos|_{[0,\pi]}$. Diese Definition führt zu der bijektiven Funktion

$\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi],$

die sich mittels $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ ineinander umrechnen lassen.

Eigenschaften

	Arkussinus	Arkuskosinus
Funktions- Graphen
Definitionsbereich	$x\in [-1,1]$	$x\in [-1,1]$
Wertebereich	$-\frac{\pi}{2} \le f(x) \le + \frac{\pi}{2}$	$0\le f(x) \le\pi$
Monotonie	streng monoton steigend	streng monoton fallend
Symmetrien	Ungerade Funktion: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\!$	Punktsymmetrie zu $\left(x=0\;,\;y =\tfrac{\pi}{2}\right),$ $\arccos(x) = \pi - \arccos(-x)\!$
Asymptoten	$f(x) \to\pm \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm 1$	$f(x) \to \frac{\pi}{2} \mp \frac{\pi}{2}$ für $x \to\pm 1$
Nullstellen	$x = 0\!$	$x = 1\!$
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	keine
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x = 0\!$	$x = 0\!$

Formeln für negative Argumente

Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)\,$

$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)\,$

Reihenentwicklungen

Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

$\arcsin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^{k}(2k+1)} = x \;+\; \frac{1}{2}\cdot\frac{x^3}{3} \;+\; \frac{3}{2\!\cdot\!4}\cdot\frac{x^5}{5} \;+\; \frac{3\!\cdot\!5}{2\!\cdot\!4\!\cdot\!6}\cdot\frac{x^7}{7} \;+\; \ldots$

Der Ausdruck $k!!$ bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ :

$\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = \frac{\pi}{2} - \sum_{k=0}^\infty \binom{2k}{k} \frac{x^{2k+1}}{4^k(2k+1)}$

Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

Integraldarstellungen

Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

$\arcsin(x) = \int \limits_0^x \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}$

$\arccos(x) = \int \limits_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{1 - t^2}}$

Verkettungen mit Sinus und Kosinus

Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

$\sin(\arccos(x))=\sqrt{1-x^2}$, denn für $y=\arccos(x)\!$ gilt $y\in \left[ 0, {\pi} \right]$ und $\sin(y)=\sqrt{1-\cos^2 y}$.

$\cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}$, denn für $y=\arcsin(x)\!$ gilt $y\in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$ und $\cos(y)=\sqrt{1-\sin^2 y}$.

$\sin(\arctan(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$, denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ und $\sin(y)=\frac{\tan y}{\sqrt{1+\tan^2y}}$.

$\cos(\arctan(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$, denn für $y=\arctan(x)\!$ gilt $y\in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ und $\cos(y)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2y}}$.

Beziehung zum Arkustangens

Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende beiden Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Auf Grund obiger Formeln gilt:

$\arcsin(x) = \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right)$

$\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \sgn(x) \cdot \arctan \left(\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2}} \right)$ .

Ableitungen

Arkussinus

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Arkuskosinus

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Umrechnung

$\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arccos(x) = - \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \arcsin (x)$

Integrale

Arkussinus

$\int \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) \mathrm dx = x\,\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + \sqrt{a^2 - x^2 } + C$

Arkuskosinus

$\int \arccos \left( \frac{x}{a} \right)\, \mathrm dx = x \, \arccos \left( \frac{x}{a} \right) - \sqrt{ a^2 - x^2} + C$

Komplexe Argumente

$\begin{align} \arcsin(a+b\,\mathrm{i}) = \quad \frac{\sgn{a}}{2} \cdot \arccos & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} - (a^2+b^2) \right) \\ +\;\mathrm{i} \cdot \frac{\sgn{b}}{2} \cdot \operatorname{arcosh} & \!\left( \sqrt{(a^2+b^2-1)^2 + 4b^2} + (a^2+b^2) \right) \end{align}$   mit $a,b \in \mathbb{R}$

$\arccos(a+b\,\mathrm{i}) = \frac\pi2 - \arcsin(a+b\,\mathrm{i})$

Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus Hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt $\sgn(x):=\begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x<0 \\ \end{cases}.$

Anmerkungen

Besondere Werte

$x$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arcsin(x)$	$-\frac{\pi}{2}$	$-\frac{\pi}{3}$	$-\frac{\pi}{4}$	$-\frac{\pi}{6}$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$

$x$	$-1$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\arccos(x)$	$\pi$	$\frac{5 \pi}{6}$	$\frac{3 \pi}{4}$	$\frac{2 \pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{6}$	$0$

Kettenbruchdarstellung des Arkussinus

H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Kettenbruchdarstellung:

$\arcsin(x)=\frac{x\sqrt{1-x^2}}{1-\cfrac{1\cdot 2x^2}{3-\cfrac{1\cdot 2x^2}{5-\cfrac{3\cdot 4x^2}{7-\cfrac{3\cdot 4x^2}{9-\cfrac{5\cdot 6x^2}{11-\ldots}}}}}}$

Sonstiges

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

$\arcsin z = -\mathrm{i}\,\ln\left(\mathrm i z+\sqrt{1-z^2}\right)$

$\arccos z = -\mathrm{i}\,\ln\left(z+\mathrm i\sqrt{1-z^2}\right)$

Siehe auch

• Formelsammlung Trigonometrie
• Trigonometrische Funktionen

Literatur

• Ilja Bronstein, Konstantin Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. B.G. Teubner, Stuttgart 1991. ISBN 3-87144-492-8

Einzelnachweise

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus | Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus | Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus | Areatangens Hyperbolicus und Areakotangens Hyperbolicus | Areasekans Hyperbolicus und Areakosekans Hyperbolicus