Hyperelastizität

Hyperelastizität oder Green’sche Elastizität (von griechisch ὑπέρ hyper „über“, ελαστικός elastikos „anpassungsfähig“ und George Green) ist ein Materialmodell der Elastizität. Elastizität ist die Eigenschaft eines Körpers, unter Krafteinwirkung seine Form zu verändern und bei Wegfall der einwirkenden Kraft in die Ursprungsform zurückzukehren (Beispiel: Sprungfeder). Als Ursache der Elastizität kommen Verzerrungen des Atomgitters (bei Metallen), das Dehnen von Molekülketten (Gummi und Kunststoffe) oder die Änderung des mittleren Atomabstandes (Flüssigkeiten und Gase) in Frage.

Für viele Materialien beschreibt die lineare Elastizität das beobachtete Materialverhalten nicht genau. Das bekannteste Beispiel mit nichtlinear elastischem Verhalten ist Gummi, das großen Verformungen standhält und dessen Reaktionen in guter Näherung mit Hyperelastizität nachgebildet werden können. Auch biologische Gewebe werden mit Hyperelastizität modelliert. Alle barotropen reibungsfreien Flüssigkeiten und Gase sind gleichsam cauchy-elastisch und hyperelastisch, worauf in der Cauchy-Elastizität eingegangen wird. Der vorliegende Artikel befasst sich mit Feststoffmodellen. Hier ist die Hyper-Elastizität derjenige Spezialfall der Cauchy-Elastizität, in dem das Materialverhalten konservativ ist.

Ronald Rivlin und Melvin Mooney entwickelten die ersten Feststoffmodelle der Hyperelastizität, das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell. Andere oft benutzte Materialmodelle sind das Ogden- und Arruda-Boyce-Modell.

Beschreibung

Makroskopisches Verhalten

Kraft-Weg-Diagramm im einachsigen Zug-Versuch bei nichtlinearer Elastizität

Makroskopisch lassen sich folgende Eigenschaften an einem hyperelastischen Körper beobachten:

• Bei gegebener Verformung haben die Reaktionskräfte unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert.
• Ist der Ausgangszustand unbelastet, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden.
• Das Materialverhalten ist geschwindigkeitsunabhängig. Die Geschwindigkeit, mit der eine Verformung stattfindet, hat keinen Einfluss auf den Widerstand, den der Körper der Verformung entgegensetzt.
• Im einachsigen Zugversuch erfolgen Be- und Entlastung stets entlang des gleichen Weges so wie im nebenstehenden Bild.
• Die aufgewendete Verformungsarbeit wird vollständig als Verzerrungsenergie im Körper gespeichert. Das Material ist somit Konservativ.

Die ersten vier Eigenschaften charakterisieren die Cauchy-Elastizität. Wenn das Material zusätzlich noch die letzte Eigenschaft besitzt, dann ist das Material hyperelastisch.

Zeitunabhängigkeit

In der Hyperelastizität sind die Reaktionskräfte bei der Verformung eines Körpers ausschließlich von der aktuellen Verformung bestimmt. Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Verschiedene Verformungspfade, die am Ende dieselben Verformungen zur Folge haben, resultieren am Ende in denselben Reaktionskräften. Auch die Deformationsgeschwindigkeiten haben auf Materialgleichungsebene keinen Einfluss auf die Reaktionen. Die Vorgeschichte des Materials hat in dieser Idealisierung keinen Einfluss auf das aktuelle Materialverhalten. Hyperelastizität ist eine zeitunabhängige Materialeigenschaft.

Konservativität

Zusätzlich zur Cauchy-Elastizität ist in der Hyper-Elastizität die Formänderungsarbeit wegunabhängig, was sich darin ausdrückt, dass die Formänderungsarbeit nur vom Start- und Endpunkt des Verformungsweges, nicht aber von dessen Verlauf abhängt. Im Spezialfall der Übereinstimmung von Start- und Endpunkt ergibt sich: Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewandte Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Konservativität folgt hier auch daraus, dass die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsenergie ist, aufgewandte Arbeiten also vollständig (dissipationslos) in Formänderungsenergie umgesetzt werden. Verformungen sind hier reversibel.

Dissipative Vorgänge wie plastisches Fließen oder Kriechen sind damit ausgeschlossen, was bei realen Materialien innerhalb ihrer Elastizitätsgrenze der Fall ist. Reale Flüssigkeiten und Gase und manche Feststoffe (wie Eisen oder Glas) sind bei schnellen, geringfügigen Bewegungen (z. B. bei Schallwellen) in guter Näherung elastisch. Bei Feststoffen wird die Elastizitätsgrenze bei hinreichend kleinen und langsam vonstatten gehenden Verformungen eingehalten, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen.

Lineare Hyper-Elastizität

Bei hinreichend kleinen Verformungen ist die Kraft-Weg-Beziehung bei Feststoffen linear und kann die Elastizität mit Moduln beschrieben werden. Weil die aufzuwendende Kraft und der zurückgelegte Weg bei einer Deformation maßgeblich von den Dimensionen des Körpers abhängen, wird die Kraft auf ihre Wirkfläche und der Weg auf eine geeignete Abmessung des Körpers bezogen. Die bezogene Kraft ist die Spannung und der bezogene Weg die Dehnung. Die Moduln quantifizieren das Verhältnis zwischen den Spannungen und den Dehnungen und sind eine Materialeigenschaft. Der Elastizitätsmodul gilt bei einachsigem Zug, der Schubmodul bei Scherung und der Kompressionsmodul bei allseitigem Zug/Druck. Bei einachsigem Zug tritt nicht nur in Zugrichtung eine Verformung auf sondern auch quer dazu, was die dimensionslose Querdehnzahl quantifiziert. Die vollständige Beschreibung der isotropen linearen Hyper-Elastizität benötigt nur zwei der genannten Größen, kubische Anisotropie drei (ein Elastizitätsmodul, ein Schubmodul und eine Querdehnzahl), transversale Isotropie bereits fünf (zwei Elastizitätsmoduln, zwei Querdehnzahlen und einen Schubmodul) und die Orthotropie neun (drei Elastizitätsmoduln, drei Querdehnzahlen und drei Schubmoduln). Maximal werden jedoch 21 Parameter benötigt, um einen realen linear hyper-elastischen Stoff zu beschreiben.

Definition

Zunächst wird das makroskopische Verhalten eines homogenen Zugstabes aus hyperelastischem Material zur Erläuterung herangezogen. Durch Übergang vom makroskopischen Körper zu einem Punkt im Kontinuum wird die Definition der Hyperelastizität nachgeholt.

Verhalten eines hyperelastischen Körpers

Ein Stab(schwarz) wird von einer Kraft $F$ um den Betrag $u$ gedehnt(rot)

Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag $u$ gedehnt, dann wird dazu eine Kraft $F$ benötigt, die sich aus der Formänderungsenergie $W$ durch die Ableitung

$F={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}$

berechnet. Im linearen Fall ist mit der Federkonstante D beispielsweise

$W={\frac {D}{2}}u^{2}\rightarrow F=Du\,.$

Dreidimensionales Kontinuum

Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt indem

• die Kraft $F$ durch den ersten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor $\mathbf {P}$,
• die Verschiebung $u$ durch den Deformationsgradient $\mathbf {F}$ und
• die Formänderungsenergie $W$ durch die spezifische Formänderungsenergie in der lagrangeschen Formulierung $w_{0}$

ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen $\mathbf {P}$ aus der Ableitung von $w_{0}$ nach $\mathbf {F}$ gemäß

$\mathbf {P} =\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}$

Die Dichte $\rho _{0}$ des Körpers in der undeformierten Ausgangslage (genauer bei $\operatorname {det} (\mathbf {F} )=1$) ist ein zeitlich konstanter Materialparameter. Der erste Piola-Kirchhoff-Spannungstensor $\mathbf {P}$ hängt über

$\mathbf {P} =\operatorname {det} (\mathbf {F} ){\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{\top -1}$

mit dem symmetrischen Cauchy’schen Spannungstensor ${\boldsymbol {\sigma }}$ zusammen, der die wahren Spannungen im Material darstellt. Der Operator $\operatorname {det}$ gibt die Determinante, "$\cdot$" das Tensorprodukt und $\mathbf {F} ^{\top -1}$ ist der transponiert inverse Deformationsgradient.

Häufig wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das Volumen bezogene Formänderungsenergie ${\hat {w}}=\rho _{0}w$ benutzt. Weil $\rho _{0}$ ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, leicht ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt Haupt.

Damit das Materialmodell das Prinzip der materiellen Objektivität erfüllt, hängt $w_{0}$ nicht von $\mathbf {F}$ direkt sondern vom rechten Cauchy-Green-Tensor $\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{\top }\cdot \mathbf {F}$ ab. Mit dem Green-Lagrange’schen Verzerrungstensor

$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {C} -{\textbf {I}})$

worin $\mathbf {I}$ der Einheitstensor ist, und dem zweiten Piola-Kirchhoff Spannungstensor

${\tilde {\mathbf {T} }}:=\mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathbf {P} =\operatorname {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {F} ^{\top -1}$

kann alternativ

${\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}$

formuliert werden. Mit der Dichte

$\rho :={\frac {\rho _{0}}{\operatorname {det} (\mathbf {F} )}}$

im deformierten Körper ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor:

${\boldsymbol {\sigma }}=\rho \mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=2\rho \mathbf {F} \cdot {\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=\rho {\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }\,.$

Eigenschaften hyperelastischer Materialien

Dieser Abschnitt geht näher darauf ein, dass in der Hyperelastizität

• die Formänderungsarbeit nur vom Start- und Endpunkt des Verformungsweges, nicht aber von dessen Verlauf abhängt,
• entlang eines geschlossenen Verformungsweges keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht wird, aufgewandte Arbeiten also vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben werden,
• die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsenergie ist, aufgewandte Arbeiten also vollständig (dissipationslos) als Formänderungsenergie gespeichert werden und
• Verformungen reversibel sind.

Verformungsarbeit

Im oben angegebenen Zugstab leistet die Kraft $F$ entlang eines Weges von $u_{0}$ bis $u_{1}$ die Arbeit

$A=\int _{u_{0}}^{u_{1}}F\mathrm {d} u=\int _{u_{0}}^{u_{1}}{\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}\mathrm {d} u={[W]}_{u_{0}}^{u_{1}}=W(u_{1})-W(u_{0})\,,$

d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei $u_{1}=u_{0}$ die verrichtete Arbeit:

$A=W(u_{0})-W(u_{0})=0\,.$

Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit das Kurvenintegral über einer mit der Zeit t parametrisierten Kurve

$a=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {P} :{\dot {\mathbf {F} }}\,\mathrm {d} t=\rho _{0}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}:{\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\rho _{0}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} t}}\,\mathrm {d} t=\rho _{0}[w_{0}(\mathbf {F} )]_{t_{0}}^{t_{1}}=\rho _{0}[w_{0}(\mathbf {F} (t_{1}))-w_{0}(\mathbf {F} (t_{0}))]$

was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall $\mathbf {F} (t_{1})=\mathbf {F} (t_{0})$) nachweist. Das Rechenzeichen ":" bedeutet das Frobenius-Skalarprodukt und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten.

Verformungsleistung

Die von der Kraft $F$ erbrachte Verformungsleistung im Stab lautet:

$L=F{\dot {u}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} u}}{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} W}{\mathrm {d} t}}={\dot {W}}$

und ist die pro Zeiteinheit erbrachte Formänderungsarbeit. Die Leistung der Kraft wird also vollständig und dissipationslos in Formänderungsenergie umgesetzt. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise

$l_{i}:={\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {P} :{\dot {\mathbf {F} }}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}:{\frac {\mathrm {d} \mathbf {F} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} t}}={\dot {w}}_{0}\,,$

d. h., die spezifische Spannungsleistung $l_{i}$ ist bei Hyperelastizität die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie.

Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion $w_{0}$, so dass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch.

Für die spezifische Spannungsleistung gibt es die alternativen Formulierungen

$l_{i}={\dot {w}}_{0}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}:{\dot {\mathbf {E} }}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}:{\dot {\mathbf {F} }}$

oder

$l_{i}={\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}={\frac {1}{\rho _{0}}}\mathbf {P} :{\dot {\mathbf {F} }}={\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d}$

mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

$\mathbf {d} :={\frac {1}{2}}({\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}+\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}^{\top })=\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\frac {1}{2}}(\mathbf {F} ^{\top }\cdot {\dot {\mathbf {F} }}+{\dot {\mathbf {F} }}^{\top }\cdot \mathbf {F} )\cdot \mathbf {F} ^{-1}=\mathbf {F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\,,$

der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten $\mathbf {l}$ ist:

$\mathbf {l} :={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\quad \rightarrow \quad \mathbf {d} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })\,.$

Sätze über Hyperelastizität

Äquivalente Definitionen

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

1. Das Material ist hyperelastisch.
2. Die spezifische Spannungsleistung $l_{i}$ ist die materielle Zeitableitung ${\dot {w}}_{0}$ der spezifischen Formänderungsenergie
   $l_{i}={\dot {w}}_{0}\,.$
3. Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig
   $\int _{\mathbf {E} _{0}}^{\mathbf {E} _{1}}{\tilde {\mathbf {T} }}:\mathrm {d} \mathbf {E} =\rho _{0}(w_{0}(\mathbf {E} _{1})-w_{0}(\mathbf {E} _{0}))\,.$
4. Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet
   $\oint {\tilde {\mathbf {T} }}:\mathrm {d} \mathbf {E} =0\,.$
5. Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen $\delta \mathbf {E}$ ist gleich dem totalen Differential der spezifischen Formänderungsenergie
   ${\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:\delta \mathbf {E} =\delta w_{0}(\mathbf {E} )\,.$

Folgerungen für den Elastizitätstensor

Für hyperelastische Materialien ist der Elastizitätstensor $\mathbb {C} ={\frac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} \mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {E} }}$ symmetrisch. Dies folgt daraus, dass er die zweite Ableitung der stetig differenzierbaren Formänderungsenergie $W$ ist und dabei die Reihenfolge der Ableitungen nach dem Satz von Schwarz keine Rolle spielt:

$\mathbb {C} _{ijkl}={\frac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} \mathbf {E} _{ij}\mathrm {d} \mathbf {E} _{kl}}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}W}{\mathrm {d} \mathbf {E} _{kl}\mathrm {d} \mathbf {E} _{ij}}}$

Der Elastizitätstensor besteht somit aus 21 unabhängigen Komponenten (siehe Elastizitätstensor).

Lineare Hyperelastizität

Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung der Formänderungsenergie linear in den Dehnungen und der Elastizitätstensor ist als zweite Ableitung konstant.

Weitere Aussagen

Jedes barotrope elastische Fluid ist auch hyperelastisch.

Thermodynamische Konsistenz

→ Hauptartikel: Clausius-Duhem-Ungleichung

Die Hyperelastizität ist im Einklang mit der Thermodynamik, wie eine Auswertung der Clausius-Duhem-Ungleichung zeigt, die den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik in der Festkörpermechanik repräsentiert. Bei isothermer Zustandsänderung lautet die Clausius-Duhem-Ungleichung in der lagrangeschen Fassung

${\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}\cdot {\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}\geq 0\,,$

worin $\psi _{0}$ die helmholtzsche freie Energie darstellt. In der Hyperelastizität ist die Spannung die Ableitung der Formänderungsenergie nach den Dehnungen und, weil die Formänderungsenergie nur eine Funktion der Dehnungen ist, folgt:

${\frac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}:{\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}={\frac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}:{\dot {\mathbf {E} }}-{\dot {\psi }}_{0}={\dot {w}}_{0}-{\dot {\psi }}_{0}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(w_{0}-\psi _{0})\geq 0\,.$

Identifikation der Formänderungsenergie mit der helmholtzschen freien Energie lässt die Hyperelastizität also im Einklang mit der Thermodynamik sein.

Inkompressibilität

Viele gummielastische Körper zeigen eine ausgeprägte Inkompressibilität und daher lohnt es sich diesen Fall näher zu betrachten. Inkompressibilität lässt sich mathematisch durch

$J:=\operatorname {det} (\mathbf {F} )={\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {C} )}}\equiv 1$

ausdrücken, weshalb die Dichte dann zeitlich konstant ist:

$\rho =\rho _{0}\,.$

Um die Inkompressibilität eines hyperelastischen Materials sicherzustellen, wird die spezifische Formänderungsenergie $w_{0}$ erweitert:

${\bar {w}}_{0}=w_{0}-{\frac {p}{\rho _{0}}}(J-1)$

Der Druck $p$ ist eine zusätzliche, nicht konstitutive Variable, die als Lagrange’scher Multiplikator zur Sicherstellung der Nebenbedingung $J\equiv 1$ eingeführt wird. Der Druck resultiert nun ausschließlich aus den Naturgesetzen und den Lagerungen des Körpers. Die Spannungen lauten hier

${\begin{array}{rcl}{\tilde {\mathbf {T} }}&=&2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} {\bar {w}}_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}=-p\mathbf {C} ^{-1}+2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\\[2ex]\mathbf {P} &=&\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} {\bar {w}}_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}=-p\mathbf {F} ^{\top -1}+\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}\\[2ex]\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}&=&-p\mathbf {I} +2\rho _{0}\mathbf {F} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }=-p\mathbf {I} +\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{\top }\end{array}}\,.$

Isotrope Hyperelastizität

Wenn das Materialverhalten nicht richtungsabhängig ist, dann ist das Material isotrop. Nach einem Exkurs in lagrangescher Darstellung wird auf die Isotropie in der dort üblicheren eulerschen Betrachtungsweise eingegangen.

Isotrope Hyperelastizität in materieller Darstellung

In der isotropen Hyperelastizität ist die Formänderungsenergie in der lagrangeschen Betrachtungsweise eine Funktion der Hauptinvariante $\operatorname {I} _{1,2,3}$ des rechten Cauchy-Green Strecktensors:

${\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}(\operatorname {I} _{1},\operatorname {I} _{2},\operatorname {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}$

Diese Hauptinvarianten hängen über

${\begin{array}{rclclcc}\operatorname {I} _{1}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp} (\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp} (\mathbf {F^{\top }\cdot F} )=\mathbf {F} :\mathbf {F} &=&\|\mathbf {F} \|^{2}\\\operatorname {I} _{2}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {Sp(cof} (\mathbf {C} ))&=&\operatorname {Sp(cof} (\mathbf {F} )^{\top }\cdot \operatorname {cof} (\mathbf {F} ))&=&\|\operatorname {cof} (\mathbf {F} )\|^{2}\\\operatorname {I} _{3}(\mathbf {C} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {C} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {F^{\top }\cdot F} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2}\end{array}}$

mit dem Deformationsgradient $\mathbf {F}$ zusammen. Der Operator $\mathrm {Sp}$ bezeichnet die Spur. Der Kofaktor eines Tensors ist seine transponierte Adjunkte, die bei invertierbaren Tensoren, wie sie hier vorliegen,

$\operatorname {cof} (\mathbf {A} ):=\operatorname {det} (\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{\top -1}$

lautet. Die Frobeniusnorm $\|(\cdot )\|$ wird mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ definiert:

$\mathbf {A} :\mathbf {B} :=\operatorname {Sp} (\mathbf {A^{\top }\cdot B} )\,,\quad \|\mathbf {A} \|:={\sqrt {\mathbf {A} :\mathbf {A} }}$

Die Hauptinvarianten des rechten Cauchy-Green Tensors sind also Maße für die Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente.

Isotrope objektive Hyperelastizität impliziert also eine Spannungs-Deformations-Beziehung der Form

${\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\frac {\mathrm {d} w_{0}(\|\mathbf {F} \|^{2},\|\operatorname {cof} (\mathbf {F} )\|^{2},\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2})}{\mathrm {d} \mathbf {C} }}\,.$

Die Umkehrung gilt auch: Wenn diese Spannungs-Deformations-Beziehung besteht, dann ist das Material objektiv, isotrop und hyperelastisch. Ein hyperelastisches Material ist also genau dann isotrop und objektiv, wenn sich die Formänderungsenergie als Funktion der Maße für die Änderung der Linien-, Flächen- und Volumenelemente schreiben lässt.

Die obige Formänderungsenergie ist polykonvex, wenn sie in jedem ihrer Argumente $\|\mathbf {F} \|^{2},\|\operatorname {cof} (\mathbf {F} )\|^{2},\operatorname {det} (\mathbf {F} )^{2}$ eine konvexe Funktion ist. Wenn diese Formänderungsenergie auch noch eine koerzitive Funktion jedes ihrer Argumente ist, dann existiert eine die Formänderungsenergie minimierende Deformation.

Isotrope Hyperelastizität in räumlicher Darstellung

Zumeist wird bei isotroper Hyperelastizität die Formänderungsenergie $w(\mathbf {b} )$ als isotrope Funktion des linken Cauchy-Green-Tensors

$\mathbf {b} :=\mathbf {F} \cdot \mathbf {F} ^{\top }\quad \rightarrow \quad {\dot {\mathbf {b} }}={\dot {\mathbf {F} }}\cdot \mathbf {F} ^{-1}\cdot \mathbf {F\cdot F} ^{\top }+\mathbf {F\cdot F^{\top }\cdot F} ^{\top -1}\cdot {\dot {\mathbf {F} }}^{\top }=\mathbf {l\cdot b} +\mathbf {b\cdot l} ^{\top }\,.$

angenommen und die Potenzialbeziehung

${\begin{array}{rcl}l_{i}&=&{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}:{\dot {\mathbf {b} }}={\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}:(\mathbf {l\cdot b} +\mathbf {b\cdot l} ^{\top })=\left({\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\cdot \mathbf {b} \right):\mathbf {l} +\left(\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right):\mathbf {l} ^{\top }\\&=&2\left(\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right):{\frac {1}{2}}(\mathbf {l+l} ^{\top })=:{\dfrac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\sigma }}:\mathbf {d} \\\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2\rho {\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\cdot \mathbf {b} \end{array}}$

herangezogen, worin ausgenutzt wurde, dass $\mathbf {b}$ und $\mathrm {d} w/\mathrm {d} \mathbf {b}$ kommutieren, weil die Ableitung eine isotrope Tensorfunktion des symmetrischen linken Cauchy-Green Tensors ist.

Bei Inkompressibilität ist $\operatorname {det} (\mathbf {F} )={\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {b} )}}=1$ und daher

${\boldsymbol {\sigma }}=2\rho _{0}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} {\bar {w}}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=-p\mathbf {I} +2\rho _{0}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\,.$

Die Formänderungsenergie hängt bei Isotropie nur von den Invarianten des symmetrischen und positiv definiten Tensors $\mathbf {b}$ oder des Linken Strecktensors $\mathbf {v} :=+{\sqrt {\mathbf {b} }}$ ab, die also positive Eigenwerte haben. Die Formänderungsenergie wird üblicherweise mit den Eigenwerten $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ von $\mathbf {v}$ oder den Hauptinvarianten

${\begin{array}{lcl}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )&:=&\mathrm {Sp} (\mathbf {b} )\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )&:=&{\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} {(\mathbf {b} )}^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {b\cdot b} )]\\\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )&=&\operatorname {det} (\mathbf {b} )\end{array}}$

ausgedrückt. Es liegen drei Formulierungen vor:

${\begin{array}{llcl}1.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} ),\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} ),\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} ))}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]2.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} ),{\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} ),J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\quad {\text{und}}\\[2ex]3.&{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\end{array}}\,.$

Die quergestrichenen Invarianten stehen für

${\bar {\mathrm {I} }}_{1,2}(\mathbf {b} ):=\mathrm {I} _{1,2}({\bar {\mathbf {b} }}):=\mathrm {I} _{1,2}(J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} )\quad {\textsf {mit}}\quad \operatorname {det} ({\bar {\mathbf {b} }})=\operatorname {det} (J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} )=J^{-2}J^{2}=1\,.$

Die folgenden Kapitel führen diese Varianten detailliert aus. Bei Inkompressibilität sind die ersten beiden Formulierungen äquivalent. Weil dann eine Abhängigkeit von der dritten Hauptinvariante oder $J$ entfällt, wird der inkompressiblen isotropen Hyperelastizität ein eigener Abschnitt gewidmet. Der Aufwand für die Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil, den die zweite Formulierung charakterisiert, lohnt sich nur bei Kompressibilität. Die dritte Formulierung mit den Eigenwerten kann bei Kompressibilität und Inkompressibilität gleichermaßen angewendet werden.

Isotrope kompressibile Hyperelastizität

Benutzung der Hauptinvarianten von b

Bei Kompressibilität hängt die Formänderungsenergie von allen drei Hauptinvarianten ab. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Ableitungen der Invarianten

Mit den für symmetrische Tensoren gültigen Ableitungen ${\frac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathbf {I}$ ${\frac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} ){\textbf {I}}-\mathbf {b}$ ${\frac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )\mathbf {b} ^{-1}$ berechnet sich die Ableitung der Formänderungsenergie: ${\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right){\textbf {I}}-\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {b} +{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {b\cdot b}$ Mit dem Satz von Cayley-Hamilton: ${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} ^{3}&=&\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} ^{2}-\mathrm {I} _{2}\mathbf {b} +\mathrm {I} _{3}\mathbf {I} \\\mathbf {b} ^{2}&=&\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} -\mathrm {I} _{2}\mathbf {I} +\mathrm {I} _{3}\mathbf {b} ^{-1}\\\mathrm {I} _{3}\mathbf {b} ^{-1}&=&\mathbf {b} ^{2}-\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} +\mathrm {I} _{2}\mathbf {I} \end{array}}$ ergibt sich ${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}&=&\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {b} -\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\right)\mathbf {b\cdot b} +{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\left(\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} ^{2}-\mathrm {I} _{2}\mathbf {b} +\mathrm {I} _{3}{\textbf {I}}\right)\\&=&\mathrm {I} _{3}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}{\textbf {I}}+\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b} \\&=&\left(\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathrm {I} _{3}\right)\mathbf {I} +{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -\mathrm {I} _{3}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}\end{array}}\,.$

Als Resultat belaufen sich die Cauchy’schen Spannungen auf

${\begin{array}{lcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2},\mathrm {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2{\dfrac {\rho _{0}}{J}}\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2},\mathrm {I} _{3})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]&=&2\rho \mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}{\textbf {I}}+2\rho \left({\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b} \\[2ex]&=&2\rho \left(\mathrm {I} _{2}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}+{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathrm {I} _{3}\right)\mathbf {I} +2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -2\rho \mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}\end{array}}\,.$

Aufteilung in unimodularen und volumetrischen Anteil

Bei Kompressibilität können die Invarianten von

${\bar {\mathbf {b} }}=J^{\frac {-2}{3}}\mathbf {b} \rightarrow \operatorname {det} ({\bar {\mathbf {b} }})=1$

benutzt werden was den Vorteil hat, dass der volumetrische Kugelanteil und der unimodulare, gestaltändernde Anteil getrennt modelliert werden können. Es werden dann die Invarianten

${\begin{array}{lcl}{\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )&:=&\mathrm {Sp} ({\bar {\mathbf {b} }})=J^{\frac {-2}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {b} )\\[1ex]{\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} )&:=&{\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} {({\bar {\mathbf {b} }})}^{2}-\mathrm {Sp} ({\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }})]=J^{\frac {-4}{3}}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )\\[1ex]J&=&{\sqrt {\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )}}={\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {b} )}}\end{array}}$

eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Ableitungen der Hauptinvarianten bei Kompressibilität

Die Ableitungen der Invarianten lauten: ${\frac {\mathrm {d} J}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {\mathrm {d} {\sqrt {\operatorname {det} (\mathbf {b} )}}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {J}{2}}\mathbf {b} ^{-1}$ ${\frac {\mathrm {d} {\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\left(J^{\frac {-2}{3}}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )\right)=J^{\frac {-2}{3}}{\textbf {I}}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}\mathbf {b} ^{-1}$ ${\frac {\mathrm {d} {\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\left(J^{\frac {-4}{3}}\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )\right)=J^{\frac {-2}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{1}{\textbf {I}}-J^{\frac {-4}{3}}\mathbf {b} -{\frac {2}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{2}\mathbf {b} ^{-1}$ Daraus folgt: ${\begin{array}{lcl}\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2},J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}&=&\mathbf {b} \cdot \left[{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}\left(J^{\frac {-2}{3}}{\textbf {I}}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}\mathbf {b} ^{-1}\right)+{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\left(J^{\frac {-2}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{1}{\textbf {I}}-J^{\frac {-4}{3}}\mathbf {b} -{\frac {2}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{2}\mathbf {b} ^{-1}\right)+{\frac {\partial w}{\partial J}}{\frac {J}{2}}\mathbf {b} ^{-1}\right]\\&=&\left({\frac {J}{2}}{\frac {\partial w}{\partial J}}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}-{\frac {2}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{2}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right){\textbf {I}}+J^{\frac {-2}{3}}\left({\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\bar {\mathrm {I} }}_{1}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right)\mathbf {b} -J^{\frac {-4}{3}}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\mathbf {b\cdot b} \\&=&\left({\frac {J}{2}}{\frac {\partial w}{\partial J}}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\frac {1}{3}}{\bar {\mathrm {I} }}_{2}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right)\mathbf {I} +J^{\frac {-2}{3}}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}\mathbf {b} -J^{\frac {2}{3}}{\frac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\mathbf {b} ^{-1}\end{array}}$ denn nach dem Satz von Cayley-Hamilton ist $\mathbf {b} ^{2}=\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} -\mathrm {I} _{2}\mathbf {I} +\mathrm {I} _{3}\mathbf {b} ^{-1}\,.$

Als Resultat ergeben sich die Cauchy’schen Spannungen

${\begin{array}{lcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&2\rho \mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2},J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2{\dfrac {\rho _{0}}{J}}\mathbf {b} \cdot {\dfrac {\mathrm {d} w({\bar {\mathrm {I} }}_{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2},J)}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\\[2ex]&=&\rho \left(J{\dfrac {\partial w}{\partial J}}-{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}-{\dfrac {4{\bar {\mathrm {I} }}_{2}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right){\textbf {I}}+2\rho \left({\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\bar {\mathrm {I} }}_{1}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right){\bar {\mathbf {b} }}-2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}{\bar {\mathbf {b} }}\cdot {\bar {\mathbf {b} }}\\[2ex]&=&\rho \left(J{\dfrac {\partial w}{\partial J}}-{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}+{\dfrac {2{\bar {\mathrm {I} }}_{2}}{3}}{\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}\right)\mathbf {I} +2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{1}}}{\bar {\mathbf {b} }}-2\rho {\dfrac {\partial w}{\partial {\bar {\mathrm {I} }}_{2}}}{\bar {\mathbf {b} }}^{-1}\end{array}}\,.$

Isotrope inkompressible Hyperelastizität

Bei Inkompressibilität entfällt eine Abhängigkeit von $J$ weil $J$ konstant gleich eins ist. Daher werden nur die Hauptinvarianten

${\begin{array}{lcl}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )&=&\mathrm {Sp} (\mathbf {b} )\\\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )&=&{\frac {1}{2}}[\mathrm {Sp} {(\mathbf {b} )}^{2}-\mathrm {Sp} (\mathbf {b\cdot b} )]\end{array}}$

eingesetzt. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen dieser Invarianten und der Formänderungsenergie.

Ableitungen der Hauptinvarianten bei Inkompressibilität

Die Ableitungen der beiden Hauptinvarianten lauten für symmetrische Tensoren: ${\frac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {\mathrm {d} \mathrm {Sp} (\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathbf {I}$ ${\frac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} ){\textbf {I}}-\mathbf {b}$ Es folgt: $\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\mathbf {b} \cdot \left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}{\textbf {I}}+{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}(\mathrm {I} _{1}{\textbf {I}}-\mathbf {b} )\right)=\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b}$ Mit dem Satz von Cayley-Hamilton im Fall der Inkompressibilität $\mathbf {b\cdot b} =\mathrm {I} _{1}\mathbf {b} -\mathrm {I} _{2}{\textbf {I}}+\mathbf {b} ^{-1}$ ergibt sich $\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} +\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}{\textbf {I}}-{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}$

Daraus resultiert die Darstellung

${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +2\rho _{0}\mathbf {b} {\frac {\mathrm {d} w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2})}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=-p\mathbf {I} +2\rho _{0}\left({\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}+\mathrm {I} _{1}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\right)\mathbf {b} -2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b\cdot b}$

oder

${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -2\rho _{0}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}$

wobei der Term $2\rho _{0}\mathrm {I} _{2}{\frac {\partial w}{\partial \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {I}$ dem unbestimmten Kugelanteil $-p\mathbf {I}$ zugeschlagen wurde.

Benutzung der Eigenwerte von v

Auch die Eigenwerte $\lambda _{1,2,3}$ des linken Strecktensors $\mathbf {v}$ können als Invarianten benutzt werden und zwar sowohl bei Kompressibilität als auch bei Inkompressibilität. Die folgende Tabelle gibt für symmetrische Tensoren gültige Ableitungen der Eigenwerte und der Formänderungsenergie.

Ableitungen der Eigenwerte von v

Die Eigenwerte von $\mathbf {b} =\mathbf {v\cdot v}$ sind die Quadrate der Eigenwerte $\lambda _{i}$ von $\mathbf {v}$ aber beide Tensoren haben dieselben Eigenvektoren ${\vec {v}}_{1,2,3}$, die auf den Betrag eins normiert seien. Die Eigenvektoren sind paarweise senkrecht aufeinander oder orthogonalisierbar weil $\mathbf {b}$ und $\mathbf {v}$ symmetrisch sind. Die Ableitung der Eigenwerte ergibt sich zu ${\frac {\mathrm {d} \lambda _{i}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}={\frac {1}{2\lambda _{i}}}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}_{i}$ (keine Summe, siehe Strecktensor). Das Rechenzeichen „$\otimes$“ berechnet das dyadische Produkt. Mit der spektralen Zerlegung $\mathbf {b} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}^{2}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}_{i}$ resultiert: $2\mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=2\mathbf {b} \cdot \left(\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\frac {\mathrm {d} \lambda _{i}}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}\right)=\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}_{i}$

Bei Verwendung der Eigenwerte ist also

${\boldsymbol {\sigma }}=2\rho \mathbf {b} \cdot {\frac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathbf {b} }}=\rho \sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}_{i}=\rho _{0}\sum _{i=1}^{3}{\frac {\lambda _{i}}{J}}{\frac {\partial w}{\partial \lambda _{i}}}{\vec {v}}_{i}\otimes {\vec {v}}_{i}\,.$

Das Rechenzeichen „$\otimes$“ berechnet das dyadische Produkt und ${\vec {v}}_{1,2,3}$ sind die auf eins normierten Eigenvektoren von $\mathbf {b}$. Im Fall der Inkompressibilität kann zusätzlich

$\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=\operatorname {det} (\mathbf {F} )=1\quad \rightarrow \quad \lambda _{3}={\frac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}$

eingesetzt werden.

Spezielle Formänderungsenergiefunktionen

Im Folgenden werden einige gebräuchliche Formänderungsenergiefunktionen vorgestellt.

Lineare Hyperelastizität

Die spezifische Formänderungsenergie, die auf das Hooke’sche Gesetz führt, lautet

${\begin{array}{rcl}\rho _{0}w_{0}(\mathbf {E} )&=&G\left[\mathbf {E} :\mathbf {E} +{\frac {\nu }{1-2\nu }}\mathrm {Sp} {(\mathbf {E} )}^{2}\right]\\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2G\left[\mathbf {E} +{\frac {\nu }{1-2\nu }}\mathrm {Sp} (\mathbf {E} ){\textbf {I}}\right]\end{array}}\,.$

Der Materialparameter $G$ ist der Schubmodul und $\nu$ die Querkontraktionszahl. Aus der zweiten Ableitung nach den Verzerrungen $\mathbf {E}$ berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe

${\begin{array}{rcl}\mathbb {C} &:=&{\dfrac {\mathrm {d} {\tilde {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2G\mathbb {I} +\lambda \mathbf {I\otimes I} =\mathbb {C} ^{\top }\\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\mathbb {C} :\mathbf {E} \quad \rightarrow \quad w_{0}={\frac {1}{2\rho _{0}}}\mathbf {E} :\mathbb {C} :\mathbf {E} \end{array}}$

mit dem Einheitstensor vierter Stufe $\mathbb {I}$ und der Lamé-Konstanten

$\lambda ={\frac {2G\nu }{1-2\nu }}\,.$

Dieses Modell verallgemeinert das Hooke’sche Gesetz auf große Deformationen liefert aber nur bei moderaten Dehnungen physikalisch plausible Antworten. Die Dehnung, die dem Zusammendrücken eines Stabes auf null Länge entspricht, ergibt beispielsweise verschwindende Cauchy-Spannungen. Es approximiert aber jedwedes hyperelastische Modell bei kleinen Dehnungen in erster Ordnung.

Mooney-Rivlin-Modell

Spannungen beim Mooney-Rivlin-Modell unter einaxialem Zug in Abhängigkeit von der Streckung $a$ und dem Materialparameter $\beta =b$, siehe #Beispiel unten.

Eine Approximation zweiter Ordnung für inkompressible hyperelastische Körper stellt das Mooney-Rivlin-Modell

$\rho _{0}w={\frac {G}{2}}\left[\left({\frac {1}{2}}+\beta \right)(\mathrm {I} _{1}-3)+\left({\frac {1}{2}}-\beta \right)(\mathrm {I} _{2}-3)\right]$

$\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +G\left[\left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)\mathbf {b} +\left(\beta -{\frac {1}{2}}\right)\mathbf {b} ^{-1}\right]$

dar. Die Invarianten $\operatorname {I} _{1,2}$ gehören zum Strecktensor $\mathbf {b}$, der Parameter $G>0$ ist der Schubmodul und die dimensionslose Kennziffer $\beta$ mit

${\frac {-1}{2}}\leq \beta \leq {\frac {1}{2}}$

repräsentiert Effekte zweiter Ordnung. Oftmals werden stattdessen die Parameter

$C_{10}=G\left({\frac {1}{2}}+\beta \right),C_{01}=G\left({\frac {1}{2}}-\beta \right)\,,$

benutzt, die beide nicht negativ sein dürfen.

Neo-Hooke-Modell

Das Neo-Hooke-Modell ist der Sonderfall

$\beta ={\frac {1}{2}}\quad \Leftrightarrow \quad C_{01}=0$

des Mooney-Rivlin Materials:

$\rho _{0}w={\frac {C_{10}}{2}}(\mathrm {I} _{1}-3)\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +C_{10}\mathbf {b} \,.$

In dem ein volumetrischer Term hinzugefügt wird und die Invariante ${\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )$ statt $\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )$ benutzt wird, entsteht eine auch bei großen Dehnungen plausible Verallgemeinerung des Hooke’schen Stoffgesetzes für kompressible Elastomere:

$\rho _{0}w={\frac {C_{10}}{2}}({\bar {\mathrm {I} }}_{1}-3)+{\frac {K}{2}}\ln {(J)}^{2}\rightarrow {\boldsymbol {\sigma }}=K{\frac {\ln(J)}{J}}{\textbf {I}}+{\frac {C_{10}}{J}}\left({\bar {\mathbf {b} }}-{\frac {{\bar {\mathrm {I} }}_{1}}{3}}{\textbf {I}}\right)\,.$

Der Parameter $K$ kontrolliert die Kompressibilität. Es wurden aber auch noch andere Formulierungen für den volumetrischen Anteil vorgeschlagen.

Ogden-Modell

Das Ogden-Modell ist ein Modell für inkompressible Hyperelastizität. Dieses Modell ist in den Eigenwerten des linken Strecktensors formuliert:

$\rho _{0}w=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\mu _{i}}{\alpha _{i}}}(\lambda _{1}^{\alpha _{i}}+\lambda _{2}^{\alpha _{i}}+\lambda _{3}^{\alpha _{i}}-3)\,.$

Die Zahlen $\mu _{i}$ und $\alpha _{i}$ stellen die $2n$ Materialparameter dieses Modells dar.

Das Neo-Hooke-Modell ist der Spezialfall $n=1$ und $\alpha _{1}=2$ und mit $n=2,\alpha _{1}=2$ und $\alpha _{2}=-2$ ergibt sich das Mooney-Rivlin-Modell.

Näherung mit Taylorpolynomen

Wenn $w(\mathrm {I} _{1},\mathrm {I} _{2})$ an der Stelle $\mathrm {I} _{1}=3$ und $\mathrm {I} _{2}=3$, was in der undeformierten Lage bei F=I der Fall ist, durch ein Taylorpolynom angenähert wird, entsteht:

$\rho _{0}w=\sum _{i+j=1}^{n}C_{ij}(\mathrm {I} _{1}-3)^{i}(\mathrm {I} _{2}-3)^{j}\,.$

Die Zahlen $C_{ij}$ sind Materialparameter. Auch in diesem Modell sind das Neo-Hooke- und Mooney-Rivlin-Modell als Spezialfälle enthalten.

Anisotrope Hyperelastizität

Bei einem transversal isotropen Material, wie z. B. unidirektional verstärktem Kunststoff, kann eine Probe beliebig um die Faserrichtung gedreht werden, senkrecht zur Faser aber nur um 180°, ohne dass sich die Formänderungsenergie bei gegebener Dehnung ändert. Diese Drehungen können in einer Menge ${\mathcal {G}}$ zusammengefasst werden. Wenn zwei Drehungen aus ${\mathcal {G}}$ hintereinander ausgeführt werden, wird wieder eine Drehung aus ${\mathcal {G}}$ erhalten. Mit der 0°-Drehung als neutralem und der Rückdrehung als inversem Element stellt ${\mathcal {G}}$ eine Gruppe dar: die Symmetriegruppe des Materials.

Allgemein wird die Richtungsabhängigkeit eines Materials durch die Symmetriegruppe des Materials beschrieben. Diese Gruppe beinhaltet alle Drehungen, die im materiellen Punkt stattfinden dürfen, ohne dass sich bei gegebener Dehnung die Formänderungsenergie ändert. Drehungen werden mathematisch mit orthogonalen Tensoren $\mathbf {Q}$ (mit $\mathbf {Q} \cdot \mathbf {Q} ^{\top }=\mathbf {I}$) beschrieben. Entsprechend ist die Symmetriegruppe des Materials die Menge ${\mathcal {G}}$ von orthogonalen Tensoren $\mathbf {Q}$ die definiert ist über:

$\mathbf {Q} \in {\mathcal {G}}\quad \Leftrightarrow \quad w_{0}(\mathbf {E} )=w_{0}(\mathbf {Q\cdot E\cdot Q} ^{\top })\,.$

Eine spezifische Formänderungsenergie mit dieser Eigenschaft kann mit tensoriellen Strukturvariablen $\mathbf {M} _{i}$ formuliert werden:

$w_{0}=w_{0}(\mathbf {E} ,\mathbf {M} _{1},\mathbf {M} _{2},\ldots )\,.$

Allerdings ist es im Allgemeinen nicht einfach diese Strukturvariablen aufzufinden, die Tensoren zweiter, vierter oder sechster Stufe sein können.

Bei der transversalen Isotropie ist es jedoch einfach, denn es genügt eine Strukturvariable.

Transversal isotrope Hyperelastizität

→ Hauptartikel: Transversale Isotropie

Bildhafte Erklärung der transversalen Isotropie.
Der Werkstoff ist rotationssymmetrisch bezüglich der 1-Achse, die senkrecht auf der isotropen 2-3-Ebene steht.
Ein so orientierter Rundstab aus diesem Material kann um seine Längsachse gedreht werden, ohne dass sich seine Eigenschaften ändern.

Bei der transversal isotropen Hyperelastizität hat das Material eine Vorzugsrichtung, die 1-Richtung im Bild, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. In der 2-3-Ebene senkrecht zur Vorzugsrichtung verhält sich das Material isotrop. Die Vorzugsrichtung wird mit einem materiellen Linienelement ${\vec {a}}$ der Länge eins definiert. Die dazugehörende Strukturvariable ist der symmetrische Tensor

$\mathbf {A} :={\vec {a}}\otimes {\vec {a}}\,.$

Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann von den fünf Invarianten

${\begin{array}{lcl}\mathrm {I} _{1}=\mathrm {Sp} (\mathbf {E} )&\rightarrow &{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{1}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=\mathbf {I} \\[2ex]\mathrm {J} _{2}=\mathrm {I} _{1}(\mathbf {E\cdot E} )&\rightarrow &{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {J} _{2}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=\mathbf {E} \\[2ex]\mathrm {I} _{3}=\mathrm {det} (\mathbf {E} )&\rightarrow &{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{3}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=\mathrm {I} _{3}\mathbf {E} ^{-1}\\[2ex]\mathrm {I} _{4}=\mathbf {A} :\mathbf {E} &\rightarrow &{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{4}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=\mathbf {A} \\[2ex]\mathrm {I} _{5}=\mathbf {A} :(\mathbf {E\cdot E} )&\rightarrow &{\dfrac {\mathrm {d} \mathrm {I} _{5}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=\mathbf {A\cdot E} +\mathbf {E\cdot A} \end{array}}$

ab. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann dann über die Ableitung

${\dfrac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}={\dfrac {\mathrm {d} w_{0}(\mathrm {I} _{1},\mathrm {J} _{2},\mathrm {I} _{3},\mathrm {I} _{4},\mathrm {I} _{5})}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}={\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {I} +{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {J} _{2}}}\mathbf {E} +\mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {E} ^{-1}+{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{4}}}\mathbf {A} +{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{5}}}(\mathbf {A\cdot E} +\mathbf {E\cdot A} )$

berechnet werden.

Bei der transversal isotropen linearen Elastizität kommen die Verzerrungen in $w_{0}$ quadratisch vor:

$\rho _{0}w(\mathbf {E} )={\dfrac {\lambda }{2}}\mathrm {I} _{1}^{2}+2G_{23}\mathrm {J} _{2}+\mu \mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{4}+2(G_{12}-G_{23})\mathrm {I} _{5}+{\dfrac {\eta }{2}}\mathrm {I} _{4}^{2}$

Die Materialparameter in

${\begin{array}{lcl}\lambda &=&{\dfrac {(\nu _{12}\nu _{21}+\nu _{23})E_{2}}{(1-\nu _{23}-2\nu _{12}\nu _{21})(1+\nu _{23})}}\\\mu &=&2\nu _{12}(\lambda +G_{23})-\lambda \\\eta &=&{\dfrac {(1-\nu _{23})E_{1}}{1-\nu _{23}-2\nu _{12}\nu _{21}}}-\lambda -2\mu +2G_{23}-4G_{12}\end{array}}$

und $G_{12}$, $G_{23}$ werden auf der Seite Transversale Isotropie erläutert. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen sind nach der Ableitung der Formänderungsenergie

${\tilde {\mathbf {T} }}=\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}(\mathrm {I} _{1},\mathrm {J} _{2},\mathrm {I} _{3},\mathrm {I} _{4},\mathrm {I} _{5})}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=(\lambda \mathrm {I} _{1}+\mu \mathrm {I} _{4})\mathbf {I} +2G_{23}\mathbf {E} +(\mu \mathrm {I} _{1}+\eta \mathrm {I} _{4})\mathbf {A} +2(G_{12}-G_{23})(\mathbf {A\cdot E} +\mathbf {E\cdot A} )$

lineare Funktionen der aktuellen Dehnungen. Nochmalige Ableitung nach den Verzerrungen $\mathbf {E}$ berechnet den konstanten und symmetrischen Elastizitätstensor vierter Stufe

${\begin{array}{rcl}\mathbb {C} &:=&{\dfrac {\mathrm {d} {\tilde {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}=2G_{23}\mathbb {I} +2(G_{12}-G_{23})\mathbb {A} +\lambda \mathbf {I\otimes I} +\mu (\mathbf {A\otimes I} +\mathbf {I\otimes A} )+\eta \mathbf {A\otimes A} \\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\mathbb {C} :\mathbf {E} \quad \rightarrow \quad w_{0}={\frac {1}{2\rho _{0}}}\mathbf {E} :\mathbb {C} :\mathbf {E} \end{array}}$

Der Tensor vierter Stufe $\mathbb {A}$ ist definiert als

$\mathbb {A} =\sum _{i,j,k,l=1}^{3}(A_{ik}\delta _{jl}+A_{lj}\delta _{ik})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\quad \rightarrow \;\mathbb {A} :\mathbf {H} =\mathbf {A\cdot H} +\mathbf {H\cdot A} \quad {\text{für alle}}\quad \mathbf {H}$

Die Größen $A_{ij}$ sind die Komponenten des Tensors $\mathbf {A}$ bezüglich der Standardbasis ${\vec {e}}_{1,2,3}$ und $\delta _{ij}$ ist das Kronecker-Delta.

Orthotrope Hyperelastizität

→ Hauptartikel: Orthotropie

Bei der orthtropen Hyperelastizität hat das Material keine Zug-Scher-Kopplung aber drei Vorzugsrichtungen, die paarweise senkrechten Orthotropieachsen, in der das Material andere Eigenschaften hat als senkrecht dazu. Die Symmetriegruppe dieses Materials beinhaltet alle 180° Drehungen um eine dieser drei Achsen. Die Strukturvariablen werden mit dem dyadischen Produkt von zwei materiellen Linienelementen ${\vec {a}},{\vec {b}}$ der Länge eins definiert:

$\mathbf {A} :={\vec {a}}\otimes {\vec {a}}\quad {\textsf {und}}\quad \mathbf {B} :={\vec {b}}\otimes {\vec {b}}$

wobei hier ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ vorausgesetzt wird. Die spezifische Formänderungsenergie hängt dann, neben den aus der transversalen Isotropie bekannten fünf Invarianten, noch von den Invarianten

${\begin{array}{lclclcl}\mathrm {I} _{6}&=&\mathbf {B} :\mathbf {E} &\rightarrow &{\dfrac {\partial \mathrm {I} _{6}}{\partial \mathbf {E} }}&=&\mathbf {B} \\[2ex]\mathrm {I} _{7}&=&\mathbf {B} :(\mathbf {E\cdot E} )&\rightarrow &{\dfrac {\partial \mathrm {I} _{7}}{\partial \mathbf {E} }}&=&\mathbf {B\cdot E} +\mathbf {E\cdot B} \end{array}}$

und zwei weiteren Invarianten ab, die jedoch wegen ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$ keinen Beitrag liefern und hier nicht berücksichtigt zu werden brauchen. Der zweite Piola-Kirchhoff-Tensor kann nun über die Ableitung

${\begin{array}{lcl}{\dfrac {1}{\rho _{0}}}{\tilde {\mathbf {T} }}&=&{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}(\mathrm {I} _{1},{\mathrm {J} }_{2},\mathrm {I} _{3},\mathrm {I} _{4},\mathrm {I} _{\mathrm {5,} }\mathrm {I} _{6},\mathrm {I} _{7})}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}\\&=&{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {I} +{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial {\mathrm {J} }_{2}}}\mathbf {E} +\mathrm {I} _{3}{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{3}}}\mathbf {E} ^{-1}+{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{4}}}\mathbf {A} +{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{5}}}(\mathbf {A\cdot E} +\mathbf {E\cdot A} )+{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{6}}}\mathbf {B} +{\dfrac {\partial w_{0}}{\partial \mathrm {I} _{7}}}(\mathbf {B\cdot E} +\mathbf {E\cdot B} )\end{array}}$

berechnet werden.

Bei der orthotropen linearen Elastizität kommen die Verzerrungen in $w_{0}$ quadratisch vor:

$\rho _{0}w_{0}=a\mathrm {J} _{2}+b\mathrm {I} _{5}+c\mathrm {I} _{7}+{\dfrac {d}{2}}\mathrm {I} _{1}^{2}+{\dfrac {e}{2}}\mathrm {I} _{4}^{2}+{\dfrac {f}{2}}\mathrm {I} _{6}^{2}+g\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{4}+h\mathrm {I} _{4}\mathrm {I} _{6}+p\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{6}$

Die Koeffizienten $a,b,c,d,e,f,g,h$ und $p$ sind neun Materialparameter des Modells. Die zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungen berechnen sich dann zu:

${\begin{array}{lcl}{\tilde {\mathbf {T} }}&=&\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w_{0}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}\\&=&(d\mathrm {I} _{1}+g\mathrm {I} _{4}+p\mathrm {I} _{6})\mathbf {I} +a\mathbf {E} +b(\mathbf {A\cdot E} +\mathbf {E\cdot A} )+c(\mathbf {B\cdot E} +\mathbf {E\cdot B} )\\&&+(e\mathrm {I} _{4}+g\mathrm {I} _{1}+h\mathrm {I} _{6})\mathbf {A} +(f\mathrm {I} _{6}+h\mathrm {I} _{4}+p\mathrm {I} _{1})\mathbf {B} \end{array}}\,.$

Aus der zweiten Ableitung nach den Verzerrungen $\mathbf {E}$ berechnet sich der konstante und symmetrische Elastizitätstensor vierter Stufe

${\begin{array}{rcl}\mathbb {C} :={\dfrac {\mathrm {d} {\tilde {\mathbf {T} }}}{\mathrm {d} \mathbf {E} }}&=&a\mathbb {I} +b\mathbb {A} +c\mathbb {B} +d\mathbf {I\otimes I} +e\mathbf {A\otimes A} +f\mathbf {B\otimes B} \\&&+g(\mathbf {A\otimes I} +\mathbf {I\otimes A} )+h(\mathbf {A\otimes B} +\mathbf {B\otimes A} )+p(\mathbf {B\otimes I} +\mathbf {I\otimes B} )\\\rightarrow {\tilde {\mathbf {T} }}&=&\mathbb {C} :\mathbf {E} \quad \rightarrow \quad w_{0}={\frac {1}{2\rho _{0}}}\mathbf {E} :\mathbb {C} :\mathbf {E} \end{array}}$

Der Tensor vierter Stufe $\mathbb {B}$ ist analog zum Tensor $\mathbb {A}$ definiert als

$\mathbb {B} =\sum _{i,j,k,l=1}^{3}(B_{ik}\delta _{jl}+B_{lj}\delta _{ik})({\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}\otimes {\vec {e}}_{k}\otimes {\vec {e}}_{l})\quad \rightarrow \;\mathbb {B} :\mathbf {H} =\mathbf {B\cdot H} +\mathbf {H\cdot B} \quad {\text{für alle}}\quad \mathbf {H}$

Die Größen $B_{ij}$ sind die Komponenten des Tensors $\mathbf {B}$ bezüglich der Standardbasis ${\vec {e}}_{1,2,3}$.

Wenn speziell ${\vec {a}}={\vec {e}}_{1}$ und ${\vec {b}}={\vec {e}}_{2}$ vorliegt, ist in Voigt’scher Notation:

${\begin{bmatrix}{\tilde {\sigma }}_{11}\\{\tilde {\sigma }}_{22}\\{\tilde {\sigma }}_{33}\\{\tilde {\sigma }}_{23}\\{\tilde {\sigma }}_{13}\\{\tilde {\sigma }}_{12}\end{bmatrix}}=\underbrace {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\&&C_{33}&0&0&0\\&&&G_{23}&0&0\\&{\text{sym}}&&&G_{13}&0\\&&&&&G_{12}\end{bmatrix}} _{=:C}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}$

Die Variablen ${\tilde {\sigma }}_{ij}$ sind die Komponenten von ${\tilde {\mathbf {T} }}$ und $\varepsilon _{ij}$ die Komponenten von $\mathbf {E}$ bezüglich der Standardbasis. Mit den Koeffizienten

${\begin{aligned}C_{11}=&(1-\nu _{23}\nu _{32}){\frac {E_{1}}{D}}=a+2b+d+e+2g\\C_{22}=&(1-\nu _{31}\nu _{13}){\frac {E_{2}}{D}}=a+2c+d+f+2p\\C_{33}=&(1-\nu _{12}\nu _{21}){\frac {E_{3}}{D}}=a+d\\C_{12}=&\nu _{13}\nu _{23}{\frac {E_{3}}{D}}+\nu _{12}{\frac {E_{2}}{D}}=d+g+h+p\\C_{23}=&\nu _{21}\nu _{31}{\frac {E_{1}}{D}}+\nu _{23}{\frac {E_{3}}{D}}=d+p\\C_{13}=&\nu _{32}\nu _{12}{\frac {E_{2}}{D}}+\nu _{31}{\frac {E_{1}}{D}}=d+g\\D=&1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{23}\nu _{32}-\nu _{13}\nu _{31}-2\nu _{12}\nu _{23}\nu _{31}\end{aligned}}$

beziehungsweise

${\begin{aligned}a=&2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\b=&2(G_{12}-G_{23})\\c=&2(G_{12}-G_{13})\\d=&(1-\nu _{12}\nu _{21}){\frac {E_{3}}{D}}-2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\=&C_{33}-2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\e=&(1-\nu _{23}\nu _{32}-2\nu _{31}){\frac {E_{1}}{D}}-2\nu _{32}\nu _{12}{\frac {E_{2}}{D}}+(1-\nu _{12}\nu _{21}){\frac {E_{3}}{D}}-4G_{13}\\=&C_{11}+C_{33}-2C_{13}-4G_{13}\\f=&(1-\nu _{12}\nu _{21}-2\nu _{23}){\frac {E_{3}}{D}}-2\nu _{21}\nu _{31}{\frac {E_{1}}{D}}+(1-\nu _{13}\nu _{31}){\frac {E_{2}}{D}}-4G_{23}\\=&C_{22}+C_{33}-2C_{23}-4G_{23}\\g=&\nu _{31}{\frac {E_{1}}{D}}+\nu _{32}\nu _{12}{\frac {E_{2}}{D}}-(1-\nu _{12}\nu _{21}){\frac {E_{3}}{D}}+2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\=&C_{13}-C_{33}+2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\h=&(1-\nu _{12}\nu _{21}-(1-\nu _{13})\nu _{23}){\frac {E_{3}}{D}}+\nu _{12}(1-\nu _{32}){\frac {E_{2}}{D}}-\nu _{31}(1+\nu _{21}){\frac {E_{1}}{D}}-2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\=&C_{33}+C_{12}-C_{13}-C_{23}-2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\p=&\nu _{21}\nu _{31}{\frac {E_{1}}{D}}-(1-\nu _{12}\nu _{21}-\nu _{23}){\frac {E_{3}}{D}}+2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\\=&C_{23}-C_{33}+2(G_{23}+G_{13}-G_{12})\end{aligned}}$

ergibt sich die Nachgiebigkeitsmatrix des orthotropen Materials durch Invertierung der Matrix $C$ :

$C^{-1}={\begin{bmatrix}{\dfrac {1}{E_{1}}}&{\dfrac {-\nu _{12}}{E_{1}}}&{\dfrac {-\nu _{13}}{E_{1}}}&0&0&0\\&{\dfrac {1}{E_{2}}}&{\dfrac {-\nu _{23}}{E_{2}}}&0&0&0\\&&{\dfrac {1}{E_{3}}}&0&0&0\\&&&{\dfrac {1}{G_{23}}}&0&0\\&\mathrm {sym} &&&{\dfrac {1}{G_{13}}}&0\\&&&&&{\dfrac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}$

Darin ist mit $i,j=1,2,3$

• $E_{i}$ der Elastizitätsmodul in Richtung i
• $G_{ij}$ der Schubmodul in der i-j-Ebene
• $\nu _{ij}$ die Querkontraktionszahl in Richtung j (Wirkung) bei Belastung in i-Richtung (Ursache)

Die Dimensionen der Module sind Kraft pro Fläche während die Querkontraktionszahlen dimensionslos sind.

Beispiel

Ein Klotz (grün) wird mit den Faktoren a, b und c in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt (weiß)

Ein homogener Klotz aus inkompressiblem hyperelastischem Material wird wie im Bild homogen mit den Faktoren $a,b,c$ in x-, y- bzw. z-Richtung gestreckt. Bei $a,b,c=1$ verbleibt der Klotz im Ausgangszustand. Dann ergeben sich der Deformationsgradient, der linke Cauchy-Green-Tensor und der linke Strecktensor

$\mathbf {F} ={\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}\rightarrow \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a^{2}&0&0\\0&b^{2}&0\\0&0&c^{2}\end{pmatrix}}\rightarrow \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&c\end{pmatrix}}$

sowie die Invarianten und Eigenvektoren:

${\begin{array}{lll}\mathrm {I} _{1}(\mathbf {b} )=a^{2}+b^{2}+c^{2}\,,&\mathrm {I} _{2}(\mathbf {b} )=a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}\,,&\mathrm {I} _{3}(\mathbf {b} )=a^{2}b^{2}c^{2}\\[1ex]{\bar {\mathrm {I} }}_{1}(\mathbf {b} )={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{{\sqrt[{3}]{(abc)}}^{2}}}\,,&{\bar {\mathrm {I} }}_{2}(\mathbf {b} )={\frac {a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}}{{\sqrt[{3}]{(abc)}}^{4}}}\,,&J=abc\\\lambda _{1}=a\,,&\lambda _{2}=b\,,&\lambda _{3}=c\\{\vec {v}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,&{\vec {v}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,&{\vec {v}}_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\end{array}}\,.$

Wegen der angenommenen Inkompressibilität ist $abc=J=1,{\bar {\mathrm {I} }}_{1}=\mathrm {I} _{1},{\bar {\mathrm {I} }}_{2}=\mathrm {I} _{2}\,.$ Für die Bedatung der Materialmodelle werden drei Versuche mit den Streckungen in der Tabelle durchgeführt, siehe auch die Bilder unten.

Versuch	a	b	c
Uniaxialer Zug	$a$	${\frac {1}{\sqrt {a}}}$	${\frac {1}{\sqrt {a}}}$
Planarer Zug	$a$	$1$	${\frac {1}{a}}$
Biaxialer Zug	$a$	$a$	${\frac {1}{a^{2}}}$

Das Mooney-Rivlin-Modell liefert dann mit

${\begin{array}{rcl}\rho _{0}w&=&{\dfrac {C_{10}}{2}}(\mathrm {I} _{1}-3)+{\dfrac {C_{01}}{2}}(\mathrm {I} _{2}-3)\\[2ex]\rightarrow \rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathrm {I} _{1}}}&=&{\dfrac {C_{10}}{2}}={\dfrac {G}{2}}\left({\dfrac {1}{2}}+\beta \right)\\[2ex]\rightarrow \rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathrm {I} _{2}}}&=&{\dfrac {C_{01}}{2}}={\dfrac {G}{2}}\left({\dfrac {1}{2}}-\beta \right)\end{array}}$

die Spannungen

${\begin{array}{rcl}{\boldsymbol {\sigma }}&=&-p\mathbf {I} +2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathrm {I} _{1}}}\mathbf {b} -2\rho _{0}{\dfrac {\mathrm {d} w}{\mathrm {d} \mathrm {I} _{2}}}\mathbf {b} ^{-1}\\[3ex]\rightarrow {\begin{pmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{xy}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{xz}&\sigma _{yz}&\sigma _{zz}\end{pmatrix}}&=&-p{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}+C_{10}{\begin{pmatrix}a^{2}&0&0\\0&b^{2}&0\\0&0&c^{2}\end{pmatrix}}-C_{01}{\begin{pmatrix}a^{-2}&0&0\\0&b^{-2}&0\\0&0&c^{-2}\end{pmatrix}}.\end{array}}$

Der Druck $p$ errechnet sich aus den bei den Versuchen vorliegenden Randbedingungen.

Uniaxialer Zugversuch

Ein Klotz (grün) wird uniaxial in x-Richtung gestreckt (weiß)

Hier hat man

$b=c={\frac {1}{\sqrt {a}}}$

und aus der Randbedingung $\sigma _{yy}=\sigma _{zz}=0$ ermittelt man

$p=C_{10}a^{-1}-C_{01}a$

und erhält so

$\sigma _{xx}=C_{10}(a^{2}-a^{-1})+C_{01}(a-a^{-2})\,.$

Planarer Zugversuch

Ein Klotz (grün) wird planar in x-Richtung gestreckt (weiß)

Hier hat man

$b=1\quad {\textsf {und}}\quad c={\frac {1}{a}}$

und aus der Randbedingung $\sigma _{zz}=0$ ermittelt man

$p=C_{10}a^{-2}-C_{01}a^{2}$

und erhält so

${\begin{array}{rcl}\sigma _{xx}&=&(C_{10}+C_{01})(a^{2}-a^{-2})\,,\\\sigma _{yy}&=&C_{10}(1-a^{-2})+C_{01}(a^{2}-1)\,.\end{array}}$

Biaxialer Zugversuch

Ein Klotz (grün) wird biaxial in x- und y-Richtung gestreckt (weiß)

Hier hat man

$a=b\quad {\textsf {und}}\quad c={\frac {1}{a^{2}}}$

und aus der Randbedingung $\sigma _{zz}=0$ ermittelt man

$p=C_{10}a^{-4}-C_{01}a^{4}$

und erhält so

$\sigma _{xx}=\sigma _{yy}=C_{10}(a^{2}-a^{-4})+C_{01}(a^{4}-a^{-2})\,.$

Siehe auch

• Elastizitätstheorie
• Kontinuumsmechanik
• Potential (Physik)
• Hypo-Elastizität
• Formelsammlung Tensoralgebra
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• Horst Parisch: Festkörper Kontinuumsmechanik. Von den Grundgleichungen zur Lösung mit finiten Elementen. Teubner, Stuttgart 2003, ISBN 3-519-00434-8. 
• Gerhard A. Holzapfel: Nonlinear Solid Mechanics. A Continuum Approach for Engineering. Wiley, Chichester 2010, ISBN 978-0-471-82319-3. (EA Chichester 2000)
• Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity, Bd. 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8. (Studies in mathematics and its applications; Bd. 20)
• Peter Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-43111-X.