Intervall (Musik)

Als Intervall (von lat. intervallum = „Zwischenraum“, eigentl. „Raum zwischen Schanzpfählen“, von lat. vallus „Schanzpfahl“) bezeichnet man in der Musik den Abstand zwischen zwei gleichzeitig oder nacheinander erklingenden Tönen.

Wichtige Intervalle stammen aus der Obertonreihe, deren erste fünf Teiltöne in ihrer Reihenfolge der Prime, Oktave, Quinte, Quarte und großen Terz entsprechen. Die Oktave wird in historisch entstandenen Tonsystemen in Tonleitern eingeteilt, deren Tonstufen im Verhältnis zum Grundton diatonische Intervalle ergeben. Diese werden nach der Ordinalzahl ihrer Tonstufe bezeichnet.

In europäischer tonaler Musik ist das kleinste Intervall in der Regel ein Halbton-Abstand: die kleine Sekunde. Intervalle werden heute in Cent gemessen. In der gleichstufigen Stimmung misst ein Halbton 100 Cent. Alle übrigen Intervalle können als Vielfache davon aufgefasst werden.

Antikes Griechenland

Nach der Legende Pythagoras in der Schmiede definierte dieser die für Tonalität zentralen Intervalle als ganzzahlige Proportionen von Saitenlängen eines über einen Steg gespannten Monochords:

• Oktave: 1:2 (halbe Gesamtlänge)
• Quinte: 2:3
• Quarte: 3:4
• Ganzton: 8:9 (Differenz zwischen Quarte und Quinte)

Er berücksichtigte den „kleinen“ Ganzton - 9:10 - noch nicht und kannte deshalb keine große Terz, sondern ein aus zwei großen Ganztönen bestehendes, um das syntonische Komma (81:80) größeres Intervall: den Ditonus (81:64). Zog man den Ditonus von einer reinen Quarte ab, so blieb das Leimma übrig (256:243). Mit diesen Intervallen ließ sich kein stabiler harmonischer Dreiklang bilden, so dass die antike griechische Musik noch keine Harmonik im späteren europäischen Sinn ausbildete. Erst Archytas und Didymos bestimmten die große Terz (4:5), Eratosthenes die kleine Terz (5:6).

Die Pythagoreer ließen nur als ganzzahlige Verhältnisse errechenbare Intervalle gelten. Sie fanden keinen Quotienten, dessen Verdoppelung 8:9 ergibt, so dass sie den Ganzton nicht in zwei gleiche Halbtöne, sondern nur in einen kleineren (diesis) und einen größeren (apotome) Halbton teilen konnten. Auch war eine Oktave für sie mathematisch nicht exakt mit der Summe von sechs Ganzton- oder zwölf Halbtonschritten identisch: Denn zwölf aneinander gereihte reine Quinten ergab einen etwas höheren Zielton als die siebte Oktave des Ausgangstons. Die Differenz bezeichnet man als das pythagoreische Komma.

Philolaos rechnete addierte musikalische Intervalle in multiplizierte akustische Proportionen um. Diese Methode wurde nach 1585 von Simon Stevin durch eine Exponentialfunktion und um 1640 von Bonaventura Francesco Cavalieri und Juan Caramuel y Lobkowitz durch die logarithmische Umkehrfunktion optimiert. Euklid fasste Intervallproportionen hypothetisch bereits als Frequenzverhältnisse auf, ohne sie schon messen zu können.

Im Gegensatz zu den Phytagoreern definierte Aristoxenos Intervalle nicht mathematisch, sondern akustisch als hörbaren „Zwischenraum“ (diastema) zwischen zwei Tönen einer kontinuierlichen Melodie, wie es griechischer Musikpraxis entsprach. Demgemäß ordnete er jedem Intervall eine bestimmte Anzahl festgelegter Tonhöhen (Töne) zu, die es umfasst. So enthielt die Quarte vier aufeinander folgende Töne, ein sogenanntes Tetrachord. Dessen Außentöne wurden später ebenfalls kurz als Intervall bezeichnet, so dass der Begriff fortan den Abstand vom ersten zum letzten Ton einer solchen Tonfolge meinte.

Den Ganzton teilte Aristoxenos praktisch in zwei, drei oder vier gleiche Teilintervalle ein. Die verschiedene Kombination von Halb- und Ganztönen innerhalb eines Tetrachords ergab dessen genus (Tongeschlecht: diatonisch, chromatisch oder enharmonisch). Zwei im Abstand eines Ganztons aufeinander folgende Tetrachorde ergaben verschiedene Tonleitern (Modi) im Rahmen einer Oktave.

Europäische Tonalität

Intervalle als Tonleiterstufen

In der Geschichte Europas entstanden verschiedene Tonsysteme, von denen sich bis etwa 1700 in Mitteleuropa das dur-moll-tonale System durchsetzte. Dieses basiert auf Tonleitern mit sieben Tonstufen, die fünf Ganzton- und zwei Halbtonschritte enthalten. Aus den lateinischen Ordinalzahlen dieser Tonstufen (prima „die Erste“, secunda „die Zweite“, tertia „die Dritte“ usw.) ergaben sich die bekannten diatonischen Intervallnamen: Prime, Sekunde, Terz, Quarte, Quinte, Sexte, Septime, Oktave.

Intervallgruppen

Intervalle im Notenbild

Intervalle im Oktavraum werden in Gruppen von „reinen“, „kleinen“ und „großen“ Intervallen eingeteilt. Zu den reinen Intervallen zählen Primen, Quinten, Quarten und Oktaven. Bei Sekunden, Terzen, Sexten und Septimen unterscheidet man kleine und große Intervalle. Wenn Töne notiert und dann alteriert (versetzt) werden, unterscheidet man zudem übermäßige und verminderte Intervalle.

Alle reinen, kleinen und großen Intervalle können durch Versetzungszeichen in übermäßige oder verminderte verwandelt werden. Dabei wird ein Halbton zum jeweiligen Tonabstand addiert (übermäßig) oder subtrahiert (vermindert). Der Abstand zwischen vierter und siebter Tonstufe einer Durtonleiter entspricht in der Notation einer übermäßigen Quarte, der zwischen zweiter und sechster Tonstufe einer Molltonleiter einer verminderten Quinte. Akustisch klingen übermäßige Quarten oder verminderte Quinten in der gleichstufigen Stimmung gleich; beide werden Tritonus genannt. Ihr seid alles gefickte lämmer

Komplementärintervalle

Als Komplementärintervalle oder Umkehrintervalle bezeichnet man je zwei Intervalle im Oktavraum, die einander zu einer Oktave ergänzen. Dazu wird entweder der obere Ton des ersten Intervalls um eine Oktave nach unten oder der untere um eine Oktave nach oben versetzt. Jeweils komplementär sind:

• Primen und Oktaven,
• Sekunden und Septimen.
• Terzen und Sexten,
• Quarten und Quinten.

Dabei bleiben reine Intervalle rein, große werden mit kleinen, verminderte mit übermäßigen Intervallen ergänzt und umgekehrt. Intervalle, die über die Oktave hinausgehen, werden nicht gesondert ergänzt, sondern als Addition zu einer Oktave aufgefasst: Eine Dezime entspricht also einer Oktave plus einer Terz; zu ihr ist dann ebenfalls eine Sexte komplementär.

Konsonanzen und Dissonanzen

Als Konsonanz („Zusammenklang“) bezeichnet man alle Intervalle, deren Töne tonal geprägte Hörer als miteinander verschmelzend, zueinander gut passend, harmonisch entspannt, ruhig und stabil klingend empfinden. Als Dissonanz („Auseinanderklang“) bezeichnet man Intervalle, deren Töne eine starke Reibung gegeneinander und darum den Hörwunsch nach einer „Auflösung“ in eine Konsonanz erzeugen.

Welche Intervalle als konsonant oder dissonant empfunden werden, hat sich mit kulturellen Hörgewohnheiten und musiktheoretischen Festlegungen historisch verändert. In der Antike galten nur die Oktave, Quinte und Quarte als konsonant. Seit etwa 1500 werden in tonaler europäischer Musik auch Terzen und Sexten als Konsonanzen betrachtet. Als Dissonanzen gelten alle Sekunden und Septimen sowie alle übermäßigen oder verminderten Primen, Quarten, Quinten und Oktaven. Auch reine Quarten, deren Hauptton unten liegt, werden oft zu den Dissonanzen gezählt.

Dissonante Intervalle wurden kompositorisch seit dem Barock immer öfter nicht nur melodisch für Schlusswendungen, sondern auch harmonisch als Teil von Kadenzklängen gebraucht. Die kleine Septime etwa wurde Dominantklängen als spannungsreicher zusätzlicher Leitton mit Strebetendenz abwärts hinzugefügt und machte aus ihnen einen Dominantseptakkord. Zur Unterscheidung vom nach oben strebenden Leitton nennt man diesen Ton manchmal auch „Gleitton“.

Der Gebrauch von Dissonanzen für erhöhte harmonische Spannung verstärkte sich in der Romantik und Spätromantik, bis nahezu jeder tonleitereigene oder tonleiterfremde Ton als nach oben oder unten auflösbarer Leitton verwendet werden konnte, so dass sich die Tonalität aufzulösen begann.

Reine, mitteltönige, wohltemperierte und gleichstufige Stimmungen

Diatonische Intervalle im Oktavraum haben ganzzahlige Proportionen und entsprechende Schwingungsverhältnisse. Sie haben daher einen charakteristischen Klang, so dass man sie trotz leichter Verstimmungen erkennen und unterscheiden kann. Deshalb erscheinen sie unter demselben Namen in verschiedenen Stimmungen.

In der reinen Stimmung sind alle Intervalle vom Grundton einer Dur- oder Moll-Tonleiter aus exakt gestimmt und erklingen darauf bezogen optimal. Die Dreiklänge (Terzen und Quinten) der Tonika, der Dominante und der Subdominante sind rein. Bei Modulationen tritt neben einem Vorzeichenwechseln auch eine Tonhöhendifferenz von einem syntonischen Komma auf. Eine weitere Tonhöhendifferenz - das sogenannte pythagoräische Komma - besteht zwischen der siebten reingestimmten Oktave und der zwölften reinen Quinte, obwohl der notierte Zielton derselbe ist. Andere Tonarten können daher nur begrenzt verwendet werden; je weiter ihr Grundton vom Grundton der rein gestimmten Tonart entfernt ist, desto ungenauer sind ihre Intervalle, was harmonische Möglichkeiten stark einschränkt.

Daher wurden seit der Renaissance sogenannte Temperaturen mit kleinen Verstimmungen üblich, um so mehr Tonarten verwenden zu können. Besondere Stimmungen werden nach den sie kennzeichnenden Spezialintervallen benannt. Bei der mitteltönigen Stimmung werden viele großen Terzen rein gestimmt (die Quinten deshalb etwa 5 Cent zu klein) und so das syntonische Komma gleichmäßig auf andere Intervalle verteilt. Bei den wohltemperierten Stimmungen werden diese Stimmungen so erweitert, dass alle Tonarten - mit jeweils anderer Charakteristik - des Quintenzirkels spielbar wurden. Bei der gleichstufigen Stimmung werden alle zwölf Halbtöne der Oktave exakt auf 100 Cent gestimmt, so dass das phytagoreische Komma auf alle Tonstufen verteilt ist. So sind zwar alle übrigen Intervalle leicht unrein gestimmt, klingen dafür aber in allen Tonarten gleich.

Für die "Messung" der feinen Veränderungen der Intervalle in den verschiedenen Stimmungen verwendet man die Einheit Cent für Intervalle.

Tabellen der Quinten und Terzen in allen Tonlagen und in den verschiedenen Stimmungen findet man im Abschnitt Die Verwendung von Cent in der Musiktheorie.

Übersicht

Intervall	Proportionen	differenzierte Bezeichnungen	Näherung in Cent	zwölftönig gleichstufig, exakte Werte
Prime	1/1	reine Prime	0 Cent	0 Cent
übermäßige Prime	25/24 135/128	kleiner chromatischer Halbton großer chromatischer Halbton	71 Cent 92 Cent	100 Cent
kleine Sekunde	256/243 16/15	Leimma diatonisch rein	90 Cent 112 Cent	100 Cent
große Sekunde	10/9 9/8	kleiner Ganzton großer Ganzton	182 Cent 204 Cent	200 Cent
kleine Terz	6/5	reine kleine Terz	316 Cent	300 Cent
große Terz	5/4	reine große Terz	386 Cent	400 Cent
Quarte	4/3	reine Quarte	498 Cent	500 Cent
übermäßige Quarte	45/32 7/5 729/512	diatonisch rein Huygens Tritonus	590 Cent 582 Cent 612 Cent	600 Cent
verminderte Quinte	64/45 10/7	diatonisch rein Euler	610 Cent 617 Cent	600 Cent
Quinte	3/2	reine Quinte	702 Cent	700 Cent
kleine Sexte	8/5	reine kleine Sexte	814 Cent	800 Cent
große Sexte	5/3	reine große Sexte	884 Cent	900 Cent
kleine Septime	16/9 7/4	diatonisch rein Naturseptime	996 Cent 969 Cent	1000 Cent
große Septime	15/8	diatonisch rein	1088 Cent	1100 Cent
Oktave	2/1	reine Oktave	1200 Cent	1200 Cent

Hörbeispiele

Hörbeispiele mit einer Synthesizer-Streicherstimme

Halbtöne	Intervall	steigend	fallend
1	kleine Sekunde	C-Desⓘ	C-Hⓘ
2	große Sekunde	C-Dⓘ	C-Bⓘ
3	kleine Terz	C-Esⓘ	C-Aⓘ
4	große Terz	C-Eⓘ	C-Asⓘ
5	Quarte	C-Fⓘ	C-Gⓘ
6	Tritonus	C-Fisⓘ	C-Gesⓘ
7	Quinte	C-Gⓘ	C-Fⓘ
8	kleine Sexte	C-Asⓘ	C-Eⓘ
9	große Sexte	C-Aⓘ	C-Esⓘ
10	kleine Septime	C-Bⓘ	C-Dⓘ
11	große Septime	C-Hⓘ	C-Desⓘ
12	Oktave	C-Cⓘ	C-Cⓘ

Merkhilfen

Die Anfänge bekannter populärer Liedmelodien dienen oft dazu, sich die wichtigsten diatonischen Intervalle leichter zu merken. Diese Methode ist jedoch nur bedingt zuverlässig, da dieselben Intervalle sich in anderen musikalischen Zusammenhängen - abhängig u.a. von Tonleiterposition, Tongeschlecht, Klangfarbe, Ausdruck - verschieden anhören können. So klingt zum Beispiel die kleine Terz von E zu G in C-Dur (etwa in „Olé, olé, olé“) anders als das gleiche Intervall in der Tonart e-Moll (etwa in „Oh Heiland reiß die Himmel auf“, EG 7). Die große Terz weckt vom tieferen Ton aus aufwärts meist eine Dur-Assoziation, kann abwärts gespielt aber auch düster klingen: etwa beim unisono gespielten Anfangsmotiv des ersten Satzes von Beethovens „Schicksalssinfonie“ (G-G-G-Es). Hier ist noch nicht hörbar, ob dieses Intervall als Teil eines c-Moll- oder Es-Dur-Klanges einzuordnen ist.

Intervall	steigend	fallend
kleine Sekunde (Halbtonschritt)	„Kommt ein Vogel geflogen…“ „Schne-e-flöckchen, Weißröckchen, wann kommst Du geschneit?…“	„Vom Himmel hoch, da komm ich her…“ (Mendelssohn) When I get older…“ (Anfang von When I'm sixty four, The Beatles) Für Elise von Beethoven
große Sekunde	„Al-le meine Entchen“	„Schlaf, Kindlein, schlaf“ „Yes-ter day...“ (Yesterday Lennon/McCartney-The Beatles)
kleine Terz	„Ein Vo-gel woll-te Hochzeit machen…“ „Macht hoch die Tür…“	„Häns-chen klein…“ „Kuk-kuck, Kuk-kuck, ruft’s aus dem Wald…“
große Terz	„Al-le Vögel sind schon da…“ „Und in dem Schnee-ge-bir-ge…“ „Mor-ning has bro-ken…“ (Morning has broken, Cat Stevens)	„Nun ruh-en alle Wälder…“ (Dur) Leitmotiv der 5. Sinfonie von Beethoven (Schicksalssinfonie): G-G-G-Es (indifferent, s. Eingleitung) „Straw -ber-ry Fie -lds for-ever…“ (Dur) Strawberry Fields Forever (The Beatles/John Lennon) „Ce-ci -lia you're brea-king my heart…“ (Dur) (Anfang von Cecilia Simon & Garfunkel)
Quarte	„O Tannenbaum,…“	„Mor-gen, Kinder, wird’s was geben…“ Kleine Nachtmusik von W.A.Mozart, G-D-G-D-G-D-G-H-D
Tritonus	„Ma-ri-a…“ (Maria aus West Side Story)) „The Simp-sons…“ (Anfang der Titelmelodie der Simpsons)	In Kommt ein Vogel geflogen: „…von der Lie-bsten einen Gruß…“ „…Im Märzen der Bauer die-Röß-lein ein-spannt…“
Quinte	„Wach auf, meins Herzens Schöne…“ Chariots Of Fire von Vangelis (die ersten beiden Töne Keyboardflächensound) „Morgen kommt der Weihnachtsmann…“	„Ick heff mol in Ham-borg en Veermaster seen…“ (Shanty) „Nun sich der Tag geendet hat…“ (nach Adam Krieger)
kleine Sexte	„When Israel was in Egypt’s land…“, Go down Moses	„…gar fest um die Hand.“ (2. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel)
große Sexte	„Dies Bildnis ist bezaubernd schön…“ „Ich weiß, es wird einmal ein Wunder geschehn…“ „Ma co -me bali bella bim-ba…“ (ital. Volkslied) „My Bonnie is over the ocean…“ „And Now the End is near…“, My Way	„Nobody knows the trouble I’ve seen,…“ „Win-de weh’n, Schif-fe geh’n…“
kleine Septime	„There’s a place for us…“ (Somewhere aus West Side Story) „Wir setzen uns mit Tränen nieder und ru-fen Dir…“ (wiederholt im Schlusschor der Matthäuspassion, J.S.Bach) „Sing, sing, was geschah?…“ (Anfang des Refrain von Zogen einst fünf wilde Schwäne)	„…und der He-erbst be-ginnt.“ aus Bunt sind schon die Wälder
große Septime	O terra, addio, Schlussduett aus Aida	Die Hütte auf Hühnerfüßen aus Bilder einer Ausstellung von Mussorgski
Oktave	„Some-where over the rainbow…“ (Wizard of Oz) „I’m singing in the rain…“ „…gar fest um die Hand.“ (1. Schluss von Zum Tanze da geht ein Mädel)	Mainzer Narrhallamarsch „... der ihn nicht las -sen kann.“ Schluss vom C-a-f-f-e-e-Kanon (Karl Gottlieb Hering)

Mathematische Definitionen

Das Intervall im Sinn einer mathematischen Größe wird zwischen zwei beliebigen Tönen gebildet, unabhängig davon, ob die Töne gleichzeitig oder direkt nacheinander erklingen.

Die historische Tonsystemtheorie bevorzugt positive Intervalle als Tonabstände. Negative Intervalle bei Tondifferenzen spielen beim Transponieren eine Rolle und wurden in der Kanontechnik des Mittelalter schon gebraucht, ebenso die Prime (unisonus) als Intervall zwischen gleichhohen Tönen.

Siehe: Intervall (Mathematik).

Tonstruktur

Im Folgenden wird präzisiert:

• Je zwei Tönen, die man hört, kann man ein Intervall zuordnen.
• Von jedem Ton aus kann man ein gegebenes Intervall aufwärts singen.
• Von jedem Ton aus kann man ein Intervall aufwärts singen und daraufhin ein zweites Intervall. Man kann also Intervalle "addieren".

Den Intervallgrößenbereich kann man als Tonhöhenraum auffassen, in dem Intervalle wie Vektoren und Tonhöhen wie Punkte betrachtet werden. Der Größenbereich wird dann auf natürliche Weise zur Tonstruktur. Genauer:

Bei einer Tonstruktur hat man einerseite eine Menge von Tönen, zum Beispiel: ..., c, d, e, f, ... und anderserseits eine Menge von Intervallen zum Beispiel: Oktave, Quinte, große Terz, ...

Jedem Tonpaar $(x,y)$ wird ein eindeutiges Intervall $i={\overrightarrow {xy}}$ von $x$ zu $y$ zuordnet.

Beispiel: $Quinte={\overrightarrow {EsAs}}$ ( $Es=Grundton$, $As=Endton$):

Ist umgekehrt der Grundton $x$ und das Intervall $i$ bekannt, so ist durch $i={\overrightarrow {xy}}$ der Endton $y=x\oplus i$ eindeutig bestimmt.

Intervalle kann man nach folgender Vorschrift (wie bei Vektoren) addieren: Ist $i={\overrightarrow {xy}}$ und $j={\overrightarrow {yz}}$, dann ist $i+j={\overrightarrow {xz}}$.

Töne und Intervalle kann man vergleichen ("Der Ton $x$ ist höher als der Ton $y$". "Das Intervall $j$ ist größer als das Intervall $i$".)

Wir schreiben $i\!\ <j$, wenn der Endton von $j$ höher als der Endton von $i$ bei gleichem Grundton ist.

Zum Beispiel: $Quinte<Oktave$, da zum Beispiel $Quinte=CG$ und $Oktave=Cc$ und der Ton $c$ höher ist als der Ton $G$.

Als Tonfolgen gelten endliche Folgen von Tönen einer Tonstruktur, wenn sie in ein zeitliches Verhältnis zueinander gestellt werden. Jeder Tonfolge $t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}$ ist die Schrittfolge ${\overrightarrow {t_{1}t_{2}}},{\overrightarrow {t_{2}t_{3}}},\dots ,{\overrightarrow {t_{n-1}t_{n}}}$ zugeordnet, deren m-tes Intervall der m-te Schritt der Tonfolge heißt. Eine steigende Tonfolge hat lauter positive Schritte. Eine fallende Tonfolge hat lauter negative Schritte. Als Tonleiter gilt eine steigende oder fallende Tonfolge. Die Töne einer Tonleiter werden Stufen genannt, und zwar wird der n-Ton als n-te Stufe bezeichnet. Bei steigenden Tonleitern entspricht die Schrittfolge der Form von Intervallen bei Aristoxenos.

Für Intervalle gilt auf der additiven musikalischen Ebene das alltägliche Rechnen mit Größen.

Mathematische Beschreibung des Intervallraumes

Der Intervallraum $I$ ist eine "archimedisch geordnete kommutative Gruppe".

Demnach gelten folgende Gesetze:

Die Addition (Hintereinanderausführung) $i+j$ von Intervallen $i$ und $j$ ist wieder ein Intervall (Abgeschossenheit).

Für Intervalle $i$ und $j$ gilt: $i+j=j+i$ (Kommutativgesetz).

Für Intervalle $i$, $j$ und $k$ gilt: $(i+j)+k=i+(j+k)$ (Assoziativgesetz).

Es gibt ein neutrales Element, die Prim $P$, so dass $i+P=i$ für alle Intervalle $i$.

Zu jedem Intervall $i$ gibt es ein inverses Intervall $-i$ mit $i+(-i)=P$. (Damit ist die Subtraktion i - j = i + (-j) definiert.)

Zwei Intervalle $i$ und $j$ kann man vergleichen. Entweder $i<j$ oder $i=j$ oder $i>j$ ("Der Intervallraum ist geordnet").

Für Intervalle $i$,$j$ und $k$ gilt: $i<j$ und $j<k=>i<k$ (Transitivgesetz)

Für Intervalle $i$,$j$ und $k$ gilt: $i<k=>i+k<j+k$ (Die Ordnungsrelation ist mit der Addition verträglich)

Zu zwei Intervallen $i$ und $j$ gibt es stets eine natürliche Zahl $n$ so, dass $n\cdot i=\underbrace {i+i+...+i} _{nmal}>j$ ist (Archimedisches Gesetz).

Nach dem Satz von Hölder ist die Abbildung

$m:I\rightarrow \ \mathbb {N}$ mit

$m(i)=sup\{{\frac {z}{n}}|z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,n\cdot i<z\cdot Ok\},i\in I$ (Ok = Oktave)

ein Isomorphismus des Intervallraumes $(I,+,<)$ in eine Untergruppe der geordneten additiven Gruppe von $(\mathbb {R} ,+,<)$.

Beispiel:

Bekannt: $12\cdot Quinten\approx 7\cdot Oktaven=>Quinte\approx {\frac {7}{12}}Oktaven\approx 0{,}583\cdot Oktaven.$

Dann ist also $m(Quinte)\approx {\frac {7}{12}}\approx 0{,}583.$

Genauer: $41\cdot Quinten<24\cdot Oktaven=>Quinte<{\frac {24}{41}}Oktaven.$

Dann ist also $m(Quinte)<{\frac {24}{41}}\approx 0{,}58537.$

Die genaue Rechnung lautet:

Da $n\cdot Quinten$ das Frequenzverhältnis $\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}$ und $z\cdot Ok$ das Frequenzverhältnis von $2^{z}$ haben, folgt

$m(Quinte)=sup\{{\frac {z}{n}}|z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,n\cdot Quinte<z\cdot Ok\}$

$=sup\{{\frac {z}{n}}|z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}<2^{z}\}$

$=sup\{{\frac {z}{n}}|z\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} ,{\frac {3}{2}}<2^{\left({\frac {z}{n}}\right)}\}=log_{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}58496$.

(Beachte: $x=log_{2}{\frac {3}{2}}<=>{\frac {3}{2}}=2^{x}.)$

In der folgenden Tabelle bedeutet:

Ok=Oktave, H=Halbton mit 100 Cent, Q=Quinte und T=Terz

Intervallraum	Als Menge geschrieben	Entsprechende Unterguppe in $(\mathbb {R} ,+,<)$
Der zwölfstufige Tonraum	${\mathcal {H}}=\{n\cdot H\|n\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {H} =\{n\cdot {\frac {1}{12}}\|n\in \mathbb {Z} \}$
Das Quintsystem	${\mathcal {Q}}=\{n\cdot Ok+m\cdot Q\|n,m\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {Q} =\{n+m\cdot q\|n,m\in \mathbb {Z} \}$ ($q=log_{2}{\frac {3}{2}}$)
Das Quint-Terz-System	${\mathcal {Q}}{\mathcal {T}}=\{n\cdot Ok+m\cdot Q+k\cdot T\|n,m,k\in \mathbb {Z} \}$	$\mathbb {Q} \mathbb {T} =\{n+m\cdot q+k\cdot t\|n,m,k\in \mathbb {Z} \}$ ($q=log_{2}{\frac {3}{2}}$, $t=log_{2}{\frac {5}{5}}$)

Man sieht an diesen Beispielen, dass man im allgemeinen Intervalle nicht teilen kann. Nur im Intervallraum ${\mathcal {H}}$ gibt es zum Beispiel ${\frac {1}{2}}Ok=6\cdot H$. In den anderen beiden existiert ${\frac {1}{2}}Ok$ nicht. $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {Q} \mathbb {T}$ sind jedoch dichte Teilmengen in $\mathbb {R}$.

Die Grundlage der gleichstufigen Stimmung ist der 12stufige Tonraum Quintsystem ${\mathcal {H}}$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Dartstellung	Größe in Cent
Halbton	H	100 Cent
Ganzton	2H	200 Cent
kleine Terz	3H	300 Cent
große Terz	4H	400 Cent
...	...	...

Die Grundlage der pythagoreischen Stimmung ist das Quintsystem ${\mathcal {Q}}$ mit den folgenden Intervallen:

Intervall	Dartstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2
Ganzton	2Q-Ok	9:8
Ditonus	2 Ganztöne = 4Q-2Ok	81:64
Quarte	Ok-Q	4:3
Limma	Quart-Ditonos = 3Ok - 5Q	256:243
pythagoreisches Komma	12Q-7Ok	531441:524288

Die Grundlage der reinen Stimmung ist das Quint-Terz-System ${\mathcal {Q}}$ ${\mathcal {T}}$, mit den folgende Intervallen:

Intervall	Darstellung	Frequenzverhältnis
Oktave	Ok (Grundintervall)	2:1
Quinte	Q (Grundintervall)	3:2
Große Terz	T (Grundintervall)	5:4
Quarte	Ok - Q	4:3
Kleine Sext	Ok - T	8:5
Kleine Terz	Q - T	6:5
Große Sext	Ok - (Q - T) = Ok + T - Q	5:3
(Großer) Ganzton	Q + Q - Ok	9:8
Kleiner Ganzton	T - G = Ok + T - Q - Q	10:9
Kleine Septime (1. Möglichkeit)	Ok - Ganzton = 2Ok - 2Q	16:9
Kleine Septime (2. Möglichkeit)	Ok - (kleiner Ganzton) = Q + Q - T	9:5
Halbton	Quarte - T = Ok - Q - T	16:15
Große Septime	Ok - Halbton = Q + T	15:8
Syntonisches Komma	2Ganztöne - T = 4Q - 2Ok - T	81:80

Um aus einer Proportion des Quint-Terz-Systems herauszufinden, aus welchen Grundintervallen das Intervall zusammengesetzt ist, muss man den Tripellogarithmus berechnen.

Beispiel:

Die Gleichung ${\frac {81}{80}}=2^{x}\cdot \left({\frac {3}{2}}\right)^{y}\cdot \left({\frac {5}{4}}\right)^{z},x,y,z\in Z$ hat die eindeutige Lösung, als "Tripellogarithmus" bezeichnet: x=-2, y=4 und z=-1.

Damit gilt für das Intervall $i$ mit dem Frequenzverhältnis ${\frac {81}{80}}$ die Beziehung $i=-2\cdot Ok+4\cdot Q-T$. (Siehe synthonisches Komma).

Proportionen

Hier wird präzisiert:

• Jedem Intervall entspricht ein Frequenzverhältnis (hier aus historischen Gründen Proportion genannt).
• Der Hintereinanderausführung (Addition) von Intervallen entspricht die Multiplikation der Frequenzverhälnisse.
• Die Größe der Intervalle kann man vergleichen. Zur Feinjustierung verwendet man das Cent, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.

Physikalisch betrachtet kann man einem Ton $x$ eine Frequenz $Frequenz(x)$ zuordnen und einem Intervall ${\overrightarrow {xy}}$ das Frequenzverhältnis, hier allgemeiner als Proportion bezeichnet, da die Frequenzverhältnisse nichts anderes als die Kehrwerte der Saitenlängen im pythagoreischen Denken sind (Proportion=Frequenzverhältnis):

$Proportion({\overrightarrow {xy}}):=Frequenz(y):Frequenz(x)$ bzw.

$Proportion({\overrightarrow {xy}}):=Saitenlaenge(x):Saitenlaenge(y)$

Beispiel: $Proportion(gr.Terz)=Proportion({\overrightarrow {a'cis''}})=Frequenz(cis''):Frequenz(a')=550:440=5:4.$

Die Umrechnung von Intervallen zu Proportionen und umgekehrt erfolgt über die Exponentialfunktion und den Logarithmus zur Basis 2:

$\mathrm {Proportion} (i)=2^{\frac {i}{\mathrm {Oktave} }}$

$\mathrm {Intervall} (p)=\log _{2}(p)\,\mathrm {Oktave}$

Beispiel:

$\mathrm {Proportion} (3Oktave)=2^{\frac {3Oktave}{\mathrm {Oktave} }}=2^{3}=8=8:1$.

$\mathrm {Intervall} (8)=\log _{2}(8)\,\mathrm {Oktave} =3Oktave=3600Cent$

$\mathrm {Intervall} ({\frac {5}{4}})=\log _{2}({\frac {5}{4}})\,\mathrm {Oktave} \approx 0{,}3219Oktave\approx 386Cent$, wobei 1 Oktave = 1200 Cent.

Hinweis: Mit dem Taschenrechner rechnet man $\log _{2}(x)={\frac {\log(x)}{\log(2)}}$, also $\log _{2}({\frac {5}{4}})={\frac {\log({\frac {5}{4}})}{\log(2)}}$.

Aus diesen Definitionen folgen Regeln, die die Addition und Subtraktion von Intervallen in die Multiplikation und Division ihrer Proportionen umwandeln:

$\mathrm {Proportion} (i+j)=\mathrm {Proportion} (i)\cdot \mathrm {Proportion} (j)$

$\mathrm {Proportion} (i-j)=\mathrm {Proportion} (i)\,:\,\mathrm {Proportion} (j)$

Beispiel:

$\mathrm {Proportion} (Quinte+Quarte)=\mathrm {Proportion} (Quinte)\cdot \mathrm {Proportion} (Quarte)$

$={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}={\frac {2}{1}}=\mathrm {Proportion} (Oktave)$

$\mathrm {Proportion} ({\text{Quinte - Gr. Terz}})=\mathrm {Proportion} (Quinte)\,:\,\mathrm {Proportion} (Gr.Terz)$

$={\frac {3}{2}}\,:\,{\frac {5}{4}}={\frac {6}{5}}=\mathrm {Proportion} ({\text{Kl. Terz}})$

Wichtige Intervalle für den Aufbau von Tonsystemen werden traditionell über besonders einfache Proportionen definiert:

Wichtige Intervalle

Intervallname	Proportion $p$	Intervall $i$ in Cent
Prime	${\tfrac {1}{1}}$	$\mathrm {Intervall} (1)=0\,\mathrm {Oktave} =0\,\mathrm {Cent}$
Oktave	${\tfrac {2}{1}}$	$\mathrm {Intervall} (2)=1\,\mathrm {Oktave} =1200\,\mathrm {Cent}$
2Oktave	${\tfrac {4}{1}}$	$\mathrm {Intervall} (4)=2\,\mathrm {Oktave} =2400\,\mathrm {Cent}$
3Oktave	${\tfrac {8}{1}}$	$\mathrm {Intervall} (8)=3\,\mathrm {Oktave} =3600\,\mathrm {Cent}$
reine Quinte	${\tfrac {3}{2}}$	$\mathrm {Intervall} ({\frac {3}{2}})\approx 0{,}585\,\mathrm {Oktave} \approx 702\,\mathrm {Cent}$
reine große Terz	${\tfrac {5}{4}}$	$\mathrm {Intervall} ({\frac {5}{4}})\approx 0{,}322\,\mathrm {Oktave} \approx 386\,\mathrm {Cent}$
reine kleine Terz	${\tfrac {6}{5}}$	$\mathrm {Intervall} ({\frac {6}{5}})\approx 0{,}263\,\mathrm {Oktave} \approx 316\,\mathrm {Cent}$

Physikalische Zusammenhänge

Die akustischen Bedeutungen der Proportion als Frequenzverhältnis oder Saiten-Längen-Verhältnis sind im Tonhöhenraum ebenfalls definierbar, und zwar für einen Bezugston $x_{P}$ mit der Frequenz $f_{P}$ oder der Saitenlänge $L_{P}$:

$\mathrm {Frequenz} (x):=\mathrm {Proportion} ({\overrightarrow {x_{P}x}})\cdot f_{P}$

$\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (x):=\mathrm {Proportion} ({\overrightarrow {xx_{P}}})\cdot L_{P}$

Ist der Bezugston zum Beispiel $a'$ mit der Frequenz $f_{a'}\!\ =440Hz$, dann ist

$\mathrm {Frequenz} (c''):=\mathrm {Proportion} ({\overrightarrow {a'c''}})\cdot 440Hz=Proportion(kl.Terz)\cdot 440Hz={\frac {6}{5}}\cdot 440Hz=528Hz$

Aus diesen Definitionen ergeben sich wiederum Intervallproportionen als Längenverhältnisse oder reziproke Frequenzverhältnisse:

$\mathrm {Proportion} ({\overrightarrow {xy}})=\mathrm {Frequenz} (y):\mathrm {Frequenz} (x)=\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (x):\mathrm {L{\ddot {a}}nge} (y)$

Siehe auch

• Allintervallreihe
• Mikrointervall

Literatur

• Sigalia Dostrovsky und John T. Cannon: Entstehung der musikalischen Akustik [1600-1750). In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 7-79, ISBN 3-534-01206-2
• Mark Lindley: Stimmung und Temperatur. In: Frieder Zaminer (Hrsg.): Geschichte der Musiktheorie. Bd. 6. Darmstadt 1987 S. 109-332, ISBN 3-534-01206-2
• Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem?. Frankfurt am Main, Bern, New York 1986, ISBN 3-8204-9492-8
• Frank Haunschild: Die neue Harmonielehre Band 1, AMA-Verlag, Brühl 1998, ISBN 978-3-927190-00-9, 3. Kapitel „Intervalle“ (S. 32-42)
• Bernd Alois Zimmermann: Intervall und Zeit: Aufsätze und Schriften zum Werk. Edition Schott, Mainz 1974, ISBN 3-7957-2952-1

Weblinks

Commons: Musical intervals – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Liste von Frequenzverhältnissen und ihren deutschen Intervallnamen
• GNU Solfege, freie Gehörtrainingssoftware
• Intervalltrainer online
• Weiterer Intervalltrainer
• Lissajous Kurven: Simulation zur graphischen Darstellung von musikalischen Intervallen, Schwebungen, schwingender Saiten
• Töne und Intervalle von Joachim Mohr