Kleinsche Vierergruppe

In der Gruppentheorie ist die Kleinsche Vierergruppe, auch kurz Vierergruppe genannt, die kleinste nicht-zyklische Gruppe. Sie hat die Gruppenordnung 4, wie nur die zyklische Gruppe $C_{4}$ neben ihr, und ist wie diese eine abelsche Gruppe. Ihren Namen trägt sie nach Felix Klein, der 1884 in seinen Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade von dieser Gruppe als „Vierergruppe“ sprach; als Symbol dient oft der Buchstabe $V$. Die Vierergruppe wird nicht durch eine besondere Darstellungsweise ihrer Elemente charakterisiert, sondern abstrakt aufgefasst und entspricht der endlichen Gruppe $C_{2}\times C_{2}$.

Verknüpfungstafel

Die Kleinsche Vierergruppe operiert auf einer Trägermenge der Mächtigkeit (Kardinalität) 4 und hat vier Elemente, z. B. $1,a,b,ab$, von denen $1$ das neutrale Element ist. Deren (interne) Verknüpfung von zwei Elementen ergibt wieder eines der vier Elemente – bei vertauschter Reihenfolge der jeweils verknüpften Paare das gleiche Resultat (Kommutativgesetz), bei (zweistelliger) Verknüpfung eines Elementes mit sich selbst je das neutrale Element – und wird durch die folgende Verknüpfungstafel angegeben:

$\circ$	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

Diese Tafel der zweistelligen Verknüpfung $\circ$ ist wie bei allen kommutativen Gruppen symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen, welche bei der Vierergruppe $V$ – anders als z. B. bei der zyklischen Gruppe gleicher Ordnung (C₄) – allein durch das neutrale Element belegt wird. Somit ist ein jedes Element auch (beidseitig) inverses Element zu sich selbst; jedes Element ist also involutiv.

Die Kopien von Kopfzeile und Eingangszeile, bei üblicher Notierung wie hier in der 1. Zeile bzw. der 1. Spalte zu finden, identifizieren das (beidseits) neutrale Element $1$, das als identische Abbildung der Elemente auch „Identität“ genannt wird.

Eigenschaften

Die Kleinsche Vierergruppe $V$ ist eine kommutative, jedoch keine zyklische Gruppe. Ihre Untergruppen sind {1}, {1,a}, {1,b}, {1,ab}, {1,a,b,ab} und alle normal, die Vierergruppe ist somit keine endliche einfache Gruppe. Die nicht-neutralen Elemente $a,b,ab$ haben die Elementeordnung 2, jedes Element bildet eine eigene Konjugationsklasse.

Die Vierergruppe entspricht der (abelschen und nicht-zyklischen) endlichen Gruppe $C_{2}\times C_{2}$ – einem direkten Produkt zweier Exemplare der zyklischen Gruppe $C_{2}$, welche die kleinste nicht-triviale Gruppe und einzige der Gruppenordnung 2 ist. Die abstrakten Eigenschaften der Vierergruppe können am Beispiel unterschiedlicher Punktgruppen und Multiplikativer Gruppen gezeigt werden, die zu ihr isomorph sind.

Darstellungen

Die Vierergruppe $V$ tritt zum Beispiel auf als die Symmetriegruppe einer nicht gleichwinkligen Raute oder eines nicht gleichseitigen Rechtecks (die also kein Quadrat sind; dessen Symmetriegruppe wäre die Diedergruppe $D_{4}$ (der Gruppenordnung 8) und die Drehgruppe eines Quadrates ist ein Beispiel für die zyklischen Gruppe $C_{4}$):

Die vier Elemente sind dabei: $1$ als die Identität (oder Drehung um 0°), $a$ als die Spiegelung an der senkrechten Mittelachse, $b$ als die Spiegelung an der waagrechten Mittelachse, und $ab$ als die 180°-Drehung um den Mittelpunkt, welche auch als kombinierte horizontale und vertikale Spiegelung aufgefasst werden kann. Mit den wie oben beschrifteten Ecken eines Rechtecks liefert die Permutationsdarstellung

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto \left(A,B,C,D\right)$, das Element $1$ darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto \left(B,A,D,C\right)$, das Element $a$ darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto \left(D,C,B,A\right)$, das Element $b$ darstellend

$\left(A,B,C,D\right)\mapsto \left(C,D,A,B\right)$, das Element $ab$ darstellend

und mit Notation der Permutationen in Zykelschreibweise

$V=\{\mathbf {id} =(A)(B)(C)(D),(A,B)(C,D),(A,D)(B,C),(A,C)(B,D)\}$

In dieser Darstellung ist $V$ die Kommutatorgruppe und damit ein Normalteiler der alternierenden Gruppe $A_{4}$ und auch Normalteiler der symmetrischen Gruppe $S_{4}$. In der Galoistheorie erklärt die Existenz der Kleinschen Vierergruppe in dieser Darstellung die Existenz der Lösungsformel für Gleichungen vierten Grades.

Des Weiteren ist die Vierergruppe isomorph zu

• $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$,
• der Diedergruppe der Ordnung 4 ($D_{2}$),
• der Einheitengruppe des Ringes $\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ (das sind die Restklassen von 1, 3, 5 und 7 unter Multiplikation modulo 8),
• der Einheitengruppe des Ringes $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ (das sind die Restklassen von 1, 5, 7 und 11 unter Multiplikation modulo 12),
• der Automorphismengruppe des folgenden Graphen:

• der von den Involutionen $a,b:K^{*}\,\rightarrow \,K^{*}$ mit einem beliebigen Körper $K$ und
  

$a:$	$x\mapsto -x$
$b:$	$x\mapsto x^{-1}$

     erzeugten Gruppe mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung.

Belege

• www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/algebra: Gruppen kleiner Ordnung