Quadrik

Dieser Artikel wurde auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik eingetragen. Dies geschieht, um die Qualität der Artikel aus dem Themengebiet Mathematik auf ein akzeptables Niveau zu bringen. Bitte hilf mit, die Mängel dieses Artikels zu beseitigen, und beteilige dich bitte an der Diskussion! (Artikel eintragen)

Ein zweischaliges Hyperboloid als Beispiel für eine Quadrik im dreidimensionalen Raum

Eine Quadrik (von lateinisch quadra Quadrat) ist in der Mathematik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mehrerer Unbekannter. In zwei Dimensionen bildet eine Quadrik im Regelfall eine Kurve in der Ebene, wobei es sich hierbei um einen Kegelschnitt handelt. In drei Dimensionen beschreibt eine Quadrik im Regelfall eine Fläche im Raum, die auch Fläche zweiter Ordnung oder quadratische Fläche genannt wird. Allgemein handelt es sich bei einer Quadrik um eine algebraische Varietät, also um eine spezielle Hyperfläche, in einem euklidischen Raum. Quadriken werden insbesondere in der analytischen und der projektiven Geometrie untersucht.

Definition

Eine reelle affine Quadrik ist eine Punktmenge im n-dimensionalen Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ der Form

$Q=\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}~{\bigg |}~\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\,\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c=0\right\}$.

Dabei sind $x_{1},\dots ,x_{n}$ die Koordinaten eines Punktes und $a_{11},\dots ,a_{nn},b_{1},\dots ,b_{n},c$ die Koeffizienten der Quadrik, wobei zumindest einer der Koeffizienten $a_{11},\dots ,a_{nn}$ ungleich null sei. Zudem kann ohne Einschränkung vorausgesetzt werden, dass $a_{ij}=a_{ji}$ für alle $i,j\in \{1,\dotsc ,n\}$ gilt.

Beispiele

Zum Beispiel beschreibt die Menge der Punkte

$Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid 2x^{2}+3y^{2}=5\right\}$

eine Ellipse in der Ebene. Die Menge der Punkte

$Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}$

beschreibt ein zweischaliges Hyperboloid im dreidimensionalen Raum.

Eigenschaften

Matrixdarstellung

In kompakter Matrixnotation kann eine Quadrik als eine Menge von Vektoren

$Q=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x^{T}Ax+2b^{T}x+c=0\right\}$

beschrieben werden, wobei $A=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine symmetrische Matrix und $b=(b_{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ sowie $x=(x_{i})\in \mathbb {R} ^{n}$ Spaltenvektoren entsprechender Länge sind. Mit Hilfe der erweiterten Darstellungsmatrix

${\bar {A}}={\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}$

und dem entsprechend erweiterten Vektor ${\bar {x}}=(x~1)^{T}$ kann eine Quadrik auch kompakt durch die Menge

$Q=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid {\bar {x}}^{T}{\bar {A}}\,{\bar {x}}=0\right\}$

in homogenen Koordinaten dargestellt werden.

Typen

Bei Quadriken werden drei grundlegende Typen unterschieden. Die Entscheidung, um welchen Typ es sich bei einer gegebenen Quadrik handelt, kann anhand der Ränge der Matrizen $A$, $(A\mid b)$ und ${\bar {A}}$ getroffen werden:

• Kegeliger Typ: $\operatorname {rang} ({\bar {A}})=\operatorname {rang} (A\mid b)=\operatorname {rang} (A)$
• Mittelpunktsquadrik: $\operatorname {rang} ({\bar {A}})>\operatorname {rang} (A\mid b)=\operatorname {rang} (A)$
• Parabolischer Typ: $\operatorname {rang} (A\mid b)>\operatorname {rang} (A)$

Eine Quadrik heißt dabei ausgeartet, falls

$\det {\bar {A}}=0$

gilt. Während nichtausgeartete Quadriken in allen Richtungen gekrümmte Hyperflächen bilden, weisen ausgeartete Quadriken in manchen Richtungen geradlinige Strukturen auf oder sind anderweitig degeneriert.

Transformationen

Quadriken lassen sich durch Ähnlichkeitsabbildungen transformieren, ohne dass sich ihr Typ dadurch verändert. Ist $S\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ eine orthogonale Matrix, beispielsweise eine Dreh- oder Spiegelungsmatrix, dann erhält man durch die lineare Transformation $y=S^{-1}x$ eine neue Quadrik in den Koordinaten $y_{1},\ldots ,y_{n}$, die der Gleichung

${\begin{pmatrix}y^{T}\!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S^{T}&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y^{T}\!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}S^{T}AS&S^{T}b\\b^{T}S&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}=0$

genügt. Ebenso erhält man durch eine Parallelverschiebung $y=x-u$ um einen Vektor $u\in \mathbb {R} ^{n}$ eine neue Quadrik, die die Gleichung

${\begin{pmatrix}y^{T}\!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\u^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&u\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y^{T}\!\!&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&Au+b\\u^{T}A+b^{T}&u^{T}Au+2b^{T}u+c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y\\1\end{pmatrix}}=0$

mit der Einheitsmatrix $I\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ erfüllt. Insbesondere ändert sich der Rang der Matrizen $A,(A\mid b)$ und ${\bar {A}}$ durch solche Ähnlichkeitsabbildungen nicht.

Normalformen

Durch eine Hauptachsentransformation lässt sich jede Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren. Hierzu wird zunächst die Matrix $S$ derart gewählt, dass $S^{T}AS$ eine Diagonalmatrix ergibt, die die Eigenwerte von $A$ in absteigender Reihenfolge enthält. Im zweiten Schritt wird die transformierte Quadrik derart um einen Vektor $u$ verschoben, dass auch die linearen Terme und der konstante Term weitestgehend verschwinden. Schließlich wird die Quadrik noch so normiert, dass der konstante Term, sofern er nicht null ist, zu eins wird. Dadurch ergeben sich die folgenden drei Normalformen:

• Kegeliger Typ: ${\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}}}+\ldots +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}}}-\ldots -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}}}=0$   mit   $1\leq p\leq r\leq n,p\geq r-p$
• Mittelpunktsquadrik: ${\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}}}+\ldots +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}}}-\ldots -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}}}=1$   mit   $1\leq p\leq r\leq n$
• Parabolischer Typ: ${\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}}}+\ldots +{\frac {x_{p}^{2}}{\alpha _{p}}}-{\frac {x_{p+1}^{2}}{\alpha _{p+1}}}-\ldots -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}}}-2x_{r+1}=0$   mit   $1\leq p\leq r<n,p\geq r-p$

Hinzu kommt als Spezialfall die

• Leere Menge: $-{\frac {x_{1}^{2}}{\alpha _{1}}}-\ldots -{\frac {x_{r}^{2}}{\alpha _{r}}}=1$   mit   $1\leq r\leq n$

In allen Fällen gilt $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}>0$. Die Kennzahlen $p$ und $r=\operatorname {rang} (A)$ ergeben sich dabei aus der Signatur der Matrix $A$.

Klassifikation

Quadriken in einer Dimension

→ Hauptartikel: Quadratische Gleichung

In einer Dimension ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in einer Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

$Q=\left\{x\in \mathbb {R} \mid ax^{2}+bx+c=0\right\}$.

Durch Verschiebung (quadratische Ergänzung) und Normierung lassen sich die folgenden zwei Fälle unterscheiden:

Nicht ausgeartete Quadriken			Ausgeartete Quadriken
Zwei Lösungen	${x^{2} \over \alpha ^{2}}=1$		Eine Lösung	${x^{2} \over \alpha ^{2}}=0$

In dem verbleibenden Fall $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1$ ergibt sich als Lösungsmenge die leere Menge. In allen Fällen ist $\alpha >0$.

Quadriken in der Ebene

→ Hauptartikel: Kegelschnitt

In der Ebene ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit zwei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

$Q=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0\right\}$.

Hierbei handelt es sich bis auf degenerierte Fälle um Kegelschnitte, wobei ausgeartete Kegelschnitte, bei denen die Kegelspitze in der Schnittebene enthalten ist, von nicht ausgearteten Kegelschnitten unterschieden werden. Durch Hauptachsentransformation lässt sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

Nicht ausgeartete Quadriken			Ausgeartete Quadriken
Ellipse	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1$		Zwei schneidende Geraden	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=0$
Hyperbel	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1$		Zwei parallele Geraden	${x^{2} \over \alpha ^{2}}=1$
Parabel	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0$		Eine Gerade	${x^{2} \over \alpha ^{2}}=0$
			Ein Punkt	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$

In den beiden verbleibenden Fällen $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1$ und $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1$ ergibt sich als Lösungsmenge jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind $\alpha ,\beta >0$.

Quadriken im Raum

In dreidimensionalen Raum ist eine Quadrik die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung mit drei Unbekannten, also eine Punktmenge der Form

$Q=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid ax^{2}+bxy+cxz+dy^{2}+eyz+fz^{2}+gx+hy+iz+j=0\right\}$.

Im Raum ist die Vielfalt der Quadriken deutlich größer als in der Ebene. Hier gibt es ebenfalls ausgeartete und nicht ausgeartetete Quadriken. Unter den ausgearteten Quadriken finden sich dabei auch einfach gekrümmte Flächen, wie Zylinder und Kegel. Ähnlich wie im zwei Dimensionen lässt sich sich die allgemeine Gleichung einer Quadrik auf eine der folgenden Normalformen transformieren:

Nicht ausgeartete Quadriken			Ausgeartete Quadriken (gekrümmte Flächen)			Ausgeartete Quadriken (Ebenen u.a.)
Ellipsoid	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}+{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1$		Elliptischer Kegel	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=0$		Zwei schneidende Ebenen	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$
Einschaliges Hyperboloid	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1$		Elliptischer Zylinder	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}=1$		Zwei parallele Ebenen	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1$
Zweischaliges Hyperboloid	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-{z^{2} \over \gamma ^{2}}=1$		Hyperbolischer Zylinder	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}=1$		Eine Ebene	${x^{2} \over \alpha ^{2}}=0$
Elliptisches Paraboloid	${x^{2} \over \alpha ^{2}}+{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0$		Parabolischer Zylinder	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-2y=0$		Eine Gerade	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=0$
Hyperbolisches Paraboloid	${x^{2} \over \alpha ^{2}}-{y^{2} \over \beta ^{2}}-2z=0$					Ein Punkt	${\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=0$

In den drei verbleibenden Fällen $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}=1$, $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1$ und $-{\tfrac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}=1$ ergibt sich als Lösungsmenge wiederum jeweils die leere Menge. In allen Fällen sind $\alpha ,\beta ,\gamma >0$.

Für $\alpha =\beta$ (bzw. $\beta =\gamma$ im Fall des zweischaligen Hyperboloids) erhält man in folgenden Fällen Rotationsflächen, die auch als Drehquadriken bezeichnet werden: Rotationsellipsoid, ein- und zweischaliges Rotationshyperboloid, Rotationsparaboloid, Kreiskegel und Kreiszylinder. Regelflächen, also Flächen, die von einer einparametrigen Geradenschar erzeugt werden, sind Kegel, elliptischer und parabolischer Zylinder, Ebene, einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. Die letzteren drei Flächen werden sogar von zwei Geradenscharen erzeugt und sind die einzig möglichen doppelt gekrümmten Regelflächen im Raum.

Projektive Quadriken

→ Hauptartikel: Projektive Quadrik

Die Vielfalt der Quadriken verringert sich erheblich, wenn man sowohl den affinen Raum, in dem eine Quadrik definiert ist, als auch die Quadrik selbst projektiv abschließt. Die projektiven Erweiterungen von Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln sind projektiv alle zueinander äquivalent, das heißt es gibt eine projektive Kollineation, die die eine Kurve auf die andere abbildet (siehe projektiver Kegelschnitt).

Im dreidimensionalen Raum sind folgende Quadriken äquivalent:

• Ellipsoid, zweischaliges Hyperboloid und elliptisches Paraboloid,
• einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid,
• elliptischer, hyperbolischer, parabolischer Zylinder und Kegel.

Verallgemeinerungen

Allgemeiner können Quadriken auch in Vektorräumen über einem beliebigen Körper, also auch über dem Körper der komplexen Zahlen oder auch über endlichen Körpern betrachtet werden.

Literatur

• Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Teubner-Verlag, Leipzig 1983, ISBN 3871444928, S. 283
• Burg, Haf, Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band II,Teubner-Verlag, Stuttgart, ISBN 3-519-22956-0, S. 341
• dtv-Atlas zur Mathematik. Deutscher Taschenbuch-Verlag, Band 1, ISBN 3-423-03007-0, S.200–203
• Meyberg & Vachenauer: Höhere Mathematik 1. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-59188-5, S.343

Weblinks

• 

  Commons: Quadric surfaces – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
• V.S. Malakhovskii: Quadric. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Quadratic Surface. In: MathWorld (englisch).
• pahio: Quadratic Surfaces. In: PlanetMath. (englisch)
• Bilder von Quadriken im Raum
• Interaktive 3D-Modelle aller Quadriken