Integritätsring

In der Algebra ist ein Integritätsring oder Integritätsbereich ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit einem Einselement, das von Null verschieden ist.

Alternativ kann man einen Integritätsring definieren als einen kommutativen Ring mit 1, in dem das Nullideal $\lbrace 0\rbrace$ ein Primideal ist, oder als einen Teilring eines Körpers. Es gibt auch eine abgeschwächte Definition, in der kein Einselement gefordert wird, sondern nur, dass es wenigstens ein von Null verschiedenes Element in dem Ring gibt. Ein Großteil der Sätze über Integritätsringe benötigen jedoch eine Eins, deshalb wird diese Eigenschaft meist mit in die Definition aufgenommen.

Beispiele

Das bekannteste Beispiel ist der Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen.

Jeder Körper ist ein Integritätsring. Umgekehrt ist jeder artinsche Integritätsring ein Körper. Insbesondere ist jeder endliche Integritätsring ein endlicher Körper.

Ein Polynomring ist ein Integritätsring, wenn die Koeffizienten aus einem Integritätsring stammen. Zum Beispiel ist der Ring $\mathbb {Z} [X]$ der Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ein Integritätsring, ebenso wie der Ring $\mathbb {R} [X,Y]$ der reellen Polynome in zwei Variablen.

Der Ring aller reellen Zahlen der Form $a+b{\sqrt {2}}$ mit ganzen Zahlen $a,b$ ist ein Integritätsring, da er Teilring von $\mathbb {R}$ ist.

Ist $U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet (eine zusammenhängende offene Teilmenge) in den komplexen Zahlen, ist der Ring $\operatorname {H} (U)$ der holomorphen Funktionen $f\colon U\to {\mathbb {C} }$ ein Integritätsring.

Ist $R$ ein kommutativer Ring und $P$ ein Primideal in $R$, ist der Faktorring $R\operatorname {/} P$ ein Integritätsring.

Der Restklassenring $\mathbb {Z} \operatorname {/} n\mathbb {Z}$ ist genau dann ein Integritätsring, wenn $n$ eine Primzahl ist.

Teilbarkeit, Primelemente, Irreduzibilität

(Hauptartikel: Teilbarkeit)

Sind $a$ und $b$ Elemente des Integritätsrings $R$, dann nennt man $a$ einen Teiler von $b$ und $b$ ein Vielfaches von $a$ (und sagt auch $a$ teile $b$), wenn es ein Element $x$ in $R$ gibt, sodass $ax=b$. Man schreibt dann $a\mid b$, andernfalls $a\nmid b$.

Es gelten die folgenden Teilbarkeitsregeln:

• Gilt $a\mid b$ und $b\mid c$, dann folgt daraus $a\mid c$.
• Gilt $a\mid b$, dann gilt auch $a\mid bc$ für jedes $c\in R$, insbesondere auch $a\mid -b$.
• Gilt $a\mid b$ und $a\mid c$, dann gilt auch $a\mid b+c$ und $a\mid b{-}c$.

Die erste Regel besagt, dass Teilbarkeit transitiv ist. Die zwei und dritte Regel besagen, dass die Menge der Vielfachen eines Elementes ein Ideal in $R$ bildet.

Ringelemente, die Teiler der 1 sind, heißen Einheiten von $R$. Die Einheiten sind identisch mit den invertierbaren Elementen und teilen alle anderen Elemente. Die Menge der Einheiten von $R$ wird mit $R^{*}$ bezeichnet und bildet zusammen mit der Ringmultiplikation als Verknüpfung eine abelsche Gruppe – die sogenannte Einheitengruppe von $R$.

Gilt $a\mid b$ und $b\mid a$, dann heißen $a$ und $b$ zueinander assoziiert. $a$ und $b$ sind genau dann assoziiert, wenn es eine Einheit $u$ gibt, sodass $au=b$.

Ist $q$ eine Nichteinheit, dann heißt $q$ irreduzibel, falls $q$ nicht als Produkt zweier Nichteinheit darstellbar ist, falls also aus $q=ab$ stets $a\in R^{*}$ oder $b\in R^{*}$ folgt. Ist $p$ eine Nichteinheit ungleich 0, dann heißt $p$ prim (oder Primelement), falls gilt: Aus $p\mid ab$ folgt $p\mid a$ oder $p\mid b$. Das Hauptideal $(p)$ ist dann ein Primideal. Ist andersrum das Hauptideal $(p)$ einer von Null verschiedenen Nichteinheit $p$ ein Primideal, so ist $p$ prim.

Jedes Primelement ist irreduzibel (für diese Aussage wird die Nullteilerfreiheit des Rings benötigt), aber nicht immer ist jedes irreduzible Element prim (z. B. im Ring $\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$ sind 2, $1+{\sqrt {-3}}$ und $1-{\sqrt {-3}}$ irreduzibel aber nicht prim). In Hauptidealringen und allgemeiner in faktoriellen Ringen stimmen jedoch beide Begriffe überein. So werden in $\mathbb {Z}$ die Primzahlen üblicherweise nur als positive, irreduzible Elemente von $\mathbb {Z}$ definiert. Diese Elemente sind jedoch auch Primelemente, da $\mathbb {Z}$ faktoriell und somit jedes irreduzible Element prim ist. Es sind jedoch auch noch die negativen Pendants der Primzahlen Primelemente, woran man sieht, dass der Begriff des Primelements allgemeiner gefasst ist, als der Begriff der Primzahl.

Quotientenkörper

Ist $R$ ein Integritätsring, dann existiert ein kleinster Körper $\operatorname {Quot} (R),$ der $R$ als Teilring enthält. $\operatorname {Quot} (R)$ ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt und heißt Quotientenkörper von $R$. Seine Elemente haben die Form $a\operatorname {/} b$ mit $a,b\in R,b\neq 0.$ Der Quotientenkörper ist ein Beispiel einer Konstruktion mit einem Integritätsring, in dem keine Eins (in der Definition des Integritätsringes) benötigt wird, sondern lediglich irgendein von Null verschiedenes Element.

Der Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen ist der Körper der rationalen Zahlen. Der Quotientenkörper eines Körpers ist der Körper selbst.

Alternativ kann man Quotientenkörper über Lokalisierungen von $R$ nach dem Nullideal $\lbrace 0\rbrace$ konstruieren.

Abstrakt definiert man Quotientenkörper durch folgende universelle Eigenschaft:

Ein Quotientenkörper eines Ringes $R$ ist ein Paar $(K,\phi )$ aus einer Menge K und einem Ringhomomorphismus $\phi$ von $R$ nach $K$ mit der Eigenschaft, dass es für jeden Körper $L$ mit Ringhomomorphismus $\psi \colon R\to L$ genau einen Körperhomomorphismus $\alpha \colon K\to L$ mit $\psi =\alpha \circ \phi$ gibt.

Charakteristik

Die Charakteristik eines Integritätsrings ist entweder 0 oder eine Primzahl.

Ist R ein Integritätsring mit der Primzahl-Charakteristik p, dann ist die Abbildung $f:R\to R,\;x\mapsto x^{p}$ ein injektiver Ringhomomorphismus und heißt Frobeniushomomorphismus.

Literatur

• Bosch: Algebra. 5. Auflage. Springer, 2003, ISBN 3-540-40388-4. 
• Jantzen und Schwermer: Algebra. Springer, 2005, ISBN 3-540-21380-5. 
• Kurt Meyberg: Algebra Teil 1 & 2. Carl Hanser Verlag, München 1975/76.