Abelsche Gruppe

Eine abelsche Gruppe (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel) oder kommutative Gruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe, für die das Kommutativgesetz gilt. Eine Gruppe ist eine Menge mit einer zweistelligen inneren Verknüpfung, für die bestimmte Bedingungen gelten: das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements und die Existenz von inversen Elementen. Bei abelschen Gruppen gilt zusätzlich das Kommutativgesetz, das heißt, man kann die Operanden vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis der Verknüpfung ändert.

Ein einfaches Beispiel ist die Menge $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung.

Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn ihre Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen ist. Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler der Gruppe. Jeder abelschen Gruppe lässt sich auch ein Rang zuordnen. Die endlich erzeugten abelschen Gruppen sind vollständig klassifiziert.

Definition

Eine Gruppe $(G,*)$ heißt abelsch, wenn für alle Elemente $a,b\in G$

$a*b=b*a$

gilt. Ist eine Gruppe abelsch, dann schreibt man ihre Verknüpfung gern als Addition $+$ mit dem Nullelement $0$ als neutralem Element und $-a$ als dem Negativen oder Entgegengesetzten von $a$ (welches aber im Sinne der Gruppenaxiome dennoch dessen Inverses ist), seltener als Multiplikation $\cdot$ (wobei das Multiplikationszeichen oft weggelassen wird) mit dem Einselement $1$ als neutralem Element und $a^{-1}$ als dem Inversen oder Kehrwert von $a$. Die Bezeichnung mit $+,-$ und $0$ wird jedoch nur bei abelschen Gruppen verwendet.

Gruppen, die nicht abelsch sind, werden auch als nichtabelsche Gruppen bezeichnet.

Beispiele

Jede zyklische Gruppe ist abelsch; Beispiele sind die additive Gruppe $({\mathbb {Z}},+)$ der ganzen Zahlen oder der Restklassenring $({\mathbb {Z}}/n{\mathbb {Z}},+)$ mit der Addition.

Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.

Allgemeiner liefert jeder Körper $(K,+,\cdot )$ in derselben Weise zwei abelsche Gruppen $\left(K,+\right)$ und $(K\setminus \{0\},\cdot )$.

Ein weiteres Beispiel ist die Faktorgruppe ${\mathbb {Q}}/{\mathbb {Z}}$, die isomorph zur (multiplikativen) Gruppe der komplexen Einheitswurzeln ist. Die Faktorgruppe $\mathbb {R} /{\mathbb {Z} }$ ist isomorph zur multiplikativen Gruppe aller komplexen Zahlen mit Betrag 1.

Hingegen ist die Gruppe $(\mathrm {GL} _{n}(K),\cdot )$ der invertierbaren $(n\times n)$-Matrizen über einem Körper $K$ für $n>1$ ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die S₃ mit sechs Elementen.

Eigenschaften

Bei einer kleinen endlichen Gruppe erkennt man leicht, ob sie abelsch ist. Es gilt:

Eine Gruppe ist genau dann abelsch, wenn ihre Verknüpfungstafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen, die von links oben nach rechts unten führt, ist.

Ist $n$ eine natürliche Zahl und $x$ ein Element der abelschen Gruppe $G$, dann kann man $n\cdot x$ (wobei das Multiplikationszeichen oft auch weggelassen wird) definieren als die Summe $x+x+\dots +x$ mit genau $n$ Summanden, $0\cdot x$ als $0$ (das neutrale Element der Gruppe) und $(-n)\cdot x$ als $n\cdot (-x)$. Auf diese Weise wird $G$ zu einem Modul über dem Ring $\mathbb {Z}$. Da jeder $\mathbb {Z}$-Modul (wie überhaupt jeder Modul) eine abelsche Gruppe beinhaltet, kann man also die $\mathbb {Z}$-Moduln mit den abelschen Gruppen identifizieren. Theoreme über abelsche Gruppen können so oft verallgemeinert werden zu Sätzen für Moduln über Hauptidealringen. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).

Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler, also kann man zu jeder Untergruppe eine Faktorgruppe erzeugen. Untergruppen, Faktorgruppen, Produkte und direkte Summen abelscher Gruppen sind wieder abelsch.

Sind $f,g\colon G\to H$ zwei Gruppenhomomorphismen zwischen abelschen Gruppen, dann ist ihre Summe $f+g$, definiert durch

$\left(f+g\right)\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$,

ebenfalls ein Homomorphismus. (Das gilt im Allgemeinen nicht, wenn $H$ nicht abelsch ist.) Die Menge $\operatorname {Hom} (G,H)$ aller Gruppenhomomorphismen wird mit dieser Addition selbst zu einer abelschen Gruppe.

Die abelschen Gruppen mit ihren Homomorphismen bilden eine Kategorie. Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Viele abelsche Gruppen haben eine natürliche Topologie, durch die sie zu topologischen Gruppen werden.

Zusätzliche Attribute

• Eine abelsche Gruppe ist genau dann endlich erzeugt (oder auch endlich erzeugbar), wenn es eine endliche Menge $E=\{e_{1},\ldots ,e_{k}\}$ gibt, so dass sich jedes Element in der Form

$a_{1}\cdot e_{1}+\cdots +a_{k}\cdot e_{k}$

mit ganzen Zahlen $a_{1},\ldots ,a_{k}$ schreiben lässt. Insbesondere ist jede endliche abelsche Gruppe endlich erzeugt.

• Die Eigenschaften frei (dann als freie abelsche Gruppe oder auch frei-abelsche Gruppe bezeichnet) und projektiv sind äquivalent, ebenso torsionsfrei und flach.
• Eine abelsche Gruppe $G$ heißt teilbar, wenn für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt: $n\cdot G=G$ (das heißt, zu jedem $g\in G$ gibt es ein $x\in G$, so dass $n\cdot x=g$ gilt). Die abelsche Gruppe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ mit der Addition als Verknüpfung ist eine teilbare Gruppe.

Strukturtheorie

• Vollständig klassifiziert sind die endlich erzeugten abelschen Gruppen. Sie sind nämlich direkte Summen endlich vieler zyklischer Gruppen. Diese kann man übrigens so wählen, dass – bei passender Reihenfolge – die Ordnung jeder dieser Gruppen (ab der zweiten, und so weit endlich) ein Vielfaches der Ordnung der vorhergehenden ist, wobei allfällige unendliche unter ihnen an den Schluss gestellt werden. Außerdem sind diese Gruppenordnungen (mit dieser Reihenfolge) dann eindeutig bestimmt.
• Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer $\mathbb {Z}$-linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von $\mathbb {Q}$. Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Siehe auch

• Jeder Vektorraum $(V,+)$ über einem Körper $K$ ist – allein mit der Vektoraddition als Verknüpfung − eine abelsche Gruppe mit dem Nullvektor als neutralem Element.
• Ist der Körper $K$ ein endlicher Körper, dann bezeichnet man den K-Vektorraum $(V,+)$ auch als elementar abelsche Gruppe. → Siehe dazu p-Gruppe.

Literatur

• Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 211). Revised 3rd Edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95385-X.
• Siegfried Bosch: Algebra. 7., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2009, ISBN 978-3-540-92811-9.