Collatz-Problem

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Das Collatz-Problem, auch als (3n+1)-Vermutung bezeichnet, ist ein ungelöstes mathematisches Problem, das 1937 von Lothar Collatz gestellt wurde.

Problemstellung[Bearbeiten]

Säulendiagramm für die Zahlen 1 bis 100 Millionen. Gezeigt ist, wie häufig eine bestimmte Länge der Collatz-Folge vorkommt. Folgen mit mehr als 500 Zahlen sind nicht erkennbar.

Bei dem Problem geht es um Zahlenfolgen, die nach einem einfachen Bildungsgesetz konstruiert werden:

  • Beginne mit irgendeiner natürlichen Zahl n > 0.
  • Ist n gerade, so nimm als Nächstes n/2,
  • Ist n ungerade, so nimm als Nächstes 3n + 1.
  • Wiederhole die Vorgehensweise mit der erhaltenen Zahl.

So erhält man zum Beispiel für die Startzahl n = 19 die Folge

19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Anscheinend mündet jede Folge mit n > 0 in den Zyklus 4, 2, 1, unabhängig davon, welche Startzahl n man probiert hat. Die Collatz-Vermutung lautet:

Jede so konstruierte Zahlenfolge mündet in den Zyklus 4, 2, 1, egal, mit welcher natürlichen Zahl n > 0 man beginnt.

Trotz zahlreicher Anstrengungen gehört diese Vermutung noch immer zu den ungelösten Problemen der Mathematik. Mehrfach wurden Preise für eine Lösung ausgelobt:

  • 1970 bot H. S. M. Coxeter 50 Dollar für einen Beweis der Vermutung und 100 Dollar für ein Gegenbeispiel.[1]
  • In den 1970er Jahren versprach Bryan Thwaites in der Zeitung The Times 1000 Pfund für einen Beweis oder eine Widerlegung (Angebot 1982 und 1996/1998 erneuert).[2][3][4]
  • Paul Erdős bot angeblich 500 Dollar für eine Lösung[5] und sagte über das Collatz-Problem:[6]
„Mathematics is not yet ready for such problems.“ („Die Mathematik ist für solche Probleme noch nicht bereit.“) und
„Hopeless. Absolutely hopeless.“ („Hoffnungslos. Absolut hoffnungslos.“)

Der Mathematiker Richard Guy warnte 1983 vor diesem und drei anderen auch heute noch ungelösten Problemen:[7][8]

„Don’t try to solve these problems!“ („Versuche nicht, diese Probleme zu lösen!“)

Ursprung und Geschichte[Bearbeiten]

Der Ursprung der Collatz-Vermutung liegt insofern etwas im Nebel, als aus der mutmaßlichen Entstehungszeit bisher keine schriftlichen Dokumente mit einer Beschreibung des Problems öffentlich zugänglich sind. Es wird berichtet, dass Collatz das Problem beim Internationalen Mathematikerkongress 1950 in Cambridge (Massachusetts) mündlich verbreitete.[9] Stanisław Ulam und Shizuo Kakutani, die auf diesem Kongress zu Vorträgen eingeladen waren, stellten das Problem immer wieder in Gesprächen dar und werden deshalb in diesem Zusammenhang häufig genannt. Als Lothar Collatz 1952 seine Professur in Hamburg antrat, erzählte er seinem Hamburger Kollegen Helmut Hasse von der Vermutung. Dieser verbreitete das Problem während eines Forschungsaufenthalts an der Syracuse University, deshalb erhielt das Collatz-Problem auch den Namen Syracuse-Vermutung. Publikationen zur Entstehung und Verbreitung:

  • 1971 wurde das Collatz-Problem in der gedruckten Version eines 1970 gehaltenen Vortrags von H. S. M. Coxeter zum vermutlich ersten Mal schriftlich veröffentlicht.[1]
  • 1972 erfuhr Martin Gardner von der Beschäftigung der akademischen Hacker am MIT mit dem (3n+1)-Problem[10] und beschrieb es in seiner Kolumne Mathematical Games im Scientific American.[11] Die Vermutung wurde durch diese und weitere Veröffentlichungen unter anderem von John Conway[12] inner- und außerhalb von Fachkreisen weithin bekannt.
  • 1976 veröffentlichte Riho Terras die ersten wissenschaftlichen Forschungsergebnisse direkt zum Collatz-Problem.[13]
  • 1985 erschien in der Zeitschrift American Mathematical Monthly ein Überblicksartikel von Jeffrey Lagarias.[14] Lagarias berichtet darin über Collatz’ Interesse an zahlentheoretischen Funktionen und Graphentheorie, und er zitiert einen Notizbucheintrag vom 1. Juli 1932, in dem Collatz die folgende Permutation der positiven ganzen Zahlen betrachtet:
 g(n) = \begin{cases} \tfrac{2}{3} n & \text{wenn} \quad n \equiv 0 \mod 3, \\
 \tfrac{4}{3} n - \tfrac{1}{3} & \text{wenn} \quad n \equiv 1 \mod 3, \\
 \tfrac{4}{3} n + \tfrac{1}{3} & \text{wenn} \quad n \equiv 2 \mod 3.\end{cases}
Diese Permutation besitzt den Fixpunkt 1 und außerdem zumindest die Zykel (2, 3), (4, 5, 7, 9, 6) und (44, 59, 79, 105, 70, 93, 62, 83, 111, 74, 99, 66). In dem zitierten Notizbucheintrag stellt Collatz die auch heute noch offene Frage, ob die mit 8 beginnende g-Trajektorie zyklisch wird oder gegen unendlich divergiert.[15][16] Die ebenfalls weiterhin offene Frage, ob weitere Zykel existieren, ist wie die (3n+1)-Vermutung eines der von Guy beschriebenen Probleme, die man nicht zu lösen versuchen solle.[7][17]
  • 1985 veröffentlichte Bryan Thwaites eine Mitteilung, er habe die Vermutung am 21. Juli 1952 um vier Uhr nachmittags als Aufgabe zur Unterhaltung seiner Schüler gestellt (er beanspruchte bereits 1982 die Entdeckung im Jahr 1952).[2][18][4]
  • 1986 ließ Lothar Collatz eine Darstellung seines Entdeckungswegs zur (3n+1)-Vermutung ins Chinesische übersetzen und im Journal einer Universität in Qufu, Shandong, China, an der er einen Vortrag darüber gehalten hatte, veröffentlichen.[19] Dies blieb die einzige Veröffentlichung von Collatz zu diesem Problem.

Nach Terras’ Publikation 1976 begann nach und nach eine rege wissenschaftliche Beschäftigung mit dem Collatz-Problem, die mittlerweile weit mehr als hundert Publikationen mit neuen Forschungsergebnissen umfasst. Im populärwissenschaftlichen Bereich entstanden neue Bezeichnungen:

  • 1979 nannte Douglas R. Hofstadter in seinem Buch Gödel, Escher, Bach diejenigen Startzahlen, deren Collatz-Trajektorie im Zykel (1,4,2) endet, wondrous numbers, wundersame Zahlen.[20]
  • 1984 nannte Brian Hayes die Zahlen von Collatz-Folgen in der Kolumne Computer recreations im Scientific American hailstone numbers, Hagelschlagzahlen.[21]

Collatz-Graph einer Funktion[Bearbeiten]

Ausschnitt aus dem Collatz-Graphen zur Collatz-Funktion

Collatz’ Beschreibung seiner Motivation der (3n+1)-Vermutung ist sehr plausibel:[22] Er assoziiert zunächst ganz allgemein zu einer beliebigen Funktion auf den natürlichen Zahlen mit Werten in den natürlichen Zahlen einen gerichteten Graphen, der von Lagarias im oben erwähnten Überblicksartikel Collatz-Graph genannt wird. Der Collatz-Graph einer zahlentheoretischen Funktion

f\colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}

ist ein gerichteter Graph, bestehend aus der Menge der natürlichen Zahlen als Knotenmenge und zu jeder natürlichen Zahl n einer gerichteten Kante von n nach f(n).

Die einfachste solche Funktion ist die Nachfolgerabbildung

s\colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad s(n) = n+1,

deren Collatz-Graph aus einem unendlich langen Weg besteht:

1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to \dotsb

Um mehr Beispiele zu haben, suchte er zunächst nach einer möglichst „einfachen“ zahlentheoretischen Funktion, deren Collatz-Graph einen Kreis enthält. Eine solche Funktion f muss auf gewissen natürlichen Zahlen n „aufsteigen“, also die Relation n<f(n) erfüllen, und auf anderen natürlichen Zahlen m „absteigen“, also die Relation m>f(m) erfüllen. So stieß er zunächst auf die Funktion, die definiert ist durch

C_1(n) := \begin{cases} n/2 & \text{wenn } n \text{ gerade ist,} \\ n+1 \quad & \text{wenn } n \text{ ungerade ist.} \end{cases}

Den Collatz-Graphen dieser Funktion kann man wie folgt beschreiben: Die Knoten sind, nach Definition, die positiven ganzen Zahlen. Ist der Knoten k gerade, besitzt k die beiden Vorgängerknoten k-1 und 2k, sonst nur 2k. Außerdem gilt

C_1^2(n) = C_1(C_1(n)) = \begin{cases} \frac{n}{4} & \text{wenn } n \text{ durch 4 teilbar ist,} \\
 \frac{n}{2} + 1 & \text{wenn } n \text{ durch 2, aber nicht durch 4 teilbar ist,} \\
 \frac{n+1}{2} \quad & \text{wenn } n \text{ ungerade ist.} \end{cases}

Daraus folgt

C_1^2(n) < n \qquad \text{ wenn } n > 2,

und das hat zur Folge, dass der Collatz-Graph von C_1 nur den Kreis (1,2) besitzt und dass die C_1-Trajektorie zu jeder beliebigen Startzahl in diesen Kreis mündet.

Weil diese Argumentation ziemlich einfach ist, suchte Collatz weiter: Der Collatz-Graph der Funktion

C_2(n) = \begin{cases} n/2 & \text{wenn } n \text{ gerade ist,} \\ 2 n + 1 \quad & \text{wenn } n \text{ ungerade ist,} \end{cases}

enthält keinen Kreis, da jede ungerade Zahl auf eine größere ungerade Zahl abgebildet wird, und die C_2-Trajektorien daher alle gegen unendlich divergieren.

Der nächste Versuch ist die Collatz-Funktion

C\colon\mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad
 C(n) = \begin{cases} n/2 & \text{wenn } n \text{ gerade ist,} \\ 3 n + 1 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist.} \end{cases}     (Folge A006370 in OEIS)

Zu dieser Funktion fand Collatz nur den „trivialen Kreis“ (1,4,2) – er schrieb, er habe seine Ideen deshalb nicht veröffentlicht, weil er nicht beweisen konnte, dass der „triviale Kreis“ der einzige sei. Die Collatz-Vermutung ist in graphentheoretischer Formulierung die Vermutung, dass der Collatz-Graph von C zusammenhängend ist.

Den Collatz-Graphen zu C untersuchten unter anderem Paul J. Andaloro,[23] Ștefan Andrei, Manfred Kudlek und Radu Ștefan Niculescu.[24] Sie gewannen unendliche Teilmengen der natürlichen Zahlen, für welche die Collatz-Folge bei 1 endet.

Prinzipielles[Bearbeiten]

Die Pfadlänge (Anzahl der Schritte) in Abhängigkeit der Startzahlen von 1 bis 10.000.

Für eine C-Trajektorie als Zahlenfolge kann man drei einander ausschließende Fälle unterscheiden:

  • die Folge endet im (1,4,2)-Zyklus,
  • die Folge wächst über alle Grenzen,
  • die Folge gerät in einen anderen Zyklus.

Die Vermutung besagt, dass nur der erste Fall eintritt, aber weder der zweite noch der dritte Fall konnte bisher ausgeschlossen werden. Es ist auch nicht bekannt, ob es nur endlich viele Zyklen geben kann.[25]

Da 3 n + 1 für ungerade n stets gerade ist und somit die folgende Iteration immer die Division durch 2, wird statt der Collatz-Funktion C meistens die etwas einfacher zu handhabende Funktion

T:\mathbb{N} \to \mathbb{N}, \quad
 T(n) = \begin{cases} n/2 & \text{wenn } n \text{ gerade ist,} \\ (3 n + 1) / 2 & \text{wenn } n \text{ ungerade ist,} \end{cases}     (Folge A014682 in OEIS)

verwendet, die also für ungerade n zwei C-Iterationen auf einmal macht und den der Vermutung zufolge stets erreichten Zyklus von (1,4,2) auf (1,2) reduziert. Die k-fache Abbildung T^k bildet 2^k m auf m und 2^k m - 1 auf 3^k m - 1 ab, insbesondere gibt es für jeden beliebig großen Faktor Startwerte, die die wiederholte Abbildung mit C oder T um mindestens diesen Faktor vergrößert. Die Collatz-Vermutung ist äquivalent zu der Vermutung, dass für alle ganzen Zahlen n > 1 eine ganze Zahl k > 0 mit T^k(n) < n existiert. Terras zeigte 1976, dass die asymptotische Dichte der ganzen Zahlen n > 1, für die das zutrifft, existiert und gleich 1 ist.[13]

Berechnungen mit Computern ergaben:[26]

  • Alle positiven ganzen Zahlen bis 20×258 (ca. 5,76×1018) als Startwerte bestätigen die Vermutung (Stand Januar 2009).[27][28]
  • Ein anderer Zyklus der T-Iteration als (1,2) müsste aus mindestens 10.439.860.591 Zahlen, davon mindestens 6.586.818.670 ungerade Zahlen, bestehen.[29]
  • Für unendlich viele positive ganze Zahlen n sind mindestens 6,143 log n Iterationen mit T erforderlich, um 1 zu erreichen.[30] Stochastische Modelle sagen voraus, dass durchschnittlich (2 / log(4/3)) log n ≈ 6,952 log n Schritte benötigt werden und dass für mindestens die Hälfte aller Zahlen mindestens so viele T-Iterationen erforderlich sind.
  • Für genügend große X ist die Anzahl der positiven ganzen Zahlen kleiner oder gleich X, die als Startwert die Vermutung bestätigen, mindestens X^{0{,}84}.[31]

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Für das auf alle ganzen Zahlen als Startwerte ausgeweitete Collatz-Problem gibt es außer dem (1,4,2)-Zyklus noch mindestens vier weitere Zyklen:

  • (0),
  • (−1, −2),
  • (−5, −14, −7, −20, −10) und
  • (−17, −50, −25, −74, −37, −110, −55, −164, −82, −41, −122, −61, −182, −91, −272, −136, −68, −34).

Die drei letzten Zyklen mit positiven statt negativen Vorzeichen entstehen auch mit der Definition C(n) = 3 n - 1 statt C(n) = 3 n + 1 für ungerade n. Alle Startwerte n mit |n|<108 enden in einem der bekannten Zyklen.[32]

Marc Chamberland definierte eine stetige Funktion, welche die diskrete Collatz-Folge auf den Bereich der reellen Zahlen erweitert.[33] Simon Letherman, Dierk Schleicher und Reg Wood betrachteten Funktionen im Bereich der komplexen Zahlen als Erweiterung.[34] Allgemeine Vermutung: (3n+3^x) endet immer in 4\cdot 3^x,\; 2\cdot 3^x,\; 1\cdot3^x und besitzt nur diesen einen Zyklus.

Literatur[Bearbeiten]

  • Jeffrey C. Lagarias: The 3x+1 problem and its generalizations, The American Mathematical Monthly 92, Januar 1985, S. 3–23 (englisch; 1986 mit dem Lester-R.-Ford-Preis ausgezeichnet; bei MathDL; beim CECM)
  • Günther J. Wirsching: The dynamical system generated by the 3n+1 function, Springer-Verlag, Berlin 1998, ISBN 3-540-63970-5 (englisch; revidierte Version der Habilitationsschrift von 1996)
  • Richard K. Guy: E16. The 3x+1 problem und E17. Permutation sequences in Unsolved problems in number theory (3. Auflage), Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7, S. 330–336 und S. 336–337 (englisch)
  • Jeffrey C. Lagarias: The 3x+1 problem: An annotated bibliography (1963–1999) (sorted by author), arXiv:math/0309224 [math.NT], 2003–2011 (englisch)
  • Jeffrey C. Lagarias: The 3x+1 problem: An annotated bibliography, II (2000–2009), arXiv:math/0608208 [math.NT], 2006–2009 (englisch)
  • Jeffrey C. Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, American Mathematical Society, Providence RI 2010, ISBN 978-0-8218-4940-8 (englisch)

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Collatzfolgen und Schachbrett – Lern- und Lehrmaterialien
 Commons: Collatz-Problem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b H. S. M. Coxeter: Cyclic sequences and frieze patterns: The fourth Felix Behrend memorial lecture, Vinculum 8, 1971, S. 4–7 (englisch); Nachdruck mit Kommentar in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, S. 211–218 (Vermutung auf S. 214)
  2. a b C. Williams, B. Thwaites, A. van der Poorten, W. Edwards, L. Williams: Ulam’s conjecture continued again, PPC Calculator Journal 9, September 1982, S. 23–24 (englisch)
  3. Bryan Thwaites: Two conjectures, or how to win £1100, The Mathematical Gazette 80, März 1996, S. 35–36 (englisch)
  4. a b Bryan Thwaites: Try to Win auf nrich, 10. März 1998 (englisch)
  5. Lagarias: The 3x+1 problem and its generalizations, 1985, S. 4 (englisch)
  6. Lagarias: The 3x+1 problem: An overview, 2010, S. 16 und 24 (englisch)
  7. a b Richard K. Guy: Don’t try to solve these problems! American Mathematical Monthly 90, 1983, S. 35–41 (englisch); Nachdruck in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, S. 231–239
  8. Darren Glass: MAA Review zu Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, MathDL, 31. März 2011 (englisch)
  9. Lagarias: The 3x+1 problem: An overview, 2010, S. 5 (englisch)
  10. ITEM 133 (Schroeppel, Gosper, Henneman & Banks) aus M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM, MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch)
  11. Martin Gardner: Mathematical Games, Scientific American 226, Juni 1972, S. 114–118 (englisch); Nachdruck mit Kommentar in Wheels, life, and other mathematical amusements, W. H. Freeman and Company, New York 1983, ISBN 0-7167-1588-0, S. 196–197 und 203–204
  12. J. H. Conway: Unpredictable Iterations in: Proceedings of the 1972 Number Theory Conference. University of Colorado, Boulder, Colorado, 1972, S. 49–52 (englisch); Nachdruck in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, S. 219–223
  13. a b Riho Terras: A stopping time problem on the positive integers (PDF-Datei, 632 kB; 24. Oktober 1974), Acta Arithmetica 30, 1976, S. 241–252 (englisch)
    dazu Riho Terras: On the existence of a density (PDF-Datei, 132 kB; 27. Juli 1978), Acta Arithmetica 35, 1979, S. 101–102 (englisch)
  14. Lagarias: The 3x+1 problem and its generalizations, 1985 (englisch)
  15. Lagarias: The 3x+1 problem and its generalizations, 1985, S. 3 (englisch)
  16. Lagarias: The 3x+1 problem: An overview, 2010, S. 5 (englisch)
  17. Guy: E17. Permutation sequences, 2004 (englisch)
  18. Bryan Thwaites: My conjecture, Bulletin of The Institute of Mathematics and its Applications 21, März/April 1985, S. 35–41 (englisch)
  19. Lothar Collatz: Über die Entstehung des (3n+1)-Problems, Journal of Qufu Normal University Natural Science Edition 12 No. 3, 1986, S. 9–11 (chinesische Übersetzung aus dem Deutschen von Zhi-Ping Ren); On the motivation and origin of the (3n+1)-problem in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, S. 241–247 (englische Übersetzung aus dem Chinesischen)
  20. Douglas R. Hofstadter: Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Basic Books, New York 1979, ISBN 0-465-02685-0, S. 400–402 (englisch)
  21. Brian Hayes: Computer recreations: On the ups and downs of hailstone numbers (PDF-Datei, 1,1 MB), Scientific American 250, Januar 1984, S. 10–16 (englisch)
  22. Günther J. Wirsching: Über das 3n+1 Problem, Elemente der Mathematik 55, November 2000, S. 142–155
  23. Paul J. Andaloro: The 3x+1 problem and directed graphs (PDF-Datei, 3,8 MB), Fibonacci Quarterly 40, 2002, S. 43–54 (englisch)
  24. Ștefan Andrei, Manfred Kudlek, Radu Ștefan Niculescu: Some results on the Collatz problem (PDF-Datei, 157 kB), Acta Informatica 37, 2000, S. 145–160 (englisch)
  25. Lagarias: The 3x+1 problem: An overview, 2010, S. 22 (englisch)
  26. Lagarias: The 3x+1 problem: An overview, 2010, S. 16–17 (englisch)
  27. Tomás Oliveira e Silva: Empirical verification of the 3x+1 and related conjectures in Lagarias (Hrsg.): The ultimate challenge: The 3x+1 problem, 2010, S. 189–207 (englisch)
  28. Computational verification of the 3x+1 conjecture von Tomás Oliveira e Silva, 1. Januar 2012 (englisch)
  29. Shalom Eliahou: The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths, Discrete Mathematics 118, August 1993, S. 45–56 (englisch; Resultat unter Verwendung der Gültigkeit der Vermutung bis 20×258)
  30. David Applegate, Jeffrey C. Lagarias: Lower bounds for the total stopping time of 3x+1 iterates, Mathematics of Computation 72, April 2003, S. 1035–1049 (englisch)
  31. Ilia Krasikov, Jeffrey C. Lagarias: Bounds for the 3x + 1 problem using difference inequalities, Acta Arithmetica 109, 2003, S. 237–258 (englisch)
  32. Guy: E16. The 3x+1 problem, 2004, S. 332 (englisch)
  33. Marc Chamberland: A continuous extension of the 3x+1 problem to the real line (PDF-Datei, 159 kB), Dynamics of continuous, discrete and impulsive dynamical systems 2, 1996, S. 495–509 (englisch)
  34. Simon Letherman, Dierk Schleicher, Reg Wood: The 3n+1-problem and holomorphic dynamics, Experimental Mathematics 8, 1999, S. 241–251 (englisch)