Ungelöste Probleme der Mathematik

Im Prinzip lassen sich beliebig viele ungelöste mathematische Probleme beschreiben, denn das Themengebiet der Mathematik ist unbegrenzt. Dennoch haben sich in der Geschichte der Mathematik mehrfach wichtige ungelöste Probleme herauskristallisiert, die innerhalb der Wissenschaft als bedeutend anerkannt wurden und an deren Lösung daher mit besonderem Eifer gearbeitet wurde und wird.

Millennium-Probleme

→ Hauptartikel: Millennium-Probleme

Zuletzt stellte im Jahr 2000 das Clay Institute in Cambridge, Massachusetts, die sieben (aus seiner Sicht) wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik vor und lobte für eine veröffentlichte Lösung ein Preisgeld von jeweils einer Million Dollar aus. Bisher wurde eines der sogenannten Millennium-Probleme gelöst, als Grigori Perelman durch seinen Beweis der allgemeineren Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten im Jahr 2002 die Poincaré-Vermutung verifizieren konnte.

Hilbertsche Probleme

→ Hauptartikel: Hilbertsche Probleme

Als Vorbild für das Clay Institute diente offensichtlich David Hilbert, der am 8. August 1900 auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Paris 23 bis dahin ungelöste Probleme der Mathematik formulierte. 13 dieser Probleme sind bisher umfassend „gelöst“ worden, wobei die Lösung in einigen Fällen in dem Beweis besteht, dass eine Lösung unmöglich oder die zu Grunde liegende Fragestellung nicht entscheidbar ist (siehe z. B. Hilberts erstes Problem). Zu dreien von ihnen sind noch keine befriedigenden Resultate vorhanden. Als prominentestes ungelöstes Problem gilt weiterhin die Riemannsche Vermutung, die ebenfalls in der Clay-Liste enthalten ist.

Weitere bekannte ungelöste Probleme und Fragen

• Collatz-Problem (u. A. auch bekannt als 3n+1-Problem, Hasse-Algorithmus, Ulams-Problem)
• Goldbachsche Vermutung
• abc-Vermutung
• Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge? Oder gar Primzahlvierlinge oder Primzahlsechslinge?
• Gibt es einen schnellen Algorithmus zur Primfaktorzerlegung?
• Liegt zwischen $n^2$ und $(n+1)^2$ stets mindestens eine Primzahl (Legendresche Vermutung)?
• Gibt es ungerade vollkommene Zahlen?
• Für welche natürlichen Zahlen $n$ gibt es endliche projektive (oder affine) Ebenen der Ordnung $n$? Nur für Primzahlpotenzen? Für $n = 12, 15, 18, 26, 30\ldots$?
• Lässt sich jede ganze Zahl $n\not\equiv\pm 4\pmod{9}$ als Summe dreier ganzzahliger Kuben darstellen?
• Existieren bei der Taxicab-Zahl $\operatorname{Taxicab}(k,j,n)$ andere Werte als für $k=3$ und $j=2?$.
• Hadwiger–Nelson-Problem: Wie viele Farben sind mindestens notwendig, um eine Ebene einzufärben, wenn je zwei Punkte mit Abstand $1$ unterschiedlich gefärbt seien müssen?
• Vermutung von Schanuel

Lösungen für berühmte Probleme

• 1977: Vier-Farben-Problem
• 1983: Vermutung von Mordell
• 1985: Bieberbachsche Vermutung
• 1995: Fermatsche Vermutung
• 1998: Keplersche Vermutung
• 2002: Catalansche Vermutung
• 2002: Poincaré-Vermutung
• 2012: Shinichi Mochizuki hat möglicherweise die abc-Vermutung bewiesen.

„Ungelöste“ Probleme der Geometrie

Über viele Jahrhunderte hinweg gab es auch in der Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, einige berühmte ungelöste Probleme (Konstruktionen). Diese werden auch die „Klassischen Probleme der antiken Mathematik“ genannt. Erst 1882 (Beweis der Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises) konnten die „ungelösten“ geometrischen Probleme als „unmöglich lösbare“ Probleme erkannt werden.

Siehe auch

• Liste ungelöster Probleme der Informatik

Literatur

• Simon Singh: Fermats letzter Satz, dtv, 2000, ISBN 3-423-33052-X
• Pierre Basieux: Die Top Seven der mathematischen Vermutungen. rororo, 2004, ISBN 3-499-61932-6
• Richard K. Guy: Unsolved problems in number theory (3. Auflage), Springer-Verlag, New York 2004, ISBN 0-387-20860-7 (englisch)
• Elliott Pearl: Open Problems in Topology, Elsevier, 2007, ISBN 0-444-52208-5
• George G. Szpiro: Das Poincaré-Abenteuer.Ein mathematisches Welträtsel wird gelöst, Piper, 2010, ISBN 978-3-492-25725-1

Weblinks

• www.zeit.de – zur Problematik eines Beweises mit Computer Mit weiteren Links zum Thema
• Webseite des Clay Institutes zu den sieben Millennium-Problemen (Englisch)