Wellenwiderstand

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Dieser Artikel beschreibt den Wellenwiderstand in der Elektrotechnik, Akustik und Mechanik im Allgemeinen. Zur Beschreibung des Wellenwiderstands der Strömungsmechanik siehe Strömungswiderstand. Für weitere Bedeutungen von Impedanz siehe Impedanz (Begriffsklärung).

Der Wellenwiderstand, auch die Wellenimpedanz oder die Impedanz, ist eine Eigenschaft eines Mediums, in dem sich eine Welle ausbreitet. Das Verhältnis von reflektierter und transmittierter Amplitude der Welle an einer Grenzfläche wird durch die Wellenwiderstände der beiden Medien bestimmt.

Man kann sich diesen Widerstand anschaulich etwa als die Steifigkeit bzw. Härte oder Weichheit vorstellen, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. Dadurch stehen z. B. Kraft und Bewegung (bei akustischen bzw. mechanischen Wellen), Spannung und Strom (bei Wellen auf elektrischen Leitungen) oder elektrischer und magnetischer Feldanteil (bei elektromagnetischen Feldwellen) in einem bestimmten Verhältnis zueinander.

Elektromagnetische Wellen im freien Raum[Bearbeiten]

Feldwellenwiderstand[Bearbeiten]

In der Elektrodynamik ist Feldwellenwiderstand – engl. wave impedance – das Verhältnis zwischen elektrischem und magnetischem Feldanteil einer sich transversal ausbreitenden elektromagnetischen Welle im Freiraum, weit entfernt von Metallflächen. Der Feldwellenwiderstand wird aus der Quadratwurzel des Quotienten gebildet, der sich aus der im Allgemeinen komplexen Permeabilität μ, der im Allgemeinen komplexen Permittivität ε und der elektrischen Leitfähigkeit σ zusammensetzt. Er ist allgemein eine komplexe Größe. Für das Material, durch das sich die Welle bewegt, erhält man den Feldwellenwiderstand aus:


\underline Z_\mathrm{w} = \sqrt {j \omega \underline \mu \over \sigma + j \omega \underline \varepsilon}

Darin bezeichnet ω die Kreisfrequenz. Sofern die Welle sich in elektrisch nicht leitendem Material ausbreitet, d. h. falls σ = 0 ist, gilt:


\underline Z_\mathrm{w}=\sqrt{\frac{\underline \mu}{\underline \varepsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_0 \underline \mu_\mathrm{r}}{\varepsilon_0 \underline \varepsilon_\mathrm{r}}}

Der Wellenwiderstand einer elektromagnetischen Welle im Vakuum ist eine Naturkonstante. Er ist rein reell. Sein Wert beträgt:


Z_\mathrm{w0} = \sqrt \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} \approx 120 \pi~\Omega \approx 376{,}73~\Omega
.

Für die in der Funktechnik wichtigen Frequenzen unterscheidet sich der Wellenwiderstand der Luft nur wenig von diesem Wert.

Der Feldwellenwiderstand ist nicht gleich dem aus der Leitungstheorie bekannten Leitungswellenwiderstand, mit dem er häufig verwechselt wird.

Strom- und Spannungswellen auf Leitungen[Bearbeiten]

Leitungswellenwiderstand[Bearbeiten]

Der Leitungswellenwiderstand (auch Kabelimpedanz oder Nennimpedanz genannt, englisch characteristic impedance) ist eine Kenngröße längshomogener Leitungen; dazu gehören z. B. Kabel oder Einzeldrahtanordnungen, die aus wenigstens zwei elektrischen Leitern bestehen. Die Wellenimpedanz eines Hohlleiters wird hier nicht betrachtet. Der Leitungswellenwiderstand beschreibt das Verhältnis sich in eine gemeinsame Richtung ausbreitender Strom- und Spannungswellen. In einer elektrischen Leitung sind der Leitungswellenwiderstand Zl und der Feldwellenwiderstand Zw über die Geometrie der Leitungsberandung miteinander verknüpft.

Während auf einem homogenen Leitungsstück das Signalausbreitungsverhalten selbst nicht vom Wellenwiderstand, sondern von der Fortpflanzungskonstante bestimmt wird, beeinflussen seine abrupten Änderungen durch Reflexion und Brechung an den Stoßstellen von Leitungen und eventuell an den Enden vorhandene Fehlanpassungen das Signalausbreitungsverhalten besonders, wenn die übertragenen Signale hochfrequent im Vergleich zum Kehrwert der Signallaufzeit auf der Leitung sind oder wenn die Signale hochfrequente Anteile enthalten. Das ist z. B. der Fall für

  • hohe Frequenzen (z. B. HF-Signale oder steilflankige Signale auf beliebigen Leitungen)
  • lange Leitungen (z. B. 50-Hz-Hochspannungsleitungen über Kontinente hinweg)
  • Schaltvorgänge auf Leitungen (siehe Impulsfahrplan)

Der Leitungswellenwiderstand homogener Hochfrequenzleitungen ist oft eine reelle Größe (z. B. 50 Ω bei gängigen Koaxialkabeln) und unabhängig von der Leitungslänge, jedoch in der Regel leicht frequenzabhängig (Dispersion). Die Frequenzabhängigkeit wird durch das Dielektrikum des Kabels hervorgerufen und muss bei Breitband-Signalübertragungen berücksichtigt werden. Der Leitungswellenwiderstand ist nicht zu verwechseln mit dem ohmschen Leitungswiderstand, der die (Wärme-)Verluste beschreibt, wenn die Leitung von einem Strom durchflossen wird. Vielmehr kann man sich den Leitungswellenwiderstand als Eingangswiderstand einer endlos langen, homogenen Leitung vorstellen, also einer Leitung, an deren Ende keine Signalreflexion stattfindet.

Der Leitungswellenwiderstand, der Leitungsabschluss und die Eingangsimpedanz einer Leitung[Bearbeiten]

Den Leitungswellenwiderstand gibt es nicht im Sinne eines Bauteils. Zwar zeigt eine unendlich lange Leitung an ihrem Beginn als Eingangsimpedanz ihren Wellenwiderstand, in der realen Welt wird der Wellenwiderstand jedoch zweckmäßigerweise vom Hersteller angegeben oder anhand der Geometrie berechnet, da er sich nicht ohne weiteres messen lässt. Eine mit einem (eventuell komplexen) Widerstand, gleich groß wie ihr Wellenwiderstand, abgeschlossene Leitung zeigt hingegen unabhängig von ihrer Länge am Anfang ebendiesen Widerstand. Man nennt diesen Fall „mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen“: Am Ende der Leitung ist ein Widerstand oder eine andere Last mit dem Widerstandswert des Leitungswellenwiderstandes angeschlossen. Das kann ein ohmscher Widerstand oder auch eine Antenne sein. Diese Anpassung ist allerdings nur dann mit einem reellen Lastwiderstand möglich, wenn auch der Wellenwiderstand im übertragenen Frequenzbereich reell angenommen werden kann. Das ist beispielsweise bei HF-Leitungen praktisch immer der Fall.

Ist die Leitung nicht mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossen, variiert die Eingangsimpedanz der Leitung allgemein in Abhängigkeit von Leitungslänge, Betriebsfrequenz, Abschlussimpedanz und Leitungswellenwiderstand und ist komplex. Die Übereinstimmung der Impedanzen von Quelle, Last und Leitungswellenwiderstand ist nur dann notwendig, wenn störende Reflexionen oder Echos von Signalen in beiden Richtungen vermieden werden müssen (beispielsweise bidirektionale Datenkabel wie USB). Dann liegt Leistungsanpassung vor, der Wirkungsgrad kann nicht größer als 50 % sein. Wird ein höherer Wirkungsgrad gefordert, genügt es, die Leitung nur am Ende reflexionsfrei (d. h. angepasst) abzuschließen - die Signalquelle darf beliebige Quellimpedanz haben. Bei leistungsstarken Sendern wird deshalb immer eine andere, meist viel kleinere Quellimpedanz gewählt, um einen höheren Wirkungsgrad zu ermöglichen. Der Sender Wachenbrunn erreichte auf diese Weise einen Wirkungsgrad von 85 %.

Folgende drei Fälle werden in der Hochfrequenztechnik unterschieden, von denen die ersten zwei oft dazu dienen, komplexe, frequenzabhängige Bauteile wie Schwingkreise, Sperrkreise oder Hochpässe zu realisieren. Solche Bauteile werden Leitungskreise genannt.

Koaxialleitung schema offen.svg Darstellung einer am Ende leerlaufenden Koaxialleitung. Ankommende Spannungspulse werden gleichphasig reflektiert, Strompulse in Gegenphase. Am Leitungsende stellt sich der Gesamtstrom aus hin- und rücklaufender Welle I=0 ein.
Koaxialleitung schema kurzgeschlossen.svg Darstellung einer am Ende kurzgeschlossenen Koaxialleitung. Ankommende Spannungspulse werden gegenphasig reflektiert, Strompulse mit gleicher Phase. Am Leitungsende stellt sich der Gesamtstrom aus hin- und rücklaufender Stromwelle I=2·I(hinlaufende Welle) ein.
Koaxialleitung schema abgeschlossen.svg Darstellung einer mit einer Impedanz oder einer reflexionsfrei mit ihrem Leitungswellenwiderstand abgeschlossenen Koaxialleitung. Ankommende Strom- oder Spannungspulse werden nicht reflektiert, wenn der Abschlusswiderstand den Wert des Leitungswellenwiderstands besitzt. Bei anderen Werten entspricht das Verhältnis zwischen hin- und rücklaufender Welle dem Reflexionsfaktor.

Der Leitungsabschluss bei Spannungspulsen[Bearbeiten]

Impulse bei offenem Kabelende. Die Impulse werden gleichphasig reflektiert, werden aber immer schwächer (Kabelverluste).

Beaufschlagt man eine homogene Leitung, die am Ausgang nicht mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen ist, mit einem Spannungsimpuls, entsteht am Ort der Abschlussimpedanz eine Reflexion – vergleichbar einem akustischen Echo. Durch die Fehlanpassung wird ein vom Leitungswellenwiderstand abweichendes Spannungs-Stromverhältnis erzwungen, das die anteilige Reflexion der ankommenden Welle bewirkt. Der reflektierte Pulsanteil hängt vom Grad der Fehlanpassung ab. Er läuft dem ankommenden Spannungspuls entgegen. Entspricht die Quellimpedanz der Signalquelle nicht dem Wellenwiderstand der Leitung, wird das Signal an der Quellimpedanz ebenfalls als Echo reflektiert. Der Impuls läuft dann mehrmals hin- und zurück, bis seine Energie in Wärme umgewandelt ist (siehe auch Zeitbereichsreflektometrie).

Eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung (rechtes Bild) unterbindet die Reflexion von Spannungspulsen, soweit die Impedanz am Leitungsabschluss über das gesamte Frequenzspektrum des Pulses mit dem Leitungswellenwiderstand übereinstimmt.

Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung[Bearbeiten]

Leitungsbelag.svg
Impulse bei kurzgeschlossenem Kabel. Die Impulse werden gegenphasig reflektiert, werden aber immer schwächer (Kabelverluste).
Impulse bei richtig belastetem Kabel. Die Impulsenergie wird im korrekten Abschlusswiderstand R = Z0 in Wärme umgewandelt. Bei abweichendem Wert wird ein Teil reflektiert.

Die linke Abbildung zeigt das Ersatzschaltbild eines Leitungsabschnitts der infinitesimalen Länge dx. Die darin enthaltenen Größen sind die auf die Länge bezogenen Beläge: Der Induktivitätsbelag L′, der Kapazitätsbelag C′, der Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′. Für sinusförmige Signale lassen sich mit den komplexen Amplituden von Spannung U und Strom I auf der Leitung mit dieser Ersatzschaltung die beiden Differentialgleichungen der homogenen Leitung bestimmen:


\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -(R' + j\omega L') I

\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -(G' + j\omega C') U

(j ist hier die imaginäre Einheit.)

Im Folgenden wird aus der Lösung des Differentialgleichungssystems der Leitungswellenwiderstand mit der Abkürzung Zl definiert.

Definition des Leitungswellenwiderstandes bei der allgemeinen Lösung der Leitungsgleichungen[Bearbeiten]

Differenziert man obige erste Leitungsgleichung [1] nach x und setzt dann den Ausdruck für dI/dx aus der zweiten Gleichung ein, erhält man folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') U

die durch einen Lösungsansatz der Form

U = e^{\gamma x}

gelöst werden kann. Durch Einsetzen des Ansatzes und Koeffizientenvergleich lässt sich γ bestimmen:

\gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}

Wegen der dabei auftretenden quadratischen Gleichung kann γ sowohl mit positiven als auch mit negativen Vorzeichen verwendet werden. Diese zwei Lösungen für den Ansatz können (mit zwei Konstanten versehen) linear überlagert werden. Sie ergeben die sogenannte „allgemeine Lösung“ für die Spannung U im Abstand x vom Leitungsanfang

U = a_1 e^{-\gamma x} + a_2 e^{\gamma x} \,

mit den von den Randbedingungen abhängigen Koeffizienten a1 und a2. Der komplexe Parameter γ wird Fortpflanzungskonstante oder auch Ausbreitungskonstante genannt. Sie ist im Allgemeinen von der Frequenz abhängig und nur wenn für die Leitung die Heaviside-Bedingung erfüllt ist, ist ihr Realteil konstant und der Imaginärteil linear von der Frequenz abhängig.

Die Stromstärke an der Stelle x der Leitung lässt sich aus den Leitungsgleichungen bestimmen:

I = - \frac{1}{R' + j \omega L'} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}

Durch Einsetzen der obigen allgemeinen Lösung für den Spannungsverlauf U(x,ω) ergibt sich für den Stromverlauf I(x,ω) entlang der Leitung in Abhängigkeit von der Frequenz ω:


I = - \frac{1}{R' + j \omega L'} (-a_1 \gamma e^{-\gamma x} + a_2 \gamma e^{\gamma x})
  = \sqrt{\frac{G' + j \omega C'}{R' + j \omega L'}} (a_1 e^{-\gamma x} - a_2 e^{\gamma x})
  = \frac{a_1}{Z_l} e^{-\gamma x} - \frac{a_2}{Z_l} e^{\gamma x}

Der darin auftretende Parameter Zl heißt Leitungswellenwiderstand:

Z_l = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}

Eine Berechnung der Leitungsbeläge entsprechend der Leitergeometrie und Einsetzen in die allgemeine Form des Leitungswellenwiderstands zeigt: Je enger die Leiter beieinander liegen, und je größer der Leiterquerschnitt ist, desto geringer ist der Leitungswellenwiderstand.

Frequenzabhängigkeit des Leitungswellenwiderstandes[Bearbeiten]

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Ortskurve des komplexen Wellenwiderstandes Z einer Leitung mit R' = 0,1 Ω/km, G' = 0,1 mS/km, L' = 1 mH/km und C' = 11 nF/km (Ortskurvenparameter ist die Kreisfrequenz ω, welche von 0 bis ∞ läuft)

Im Folgenden wird das Verhalten des Wellenwiderstandes einer Leitung bei Gleichstrom, niedrigen und hohen Signalfrequenzen erläutert. Die Diagramme in diesem Abschnitt dienen der Illustration des Frequenzgangs des Leitungswellenwiderstandes, welcher der Eingangsimpedanz einer verlustbehafteten, unendlich langen Leitung entspricht. [2] Sie zeigen die in den folgenden Unterkapiteln beschriebenen Frequenzabhängigkeiten am Beispiel des Leitungswellenwiderstands einer realen Drehstrom-Freileitung für 110 kV. Insbesondere an der Ortskurve kann man das anschließend diskutierte Frequenzverhalten des Leitungswellenwiderstandes gut erkennen.

Verhalten bei Gleichstrom[Bearbeiten]

Bei Gleichstrom (0 Hz) verschwinden in der allgemeinen Formel des Leitungswellenwiderstandes die beiden frequenzabhängigen Terme und damit die Imaginärteile. Daher wird der Leitungswellenwiderstand bei der Frequenz 0 Hz groß und reell.

Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{R'}{G'}}

Im Idealfall G′ = 0 wäre er unendlich. Typische Werte für Gleichstrom liegen zwischen ungefähr 100 kΩ und einigen 10 MΩ.

Verhalten bei niedrigen Frequenzen[Bearbeiten]

Bedeutung des Wellenwiderstandes in der Energietechnik siehe: Natürliche Leistung
Verlauf des Wellenwiderstandes über der Kreisfrequenz ω. Dargestellt ist, getrennt nach Real- und Imaginärteil, der Wellenwiderstand einer verlustbehafteten Freileitung mit den Parametern R' = 0,1 Ω/km, L' = 1 mH/km, C' = 11 nF/km, G'=0,1 µS/km. Für hohe Frequenzen wird der Widerstand reell und nähert sich in diesem Fall einem Wert von 301 Ω, der dem Wellenwiderstand der verlustlosen Leitung entspricht. Das Verhalten bestimmt u. a. die natürliche Leistung einer Freileitung.

Bei niedrigen Frequenzen macht sich hauptsächlich der kapazitive Belag bemerkbar, da seine Wirkung sehr schnell die Wirkung des Ableitungsbelags dominiert und (besonders bei Kabeln) die Wirkung des Induktivitätsbelags noch nicht in die Größenordnung des Leitungs-Widerstandsbelags gekommen ist. Dann können L′ und G′ in erster Näherung vernachlässigt werden, sodass der Wellenwiderstand in einem schmalen Frequenzbereich

Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{R'}{j\omega C'}} = \sqrt{\frac{R'}{2\omega C'}}\cdot(1-j)

beträgt. Die Ortskurve kann dann durch eine Gerade mit einer Neigung von -45° angenähert werden.[3]

Bedeutung hat dieser Fall für Niederfrequenz-Übertragungsleitungen und Telefonleitungen. Die Gleichung wird z. B. auch angewendet, um die Werte von Widerstand und Kondensator des Leitungsabschlusses (der Gabelschaltung) in analogen Telefonen zu bestimmen. Bei richtiger Wahl der Werte werden durch die Leitung entstehende Imaginärteile kompensiert. Auf diese Weise kann die Auswirkung der Fehlanpassungen verhindert werden, obwohl sie einen vom Lastwiderstand abweichenden (kleineren) Wellenwiderstand hat.

Verhalten bei hohen und sehr hohen Frequenzen[Bearbeiten]

Bei hohen Frequenzen werden der ohmsche Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′ gegenüber den frequenzabhängigen Termen des kapazitiven und induktiven Belags jωC′ bzw. jωL′ der Leitung nachrangig. Dann kann man in der allgemeinen Gleichung für den Leitungswellenwiderstand R′ und G′ durch Null ersetzen, und der Bruch innerhalb der Wurzel lässt sich anschließend um kürzen. Der Leitungswellenwiderstand ergibt sich deshalb für hohe und sehr hohe Frequenzen angenähert aus kapazitivem und induktivem Leitungsbelag und entspricht damit dem Wellenwiderstand einer idealen verlustlosen Leitung:

Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}

Bei sehr hohen Frequenzen in der Größenordnung von GHz steigen zwar bei einer realen Leitung R′ aufgrund des Skineffektes und G′ aufgrund des dielektrischen Verlustfaktors an, aber auch dann haben Widerstandsbelag R′ und Ableitungsbelag G′ eine immer noch untergeordnete Auswirkung auf den Leitungswellenwiderstand.

Der Wellenwiderstand einer verlustlosen Leitung kann allerdings auch aufgrund der Dispersion (siehe dort) des verwendeten Isolierstoffes (Dielektrikums) etwas frequenzabhängig sein.

Aus den genannten Gründen kann oft ab Frequenzen größer 20 kHz mit einem konstanten, reellen Leitungswellenwiderstand gerechnet werden. Dieser nur von der Leitungsgeometrie und dem Dielektrikum abhängige Leitungswellenwiderstandswert beträgt üblicherweise einige 10 Ω (Koaxialleitung z. B. 50…75 Ohm) bis einige 100 Ω (Zweidrahtleitung 150…300 Ohm). Er hat Bedeutung für alle hochfrequenten Signale und auch für die Übertragung steiler Impulse.

Leitungs- und Feldwellenwiderstände ausgewählter Leitungsformen[Bearbeiten]

In einer Leitung bestehen am gleichen Ort ein Leitungswellenwiderstand und auch ein Feldwellenwiderstand. Der eine kennzeichnet ein natürliches Strom-Spannungsverhältnis einer Welle, der andere kennzeichnet das natürliche Verhältnis zwischen elektrischem und magnetischem Feldanteil einer elektromagnetischen Welle. Der Feldwellenwiderstand in einer Leitung hängt nur vom Material ab, der Leitungswellenwiderstand von Material und Leitungsgeometrie. Beide Werte existieren am gleichen Ort in einer Leitung nebeneinander und nehmen im Allgemeinen völlig unterschiedliche Werte an, die allerdings über die Geometrie der Leitungsberandung zueinander in Beziehung stehen.

Der Leitungswellenwiderstand lässt sich aus der Geometrie des Leiters und der Permittivität seiner Isolierung berechnen. Der Leitungswellenwiderstand eines koaxialen Leiters (Koaxialkabel) beträgt bei hohen Frequenzen unter der Annahme μr = 1:

Asymmetrische Leitung
Z_{\rm l} = \frac{Z_{w0}}{2 \pi \cdot \sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot \ln \left(\frac{D}{d}\right)

mit der Permittivität εr des Isolationsmaterials und dem Wellenwiderstand des Vakuums Z_{w0}. Zwischen Innenleiter und Außenleiter derselben Koaxialleitung beträgt der Feldwellenwiderstand:

Z_{\rm w} = \sqrt \frac{\mu_0}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\rm r}}

Dieser Feldwellenwiderstand gilt für das transversal-elektromagnetische Feld innerhalb der Isolation der Koaxialleitung. Er ist nur materialabhängig und geometrieunabhängig. Der Leitungswellenwiderstand ist materialabhängig und hängt von der Geometrie der Leiterberandung ab. Über die Geometrie von Innen- und Außenleiter ist er mit dem Feldwellenwiderstand verknüpft.

Für die Zweidrahtleitung oder Lecherleitung gilt:

Symmetrische Leitung
Z_{\rm l}=\frac{120\,\Omega}{\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot{\rm arcosh}\left(\frac{a}{d}\right)

oder gleichwertig, aber unter Einbeziehung von μr:

Z_{\rm l} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 \mu_r}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}} \cdot {\rm arcosh} \left(\frac{a} {d} \right)

Der Feldwellenwiderstand nimmt die gleiche Form an, wie bei der koaxialen Leitung, weil er nicht von der Leitungsgeometrie, sondern auch hier nur vom Isolationsmaterial abhängt. Den Zusammenhang zwischen Zw und Zl zeigt folgende Form obiger Gleichung für die Zweidrahtleitung:

Z_{\rm l} = \frac{1}{\pi} Z_w \cdot {\rm arcosh} \left(\frac{a} {d} \right)

Standardwerte[Bearbeiten]

Übliche Koaxialkabel besitzen einen Leitungswellenwiderstand zwischen 50 und 75 Ω. Koaxiale Labormessleitungen besitzen üblicherweise einen Leitungswellenwiderstand von 50 Ω. Koaxiale Fernsehantennen- oder Kabelfernsehleitungen haben einen Leitungswellenwiderstand von 75 Ω. Ebenfalls üblich sind bei älteren Rundfunkempfangssystemen Zweidrahtleitungen als Antennenleitungen mit einem Wert von 240 Ω. Zweidrahtleitungen, geschirmt oder ungeschirmt, verdrillt oder parallel geführt, haben üblicherweise Leitungswellenwiderstände in der Größenordnung von 100 bis 200 Ω. Die Signaldämpfung einer Leitung hängt vom Dielektrikum zwischen den Leitern und dem Metallquerschnitt sowie dem gewählten Leitermaterial einer Leitung, aber auch vom Außendurchmesser einer koaxialen Leitung ab. Bei gegebener Frequenz erfolgt die Anpassung an andere Eingangsimpedanzwerte zum Beispiel mit Hilfe von Resonanztransformatoren.

Messung der Wellenimpedanz[Bearbeiten]

Elektrische Leitung[Bearbeiten]

Man kann die Wellenimpedanz (Leitungswellenwiderstand) ermitteln, indem man den Wechselstromwiderstand der offenen Leitung Z0 (Kondensator) und den Wechselstromwiderstand der kurzgeschlossenen Leitung Zk (Induktivität) misst und das geometrische Mittel beider Messwerte bildet. Der Leitungswellenwiderstand Zl beträgt dann:

Z_\mathrm{l} = \sqrt{Z_0 \cdot Z_{k}}

Anstelle der Bezeichnung Zl wird oft auch die Bezeichnung Zw (w für Welle) verwendet. Es sei nochmal darauf hingewiesen, dass dieses häufig zu Verwechslungen oder zum irrtümlichen Gleichsetzen der beiden verwandten, aber ungleichen Größen Leitungswellenwiderstand und Feldwellenwiderstand führt.

Alternativ bieten sich Zeitbereichsmessverfahren an. Hilfsmittel für die experimentelle Überprüfung sind Impulsgenerator und Oszilloskop, die auch in einem Zeitbereichsreflektometer (TDR) enthalten sind.

Bei einer dritten Methode wird (bei kurzgeschlossenem Ende) L und (bei offenem Ende) C eines kurzen Kabelstücks mit einer Wechselspannungsbrücke gemessen und der Leitungswellenwiderstand mit der Formel Z_\mathrm{l} = \sqrt{L/C} berechnet. Dieses Verfahrens liefert nur dann ein zuverlässiges Ergebnis, wenn die Länge des Kabelstück sehr viel kleiner ist als ein Viertel der Wellenlänge der Messfrequenz im Kabel.

Akustische Wellen im Freiraum (Schallwellen)[Bearbeiten]

In der Akustik entspricht die Schallkennimpedanz dem Feldwellenwiderstand in der Elektrodynamik - unter der Voraussetzung, dass keinerlei Begrenzungen vorhanden sind. Im Fernfeld sind Druck und Schnelle in Phase, deshalb ist die Schallkennimpedanz reellwertig und kann aus der Dichte ρ und der Schallgeschwindigkeit c des übertragenden Mediums berechnet werden:

Z_F = \rho \cdot c \,

Sie wird auch als Wellenwiderstand bezeichnet – als Analogie zum elektrischen Widerstand R = U / I, da die Spannung ähnlich wie der Schalldruck mit der Kraft zusammenhängt und die Schnelle mit einem Teilchenstrom. Ihre abgeleitete SI-Einheit ist Ns/m³ oder Pa · s/m oder kg/(s·m²). Im Nahfeld misst man einen Restphasenwinkel zwischen Schalldruck und Schallschnelle, deshalb ist ZF dann eine komplexe Zahl.

Medium Wellenwiderstand ZF in \frac{\rm kg}{\rm m^2 \cdot s}
Wasserstoff 110
Luft 413,5 bei 20 °C
Wasser 1,48 · 106 bei 0 °C
Quecksilber 19,7 · 106
Wolfram 104,2 · 106

Akustische Impedanz in der Umgebung von Wellenleitern[Bearbeiten]

Sobald sich die Welle in der Nähe einer Begrenzung aus anderem Material bewegt, ändert sich die Wellenimpedanz bereits in einigem Abstand zur Grenze. Der Übergangsbereich ist fließend und liegt in der Größenordnung einer Wellenlänge. Beispiele aus der Hochfrequenztechnik und Optik zeigen, dass die Wellenleiter nicht hohl sein müssen. Bei Evaneszenz und Goubau-Leitung ist die Richtung der Wellenausbreitung nicht mehr geradlinig, sondern erscheint gekrümmt.

Akustische Wellen im zylindrischen Rohr[Bearbeiten]

Breitet sich der Schall in Rohren aus, hemmt die Wand die Schallausbreitung, da sich die Wellenimpedanzen an der Grenzfläche meist stark unterscheiden. Man spricht dann nicht mehr von der akustischen Feldimpedanz, die Einflüsse von Begrenzungen ignoriert, sondern von der akustischen Flussimpedanz ZA. Diese ergibt sich aus dem Quotienten von Schalldruck p und Schallfluss q. Wenn alle Teilchen des Übertragungsmediums an einer Fläche A die gleiche Schallschnelle (Geschwindigkeit) v besitzen, d. h., wenn die rhythmische Durchströmung des Rohrquerschnitts A überall gleichphasig erfolgt und keine stehenden Wellen auftreten, lässt sich die Gleichung vereinfachen

Z_{A} = \frac {p} {q} = \frac{p}{v \cdot A}

Die abgeleitete SI-Einheit ist Pa · s/m³.

Akustische Wellen bei variablem Querschnitt[Bearbeiten]

Akustischer Impedanztransformator eines Grammophons
Verschiedene Mensurtypen bei Blechblasinstrumenten: 1-weitmensuriert; 2-engmensuriert
Madame de Meuron mit Hörrohr

Für den Fall, dass der Schall nicht durch einen Zylinder, sondern durch einen Trichter geleitet wird, gilt die obige Formel nicht. Mit der Querschnittsfläche des Schallkanals ändert sich die Wellenimpedanz, man spricht von einem Impedanztransformator. Hornlautsprecher, Sprachrohr, Trompete und Makrofon transformieren den Schalldruck sehr effektiv in Schallschnelle, um die Lautstärke deutlich anzuheben. Ein Phonograph kann ohne Schalltrichter keine nennenswerte Lautstärke erzeugen: Die Tonabnehmernadel bewegt die Membran eines Druckkammerlautsprechers, der für sich allein viel zu leise wäre. Auch bei elektromagnetischen Wellen transformiert ein Hornstrahler die Wellenimpedanz eines Hohlleiters an Feldimpedanz Zw0 des Freiraums. Ohne diesen Transformator würde kaum Energie abgestrahlt, stattdessen würde sich im Hohlleiter eine stehende Welle bilden. (siehe auch Vivaldi-Antenne)

Bei Blechblasinstrumenten beeinflusst die Schalltrichterform einige Eigenschaften:

  • Flache, engmensurierte Trichter geben relativ wenig Schallenergie an die Umgebungsluft ab, gleichzeitig wird dadurch mehr Energie ins Instrument reflektiert. Das unterstützt die Bildung der stehenden Welle, wodurch diese Instrumente sehr leicht ansprechen.
  • Instrumente mit weitmensurierten Trichtern klingen lauter, weil die Impedanztransformation gleichmäßer erfolgt. Dadurch verringert sich aber gleichzeitig die reflektierte Energie zur Bildung der stehende Welle und das Instrument spricht relativ schwer an.

Die Impedanztransformation funktioniert auch in umgekehrter Richtung: Ein Hörrohr, früher Schallstrahlenfänger genannt, kann Schallwellen sammeln und auf das Trommelfell konzentrieren.

Reflexionen an Grenzflächen[Bearbeiten]

Im 2D-Sonogramm eines Menschenfetus erkennt man nur Grenzflächen mit hohem Impedanzunterschied

An der Grenzfläche zweier Stoffe mit großem Impedanzunterschied wird der Schall stark reflektiert. Dieser Unterschied ist zwischen Luft und z. B. Wasser besonders stark ausgeprägt. Deshalb wird bei einer Ultraschalluntersuchung die Sonde immer mittels eines stark wasserhaltigen Gels angekoppelt, damit der Schall nicht von Lufteinschlüssen zwischen dem Sondenkopf und der Hautoberfläche reflektiert wird. Im Körperinneren sind dagegen Impedanzunterschiede erwünscht, um kontrastreiche Bilder zu erhalten.

Beleuchtete Gegenstände können nur dann gesehen werden, wenn Lichtwellen an einem Impedanzunterschied ausreichend stark reflektiert werden. Das kann bei Glastüren zu unerwünschten Zusammenstößen führen, bei Einwegspiegeln wird dagegen das Reflexionsvermögen durch aufgedampfte Schichten erhöht, um eine Undurchsichtigkeit vorzutäuschen.

Ändert sich der Querschnitt eines Schallkanals nicht langsam genug, wirkt das Rohrende als Unstetigkeitsstelle, die einen Teil der Schallenergie reflektiert und in entgegengesetzte Richtung laufen lässt. Bei gewissen Rohrlängen kann es stehende Wellen geben und als Folge davon ändert sich die akustischen Flussimpedanz in Abhängigkeit von der Frequenz etwa um das Tausendfache, wie im Bild gezeigt wird. Das ist die Funktionsgrundlage aller Blasinstrumente. Genau genommen muss man wie in der Leitungstheorie wegen der auftretenden Phasenverschiebungen mit komplexen Zahlen rechnen. Darauf wird hier der Übersichtlichkeit wegen verzichtet.

Akustik: Luftgefülltes Rohr[Bearbeiten]

Betrag der akustischen Flussimpedanz eines luftgefüllten kurzen, dünnen Rohres als Funktion der Frequenz. Einheit der vertikalen Skala ist Pa·s/m³

Misst man am Ende eines beiderseits offenen, zylindrischen Rohres mit geeigneten Mikrophonen Schalldruck und Schallschnelle, kann man bei Kenntnis des Rohrquerschnitts die Flussimpedanz mit der Formel

Z_{A} = \frac{p}{v \cdot A}

berechnen. Da beide Enden offen sind, handelt es sich um den Sonderfall λ/2, der bei der Berechnung elektromagnetischer Wellen entlang Drähten wohlbekannt ist. Das Messergebnis im Bild zeigt mehrere scharfe Minima der Flussimpedanz bei Vielfachen der Frequenz 500 Hz. Eine Überprüfung mit der Rohrlänge von 325 mm und der Schallgeschwindigkeit in Luft ergibt den Sollwert 528 Hz.

Weil der Messwert des tiefsten lokalen Minimums mit etwa 40000 Pa·s/m³ von der Schallkennimpedanz der umgebenden Luft (413,5 Pa·s/m³) abweicht, liegt eine erhebliche Fehlanpassung vor und die schwingende Luftsäule im Rohr ist nur leise hörbar. Es ist Aufgabe der Rohraufweitungen bei Blasinstrumenten wie der Trompete, diese Fehlanpassung zu verringern und so die Lautstärke zu erhöhen. Eine entsprechende Fehlanpassung ist auch die Ursache für den sehr geringen Wirkungsgrad von Lautsprechern, der durch ein ausreichend großes Horn gesteigert werden kann.

Reflexionen durch Änderungen der Wellenimpedanz[Bearbeiten]

An den Stellen, an denen sich der Wellenwiderstand ändert, kommt es zu Reflexionen. Die Extremfälle solcher Änderungen des Wellenwiderstandes sind offene und geschlossene Enden. Hierzu lassen sich folgende Analogien finden:

Art der Welle Offenes Ende Geschlossenes Ende
Elektromagn. Welle im Kabel nicht verbunden kurzgeschlossen
Hohlleiter endet offen leitfähig verschlossen
Schwingendes Seil/Saite Ende hängt frei Ende ist an einer Mauer befestigt
Schall im Rohr Ende offen Deckel/Stopfen

In den genannten Fällen findet eine nahezu vollständige Reflexion statt. Der offene Hohlleiter strahlt allerdings einen Teil der elektromagnetischen Welle ab. Beim Kurzschluss einer Leitung wechselt der Spannungsanteil der reflektierten Welle auf einer Leitung das Vorzeichen (auch Phasensprung oder 180° Phasendrehung genannt). Bei einer elektromagnetischen Welle, die senkrecht auf eine leitfähige Schicht trifft, ist dieses für den elektrischen Feldanteil der Fall. Die reflektierte Welle läuft dann der jeweils einfallenden Welle entgegen. Reflexionen (z. B. an den Enden einer Leitung) sind Ursache stehender Wellen.

Beispiele für abgeschwächte Reflexion[Bearbeiten]

Teilweise Reflexion und Transmission eines Impulses an einer Trennfläche unterschiedlicher Wellenimpedanzen.
Akustische Welle
  • Eine Schallwelle trifft auf einen weichen Karton.
Elektromagnetische Welle
  • Inhomogenitäten in Koaxialleitungen, v. a. übergangslose Änderung des Wellenwiderstandes an Verbindungsstellen.
  • Licht trifft auf eine schmutzige Glasscheibe.
  • Radarwellen treffen auf eine Wolke.
Mechanische Welle
  • Das Ende eines zum Schwingen angeregten Seiles ist mit Gewichten beschwert oder mit einer Feder an einem festen Punkt befestigt.
  • Eine Wasserwelle trifft auf Tetrapoden.

Beispiele für vollständige Reflexion[Bearbeiten]

Bei einem Medium ohne Dispersion pendelt ein Impuls zwischen zwei Reflektoren
Akustische Welle
  • Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf eine harte Wand (Echo).
Elektromagnetische Welle
  • Ein Koaxialkabel wird am Ende kurzgeschlossen oder offen gelassen.
  • Eine elektromagnetische Welle trifft auf eine ausgedehnte elektrisch ideal leitende Fläche (vgl. Radarquerschnitt).
  • Licht trifft auf einen Spiegel.
Mechanische Welle
  • Ein einseitig befestigtes Seil wird zu Schwingungen angeregt.
  • Eine Wasserwelle schlägt an eine Kliffküste.

Beispiele reflexionsfreier Abschlüsse[Bearbeiten]

Wandoberfläche zur Absorption von Funkwellen
Rasterelektronenmikroskopische Aufnahme des Facettenauges einer Taufliege

Völlige Reflexionsfreiheit erreicht man nur bei exakter Übereinstimmung der Wellenimpedanzen auf beiden Seiten der Grenzfläche. Den Mangel an geeigneten Materialien kann man durch geeignete Formgebung kompensieren, wie in den Bildern zu sehen ist.

Akustische Welle
Elektromagnetische Welle
  • Der Quellwiderstand eines Senders stimmt mit dem Leitungswellenwiderstand des Kabels (z. B. 50 Ω) und der Eingangsimpedanz einer Antenne oder Ersatzlast überein (siehe Leitungsanpassung).
  • Antireflexbeschichtung optischer Bauteile.
  • Ein Wellensumpf schwächt die hochfrequente Welle in einem Hohlleiter durch ein absorbierendes Material und reflektiert nur einen geringen Anteil.
  • Licht trifft auf eine mattschwarze Fläche.
Mechanische Welle
  • Eine Wasserwelle läuft auf eine Flachküste mit korrektem Anstiegswinkel.

Literatur[Bearbeiten]

  •  K. Küpfmüller und G. Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung. 16. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-20792-9.
  •  Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis, 1985, ISBN 3-7723-7911-7.
  •  Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 10. Auflage. Barth Verlagsgesellschaft, 1993, ISBN 3-335-00375-6, S. 545–671.
  •  H.-G. Unger: Kleines Lehrbuch der Elektrotechnik, Band IX: Theorie der Leitungen. Friedr. Vieweg & Sohn GmbH, 1967, Best. Nr. 4819.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Prof. Dr. Klaus Wille: Elektronik. Abgerufen am 6. Dezember 2012 (PDF; 3,1 MB, deutsch).
  2. Karl Küpfmüller: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage, Springer-Verlag, ISBN 3-540-56500-0, S. 453–496 (5. Kapitel: Leitungen und Kettenleiter).
  3.  Peter Vielhauer: Theorie der Übertragung auf elektrischen Leitungen. Verlag Technik, Berlin 1970, DNB 458535036.