Wellenwiderstand

Der Wellenwiderstand, auch die Wellenimpedanz oder die Impedanz ist eine Eigenschaft eines Mediums, in dem sich eine Welle ausbreitet. Das Verhältnis von reflektierter und transmittierter Amplitude der Welle an einer Grenzfläche wird durch die Wellenwiderstände der beiden Medien bestimmt.

Man kann sich diesen Widerstand anschaulich etwa als die Steifigkeit bzw. Härte oder Weichheit vorstellen, die das Medium der sich ausbreitenden Welle entgegensetzt. Dadurch stehen z. B. Kraft und Bewegung (bei akustischen bzw. mechanischen Wellen), Spannung und Strom (bei Wellen auf elektrischen Leitungen) oder elektrischer und magnetischer Feldanteil (bei elektromagnetischen Feldwellen) in einem bestimmten Verhältnis zueinander.

Elektromagnetische Wellen im freien Raum

Feldwellenwiderstand

In der Elektrodynamik ist Feldwellenwiderstand – engl. wave impedance – das Verhältnis zwischen elektrischem und magnetischem Feldanteil einer sich transversal ausbreitenden elektromagnetischen Welle im Freiraum, weit entfernt von Metallflächen. Der Feldwellenwiderstand wird aus der Quadratwurzel des Quotienten gebildet, der sich aus der im Allgemeinen komplexen Permeabilität μ, der im Allgemeinen komplexen Permittivität ε und der elektrischen Leitfähigkeit σ zusammensetzt. Er ist allgemein eine komplexe Größe. Für das Material, durch das sich die Welle bewegt, erhält man den Feldwellenwiderstand aus:

$\underline Z_\mathrm{w} = \sqrt {j \omega \underline \mu \over \sigma + j \omega \underline \varepsilon}$

Darin bezeichnet ω die Kreisfrequenz. Sofern die Welle sich nicht in elektrisch leitendem Material ausbreitet, d.h. falls σ = 0 ist, gilt:

$\underline Z_\mathrm{w}=\sqrt{\frac{\underline \mu}{\underline \varepsilon}}=\sqrt{\frac{\mu_0 \underline \mu_\mathrm{r}}{\varepsilon_0 \underline \varepsilon_\mathrm{r}}}$

Der Wellenwiderstand einer elektromagnetische Welle im Vakuum ist eine Naturkonstante. Er ist rein reell. Sein Wert beträgt:

$Z_\mathrm{w0} = \sqrt \frac{\mu_0}{\varepsilon_0} \approx 120 \pi~\Omega \approx 376{,}73~\Omega$.

Für die in der Funktechnik wichtigen Frequenzen unterscheidet sich der Wellenwiderstand der Luft nur wenig von diesem Wert.

Der Feldwellenwiderstand ist nicht gleich dem aus der Leitungstheorie bekannten Leitungswellenwiderstand, mit dem er häufig verwechselt wird.

Strom- und Spannungswellen auf Leitungen

Leitungswellenwiderstand

Der Leitungswellenwiderstand (englisch characteristic impedance) ist eine Kenngröße längshomogener Leitungen; dazu gehören z. B. Kabel oder Einzeldrahtanordnungen, die aus wenigstens zwei elektrischen Leitern bestehen. Die Wellenimpedanz eines Hohlleiters wird hier nicht betrachtet. Der Leitungswellenwiderstand beschreibt das Verhältnis sich in eine gemeinsame Richtung ausbreitender Strom- und Spannungswellen zueinander. In einer elektrischen Leitung sind der Leitungswellenwiderstand Z_l und der Feldwellenwiderstand Z_w über die Geometrie der Leitungsberandung miteinander verknüpft. Oft wird der Leitungswellenwiderstand auch Kabelimpedanz oder Nennimpedanz einer Leitung genannt. Hier wird der in der Lehre gängige Begriff Leitungswellenwiderstand verwendet. Der Leitungswellenwiderstand und seine Änderung entlang einer Leitung beeinflusst das Signalausbreitungsverhalten besonders, wenn die übertragenen Signale hochfrequent sind im Vergleich zum Kehrwert der Signallaufzeit auf der Leitung oder wenn die Signale hochfrequente Anteile enthalten.

Das ist z. B. der Fall für

• hohe Frequenzen (z. B. HF-Signale oder steilflankige Signale auf beliebigen Leitungen)
• lange Leitungen (z. B. 50-Hz-Hochspannungsleitungen über Kontinente hinweg)
• Schaltvorgänge auf Leitungen

Der Leitungswellenwiderstand homogener Hochfrequenzleitungen ist oft eine reelle Größe (z. B. 50 Ω bei gängigen Koaxialkabeln). Der Leitungswellenwiderstand ist unabhängig von der Leitungslänge, jedoch ist er in der Regel leicht frequenzabhängig (Dispersion). Die Frequenzabhängigkeit wird durch das Dielektrikum des Kabels hervorgerufen und muss bei Breitband-Signalübertragungen berücksichtigt werden. Der Leitungswellenwiderstand ist nicht zu verwechseln mit dem ohmschen Leitungswiderstand, der die (Wärme-)Verluste beschreibt, wenn die Leitung von einem Strom durchflossen wird. Vielmehr kann man sich den Leitungswellenwiderstand als Eingangswiderstand einer endlos langen, homogenen Leitung vorstellen, also einer Leitung, an deren Ende keine Signalreflexion stattfindet.

Der Leitungswellenwiderstand, der Leitungsabschluss und die Eingangsimpedanz einer Leitung

Den Leitungswellenwiderstand gibt es nicht im Sinne eines Bauteils. Der Sprachgebrauch „mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen“ bedeutet, dass am Ende der Leitung ein Abschlusswiderstand mit dem Widerstandswert des Leitungswellenwiderstandes angeschlossen ist. Das kann bei hohen Frequenzen ein ohmscher Widerstand sein, da dann der Wellenwiderstand der Leitung reell ist. Ist die Leitung nicht mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossen, variiert die Eingangsimpedanz der Leitung allgemein in Abhängigkeit von Leitungslänge, Betriebsfrequenz, Abschlussimpedanz und Leitungswellenwiderstand. Bei einer sogenannten RC-Leitung, die bei Niederfrequenz betrieben wird, wird der Leitungswellenwiderstand komplexwertig. In diesem Fall ist auch der Eingangswiderstand einer Leitung bei Anpassung, d. h. Leitungsabschluss mit einer Schaltung aus Widerstand (R) und Kapazität (C) komplexwertig. Die Übereinstimmung der Impedanzen von Quelle, Last und Leitungswellenwiderstand ist fast immer erwünscht. Störende Reflexionen oder Echos werden vermieden und die Signalübertragung erfolgt unter geringstmöglichen Verlusten. Die Eingangsimpedanz einer mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossenen Leitung nimmt den Wert des Leitungswellenwiderstands an.

	Darstellung einer am Ende leerlaufenden Koaxialleitung. Ankommende Spannungspulse werden gleichphasig reflektiert, Strompulse in Gegenphase. Am Leitungsende stellt sich der Gesamtstrom aus hin- und rücklaufender Welle I=0 ein.
	Darstellung einer am Ende kurzgeschlossenen Koaxialleitung. Ankommende Spannungspulse werden gegenphasig reflektiert, Strompulse mit gleicher Phase. Am Leitungsende stellt sich der Gesamtstrom aus hin- und rücklaufender Stromwelle I=2·I(hinlaufende Welle) ein.
	Darstellung einer mit einer Impedanz oder einer reflexionsfrei mit ihrem Leitungswellenwiderstand abgeschlossenen Koaxialleitung. Ankommende Strom- oder Spannungspulse werden nicht reflektiert, wenn der Abschlusswiderstand den Wert des Leitungswellenwiderstands besitzt. Bei anderen Werten entspricht das Verhältnis zwischen hin- und rücklaufender Welle dem Reflexionsfaktor

Der Leitungsabschluss bei Spannungspulsen

Impulse bei offenem Kabelende. Die Impulse werden gleichphasig reflektiert, werden aber immer schwächer (Kabelverluste).

Beaufschlagt man eine homogene Leitung, die am Ausgang nicht mit dem Wellenwiderstand abgeschlossen ist, mit einem Spannungsimpuls, entsteht am Ort der Abschlussimpedanz eine Reflexion – vergleichbar einem akustischen Echo. Durch die Fehlanpassung wird ein vom Leitungswellenwiderstand abweichendes Spannungs-Stromverhältnis erzwungen, das die anteilige Reflexion der ankommenden Welle bewirkt. Der reflektierte Pulsanteil hängt vom Grad der Fehlanpassung ab. Er läuft dem ankommenden Spannungspuls entgegen. Entspricht die Quellimpedanz der Signalquelle nicht dem Wellenwiderstand der Leitung, wird das Signal an der Quellimpedanz ebenfalls als Echo reflektiert. Der Impuls läuft dann mehrmals hin- und zurück, bis seine Energie in Wärme umgewandelt ist (siehe auch Zeitbereichsreflektometrie).

Eine mit ihrem Wellenwiderstand abgeschlossene Leitung (rechtes Bild) unterbindet die Reflexion von Spannungspulsen, soweit die Impedanz am Leitungsabschluss über das gesamte Frequenzspektrum des Pulses mit dem Leitungswellenwiderstand übereinstimmt.

Ersatzschaltbild einer elektrischen Leitung

Impulse bei kurzgeschlossenem Kabel. Die Impulse werden gegenphasig reflektiert, werden aber immer schwächer (Kabelverluste).

Impulse bei richtig belastetem Kabel. Die Impulsenergie wird im korrekten Abschlusswiderstand R = Z₀ in Wärme umgewandelt. Bei abweichendem Wert wird ein Teil reflektiert.

Die linke Abbildung zeigt das Ersatzschaltbild eines Leitungsabschnitts der infinitesimalen Länge dx. Die darin enthaltenen Größen sind die auf die Länge bezogene Beläge: Der Induktivitätsbelag L′, der Kapazitätsbelag C′, der Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′. Für sinusförmige Signale lassen sich mit den komplexen Amplituden von Spannung U und Strom I auf der Leitung mit dieser Ersatzschaltung die beiden Differentialgleichungen der homogenen Leitung bestimmen:

$\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x} = -(R' + j\omega L') I$

$\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -(G' + j\omega C') U$

(j ist hier die imaginäre Einheit.)

Im folgenden wird aus der Lösung des Differentialgleichungssystems der Leitungswellenwiderstand mit der Abkürzung Z_l definiert.

Definition des Leitungswellenwiderstandes bei der allgemeinen Lösung der Leitungsgleichungen

Differenziert man obige erste Leitungsgleichung nach x und setzt dann den Ausdruck für dI/dx aus der zweiten Gleichung ein, erhält man folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung

$\frac{\mathrm{d}^2U}{\mathrm{d}x^2} = (R' + j\omega L')(G' + j\omega C') U$

die durch einen Lösungsansatz der Form

U = e^γx

gelöst werden kann. Durch Einsetzen des Ansatzes und Koeffizientenvergleich lässt sich γ bestimmen:

$\gamma = \sqrt{(R' + j\omega L')(G' + j\omega C')}$

Wegen der dabei auftretenden quadratischen Gleichung kann γ sowohl mit positiven als auch mit negativen Vorzeichen verwendet werden. Diese zwei Lösungen für den Ansatz können (mit zwei Konstanten versehen) linear überlagert werden. Sie ergeben die sogenannte „allgemeine Lösung“ für die Spannung U im Abstand x vom Leitungsanfang

$U = a_1 e^{-\gamma x} + a_2 e^{\gamma x} \,$

mit den von den Randbedingungen abhängigen Koeffizienten a₁ und a₂. Der komplexe Parameter γ wird Fortpflanzungskonstante oder auch Ausbreitungskonstante genannt. Sie ist im Allgemeinen von der Frequenz abhängig und nur wenn für die Leitung die Heaviside-Bedingung erfüllt ist, ist ihr Realteil konstant und der Imaginärteil linear von der Frequenz abhängig.

Die Stromstärke an der Stelle x der Leitung lässt sich aus den Leitungsgleichungen bestimmen:

$I = - \frac{1}{R' + j \omega L'} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}$

Durch Einsetzen der obigen allgemeinen Lösung für den Spannungsverlauf U(x,ω) ergibt sich für den Stromverlauf I(x,ω) entlang der Leitung in Abhängigkeit von der Frequenz ω:

$I = - \frac{1}{R' + j \omega L'} (-a_1 \gamma e^{-\gamma x} + a_2 \gamma e^{\gamma x}) = \sqrt{\frac{G' + j \omega C'}{R' + j \omega L'}} (a_1 e^{-\gamma x} - a_2 e^{\gamma x}) = \frac{a_1}{Z_l} e^{-\gamma x} - \frac{a_2}{Z_l} e^{\gamma x}$

Der darin auftretende Parameter Z_l heißt Leitungswellenwiderstand:

$Z_l = \sqrt{\frac{R' + j\omega L'}{G' + j\omega C'}}$

Eine Berechnung der Leitungsbeläge entsprechend der Leitergeometrie und Einsetzen in die allgemeine Form des Leitungswellenwiderstands zeigt: Je enger die Leiter beieinander liegen, und je größer der Leiterquerschnitt ist, desto geringer ist der Leitungswellenwiderstand.

Frequenzabhängigkeit des Leitungswellenwiderstandes

Der Wellenwiderstand einer homogenen elektrischen Leitung ist nach obiger Gleichung im Allgemeinen komplex und frequenzabhängig. Im folgenden werden gängige, technisch zulässige Vereinfachungen für Gleichstrom, niedrige und hohe Signalfrequenzen erläutert. Die Vereinfachungen können an sich frequenzunabhängig sein. Der Leitungswellenwiderstand ist es nicht. Das Diagramm in diesem Abschnitt dient der Illustration dieser Frequenzabghängigkeit. Es zeigt die in den folgenden Unterkapiteln beschriebenen Frequenzabhängigkeiten am Beispiel des Leitungswellenwiderstands einer Drehstrom-Freileitung für 110 kV.

Der Leitungswellenwiderstand bei Gleichstrom

Bei Gleichstrom (0 Hz) verschwinden die beiden frequenzabhängigen Terme, der Imaginärteil des Leitungswellenwiderstandes wird 0, und der relativ kleine Ableitungsbelag G′ dominiert den Bruch unter der Wurzel der allgemeinen Form des Leitungswellenwiderstandes. Daher wird der Leitungswellenwiderstand bei der Frequenz 0 Hz sehr groß und reell. Im Idealfall, d.h. für G′ = 0, wäre der Leitungswellenwiderstand unendlich. Typische realistische Werte des Leitungswellenwiderstandes für Gleichstrom liegen zwischen ungefähr 100 kOhm und einigen 10 MOhm. Er wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{R'}{G'}}$

Eine mögliche Anwendung dieser Form des Leitungswellenwiderstands ist die Bestimmung des Eingangswiderstands einer Leitung im Gleichstrombetrieb nach den Gleichungen der Leitungstheorie.

Der Leitungswellenwiderstand bei niedrigen Frequenzen

→Bedeutung des Wellenwiderstandes in der Energietechnik siehe: Natürliche Leistung

Verlauf des Leitungswellenwiderstandes über der Kreisfrequenz ω. Dargestellt ist, getrennt nach Real- und Imaginärteil, der Leitungswellenwiderstand einer Freileitung mit den Parametern: R' = 0,1 Ω/km, L' = 1 mH/km, C' = 11 nF/km, G'=0,1 µS/km. Für hohe Frequenzen wird der Leitungswellenwiderstand näherungsweise reell und nähert sich in diesem Fall einem Wert von 301 Ω. Der Leitungswellenwiderstand bestimmt u. a. die natürliche Leistung einer Freileitung.

Bei niedrigen Frequenzen können L′ und G′ in erster Näherung vernachlässigt werden, sodass der Leitungswellenwiderstand

$Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{R'}{j\omega C'}}$

beträgt. Die Gleichung wird z. B. angewendet, um die Werte von Widerstand und Kondensator des Leitungsabschlusses (der Gabelschaltung) in analogen Telefonen zu bestimmen. Bei richtiger Wahl der Werte werden Reflexionen verhindert, die sich als störende Echos äußern würden. In dem Beispiel ist die Telefonleitung reflexionsfrei mit ihrem Leitungswellenwiderstand abgeschlossen. Reflexionen am Leitungsende entstehen nicht. Dispersion entsteht aufgrund der Frequenzabhängigkeit des Leitungswellenwiderstands gerade im niedrigen Frequenzspektrum, auch wenn Wellenwiderstand und Abschlussimpedanz übereinstimmen und folglich die Eingangsimpedanz den Wert des Leitungswellenwiderstands annimmt.

Der Leitungswellenwiderstand bei hohen und sehr hohen Frequenzen

Der Leitungswellenwiderstand nähert sich für hohe und sehr hohe Frequenzen einem frequenzunabhängigen, reellen Wert, d. h. der imaginäre Anteil wird 0. Als hohe Frequenzen gelten diejenigen, ab denen der ohmsche Widerstandsbelag R′ und der Ableitungsbelag G′ gegenüber den frequenzabhängigen Termen des kapazitiven und induktiven Belags jωC′ bzw. jωL′ der Leitung vernachlässigt werden können. Dann kann man in der allgemeinen Gleichung für den Leitungswellenwiderstand R′ und G′ durch Null ersetzen, und der Bruch innerhalb der Wurzel lässt sich anschließend um jω kürzen. Bei sehr hohen Frequenzen in der Größenordnung von GHz steigen zwar R′ aufgrund des Skineffektes und G′ aufgrund des dielektrischen Verlustfaktors an, aber auch dann haben Widerstandsbelag R′ und Ableitungsbelag G′ eine immer noch untergeordnete Auswirkung auf den Leitungswellenwiderstand. Der Leitungswellenwiderstand ergibt sich für hohe und sehr hohe Frequenzen angenähert aus kapazitivem und induktivem Leitungsbelag:

$Z_\mathrm{l} = \sqrt{\frac{L'}{C'}}$

Oft kann ab Frequenzen größer 20 kHz mit einem konstanten, reellen Leitungswellenwiderstand gerechnet werden.
Der Leitungswellenwiderstandswert beträgt dann, abhängig von der Leitungsanordnung, üblicherweise einige 10 Ω bis einige 100 Ω.

Leitungs- und Feldwellenwiderstände ausgewählter Leitungsformen

In einer Leitung bestehen am gleichen Ort ein Leitungswellenwiderstand und auch ein Feldwellenwiderstand. Der eine kennzeichnet ein natürliches Strom-Spannungsverhältnis einer Welle, der andere kennzeichnet das natürliche Verhältnis zwischen elektrischem und magnetischem Feldanteil einer elektromagnetischen Welle. Der Feldwellenwiderstand in einer Leitung hängt nur vom Material ab, der Leitungswellenwiderstand von Material und Leitungsgeometrie. Beide Werte existieren am gleichen Ort in einer Leitung nebeneinander und nehmen im Allgemeinen völlig unterschiedliche Werte an, die allerdings über die Geometrie der Leitungsberandung zueinander in Beziehung stehen.

Der Leitungswellenwiderstand lässt sich aus der Geometrie des Leiters und der Permittivität seiner Isolierung berechnen. Der Leitungswellenwiderstand eines koaxialen Leiters (Koaxialkabel) beträgt bei hohen Frequenzen unter der Annahme μ_r = 1:

Asymmetrische Leitung

$Z_{\rm l} = \frac{Z_{w0}}{2 \pi \cdot \sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot \ln \left(\frac{D}{d}\right)$

mit der Permittivität ε_r des Isolationsmaterials und dem Wellenwiderstand des Vakuums Z₀. Zwischen Innenleiter und Außenleiter derselben Koaxialleitung beträgt der Feldwellenwiderstand:

$Z_{\rm w} = \sqrt \frac{\mu_0}{\varepsilon_0 \varepsilon_{\rm r}}$

Dieser Feldwellenwiderstand gilt für das transversal-elektromagnetische Feld innerhalb der Isolation der Koaxialleitung. Er ist nur materialabhängig und geometrieunabhängig. Der Leitungswellenwiderstand ist materialabhängig und hängt von der Geometrie der Leiterberandung ab. Über die Geometrie von Innen- und Außenleiter ist er mit dem Feldwellenwiderstand verknüpft.

Für die Zweidrahtleitung oder Lecherleitung gilt:

Symmetrische Leitung

$Z_{\rm l}=\frac{120\,\Omega}{\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}}\cdot{\rm arcosh}\left(\frac{a}{d}\right)$

oder gleichwertig, aber unter Einbeziehung von μ_r:

$Z_{\rm l} = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{\mu_0 \mu_r}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}} \cdot {\rm arcosh} \left(\frac{a} {d} \right)$

Der Feldwellenwiderstand nimmt die gleiche Form an, wie bei der koaxialen Leitung, weil er nicht von der Leitungsgeometrie, sondern auch hier nur vom Isolationsmaterial abhängt. Den Zusammenhang zwischen Z_w und Z_l zeigt folgende Form obiger Gleichung für die Zweidrahtleitung:

$Z_{\rm l} = \frac{1}{\pi} Z_w \cdot {\rm arcosh} \left(\frac{a} {d} \right)$

Standardwerte

Übliche Koaxialkabel besitzen einen Leitungswellenwiderstand zwischen 50 und 75 Ω. Koaxiale Labormessleitungen besitzen üblicherweise einen Leitungswellenwiderstand von 50 Ω. Koaxiale Fernsehantennen- oder Kabelfernsehleitungen haben einen Leitungswellenwiderstand von 75 Ω. Ebenfalls üblich sind bei älteren Rundfunkempfangssystemen Zweidrahtleitungen als Antennenleitungen mit einem Wert von 240 Ω. Zweidrahtleitungen, geschirmt oder ungeschirmt, verdrillt oder parallel geführt, haben üblicherweise Leitungswellenwiderstände in der Größenordnung von 100 bis 200 Ω. Die Signaldämpfung einer Leitung hängt vom Dielektrikum zwischen den Leitern und dem Metallquerschnitt sowie dem gewählten Leitermaterial einer Leitung, aber auch vom Außendurchmesser einer koaxialen Leitung ab. Bei gegebener Frequenz erfolgt die Anpassung an andere Eingangsimpedanzwerte zum Beispiel mit Hilfe von Resonanztransformatoren.

Messung der Wellenimpedanz

Elektrische Leitung

Man kann die Wellenimpedanz (Leitungswellenwiderstand) ermitteln, indem man den Wechselstromwiderstand der offenen Leitung Z₀ (Kondensator) und den Wechselstromwiderstand der kurzgeschlossenen Leitung Z_k (Induktivität) misst und das geometrische Mittel beider Messwerte bildet. Der Leitungswellenwiderstand Z_l beträgt dann:

$Z_\mathrm{l} = \sqrt{Z_0 \cdot Z_{k}}$

Anstelle der Bezeichnung Z_l wird oft auch die Bezeichnung Z_w (w für Welle) verwendet. Es sei nochmal darauf hingewiesen, dass dieses häufig zu Verwechslungen oder zum irrtümlichen Gleichsetzen der beiden verwandten, aber ungleichen Größen Leitungswellenwiderstand und Feldwellenwiderstand führt.

Alternativ bieten sich Zeitbereichsmessverfahren an. Hilfsmittel für die experimentelle Überprüfung sind Impulsgenerator und Oszilloskop, die auch in einem Zeitbereichsreflektometer (TDR) enthalten sind.

Bei einer dritten Methode wird (bei kurzgeschlossenem Ende) L und (bei offenem Ende) C eines kurzen Kabelstücks mit einer Wechselspannungsbrücke gemessen und der Leitungswellenwiderstand mit der Formel $Z_\mathrm{l} = \sqrt{L/C}$ berechnet. Dieses Verfahrens liefert nur dann ein zuverlässiges Ergebnis, wenn die Länge des Kabelstück sehr viel kleiner ist als ein Viertel der Wellenlänge der Messfrequenz im Kabel.

Akustische Wellen im Freiraum (Schallwellen)

In der Akustik entspricht die Schallkennimpedanz dem Feldwellenwiderstand in der Elektrodynamik - unter der Voraussetzung, dass keinerlei Begrenzungen vorhanden sind. Im Fernfeld sind Druck und Schnelle in Phase, deshalb ist die Schallkennimpedanz reellwertig und kann aus der Dichte ρ und der Schallgeschwindigkeit c des übertragenden Mediums berechnet werden:

$Z_F = \rho \cdot c \,$

Sie wird auch als Wellenwiderstand bezeichnet – als Analogie zum elektrischen Widerstand R = U / I, da die Spannung ähnlich wie der Schalldruck mit der Kraft zusammenhängt und die Schnelle mit einem Teilchenstrom. Ihre abgeleitete SI-Einheit ist Ns/m³ oder Pa · s/m oder kg/(s·m²). Im Nahfeld misst man einen Restphasenwinkel zwischen Schalldruck und Schallschnelle, deshalb ist Z_F dann eine komplex Zahl.

Medium	Wellenwiderstand ZF in $\frac{\rm kg}{\rm m^2 \cdot s}$
Wasserstoff	110
Luft	413,5 bei 20 °C
Wasser	1,48 · 106 bei 0 °C
Quecksilber	19,7 · 106
Wolfram	104,2 · 106

Akustische Impedanz in der Umgebung von Wellenleitern

Sobald sich die Welle in der Nähe einer Begrenzung aus anderem Material bewegt, ändert sich die Wellenimpedanz bereits in einigem Abstand zur Grenze. Der Übergangsbereich ist fließend und liegt in der Größenordnung einer Wellenlänge. Beispiele aus der Hochfrequenztechnik und Optik zeigen, dass die Wellenleiter nicht hohl sein müssen. Bei Evaneszenz und Goubau-Leitung ist die Richtung der Wellenausbreitung nicht mehr geradlinig, sondern erscheint gekrümmt.

Akustische Wellen im zylindrischen Rohr

Betrag der akustischen Flussimpedanz eines luftgefüllten kurzen, dünnen Rohres als Funktion der Frequenz. Es treten Mehrfachresonanzen auf.

Breitet sich der Schall in Rohren aus, hemmt die Wand die Schallausbreitung, da sich die Wellenimpedanzen an der Grenzfläche meist stark unterscheiden. Man spricht dann nicht mehr von der akustischen Feldimpedanz, die Einflüsse von Begrenzungen ignoriert, sondern von der akustischen Flussimpedanz Z_A. Diese ergibt sich aus dem Quotienten von Schalldruck p und Schallfluss q. Wenn alle Teilchen des Übertragungsmediums an einer Fläche A die gleiche Schallschnelle (Geschwindigkeit) v besitzen, d. h., wenn die rhythmische Durchströmung des Rohrquerschnitts A überall gleichphasig erfolgt und keine stehenden Wellen auftreten, lässt sich die Gleichung vereinfachen

$Z_{A} = \frac {p} {q} = \frac{p}{v \cdot A}$

Die abgeleitete SI-Einheit ist Pa · s/m³.

Akustische Wellen bei variablem Querschnitt

Akustischer Impedanztransformator eines Grammophons

Verschiedene Mensurtypen bei Blechblasinstrumenten: 1-weitmensuriert; 2-engmensuriert

Madame de Meuron mit Hörrohr

Für den Fall, dass der Schall nicht durch einen Zylinder, sondern durch einen Trichter geleitet wird, gilt die obige Formel nicht. Mit der Querschnittsfläche des Schallkanals ändert sich die Wellenimpedanz, man spricht von einem Impedanztransformator. Hornlautsprecher, Sprachrohr, Trompete und Makrofon transformieren den Schalldruck sehr effektiv in Schallschnelle, um die Lautstärke deutlich anzuheben. Ein Phonograph kann ohne Schalltrichter keine nennenswerte Lautstärke erzeugen: Die Tonabnehmernadel bewegt die Membran eines Druckkammerlautsprechers, der für sich allein viel zu leise wäre. Auch bei elektromagnetischen Wellen transformiert ein Hornstrahler die Wellenimpedanz eines Hohlleiters an Feldimpedanz Z_w0 des Freiraums. Ohne diesen Transformator würde kaum Energie abgestrahlt, stattdessen würde sich im Hohlleiter eine stehende Welle bilden. (siehe auch Vivaldi-Antenne)

Bei Blechblasinstrumenten beeinflusst die Schalltrichterform einige Eigenschaften:

• Flache, engmensurierte Trichter geben relativ wenig Schallenergie an die Umgebungsluft ab, gleichzeitig wird dadurch mehr Energie ins Instrument reflektiert. Das unterstützt die Bildung der stehenden Welle, wodurch diese Instrumente sehr leicht ansprechen.
• Instrumente mit weitmensurierten Trichtern klingen lauter, weil die Impedanztransformation gleichmäßer erfolgt. Dadurch verringert sich aber gleichzeitig die reflektierte Energie zur Bildung der stehende Welle und das Instrument spricht relativ schwer an.

Die Impedanztransformation funktioniert auch in umgekehrter Richtung: Ein Hörrohr, früher Schallstrahlenfänger genannt, kann Schallwellen sammeln und auf das Trommelfell konzentrieren.

Reflexionen an Grenzflächen

→siehe auch: Akustische_Mikroskopie, Sonografie, Ultraschallprüfung

Im 2D-Sonogramm eines Menschenfetus erkennt man nur Grenzflächen mit hohem Impedanzunterschied

An der Grenzfläche zweier Stoffe mit großem Impedanzunterschied wird der Schall stark reflektiert. Dieser Unterschied ist zwischen Luft und z.B. Wasser besonders stark ausgeprägt. Deshalb wird bei einer Ultraschalluntersuchung die Sonde immer mittels eines stark wasserhaltigen Gels angekoppelt, damit der Schall nicht von Lufteinschlüssen zwischen dem Sondenkopf und der Hautoberfläche reflektiert wird. Im Körperinneren sind dagegen Impedanzunterschiede erwünscht, um kontrastreiche Bilder zu erhalten.

Beleuchtete Gegenstände können nur dann gesehen werden, wenn Lichtwellen an einem Impedanzunterschied ausreichend stark reflektiert werden. Das kann bei Glastüren zu unerwünschten Zusammenstößen führen, bei Einwegspiegeln wird dagegen das Reflexionsvermögen durch aufgedampfte Schichten erhöht, um eine Undurchsichtigkeit vorzutäuschen.

Ändert sich der Querschnitt eines Schallkanals nicht langsam genug, wirkt das Rohrende als Unstetigkeitsstelle, die einen Teil der Schallenergie reflektiert und in entgegengesetzte Richtung laufen lässt. Bei gewissen Rohrlängen kann es stehende Wellen geben und als Folge davon ändert sich die akustischen Flussimpedanz in Abhängigkeit von der Frequenz etwa um das Tausendfache, wie im Bild gezeigt wird. Das ist die Funktionsgrundlage aller Blasinstrumente. Genau genommen muss man wie in der Leitungstheorie wegen der auftretenden Phasenverschiebungen mit komplexen Zahlen rechnen. Darauf wird hier der Übersichtlichkeit wegen verzichtet.

Akustik: Luftgefülltes Rohr

Betrag der akustischen Flussimpedanz eines luftgefüllten kurzen, dünnen Rohres als Funktion der Frequenz. Einheit der vertikalen Skala ist Pa·s/m³

Misst man am Ende eines beiderseits offenen, zylindrischen Rohres mit geeigneten Mikrophonen Schalldruck und Schallschnelle, kann man bei Kenntnis des Rohrquerschnitts die Flussimpedanz mit der Formel

$Z_{A} = \frac{p}{v \cdot A}$

berechnen. Da beide Enden offen sind, handelt es sich um den Sonderfall λ/2, der bei der Berechnung elektromagnetischer Wellen entlang Drähten wohlbekannt ist. Das Messergebnis im Bild zeigt mehrere scharfe Minima der Flussimpedanz bei Vielfachen der Frequenz 500 Hz. Eine Überprüfung mit der Rohrlänge von 325 mm und der Schallgeschwindigkeit in Luft ergibt den Sollwert 528 Hz.

Weil der Messwert des tiefsten lokalen Minimums mit etwa 40000 Pa·s/m³ von der Schallkennimpedanz der umgebenden Luft (413,5 Pa·s/m³) abweicht, liegt eine erhebliche Fehlanpassung vor und die schwingende Luftsäule im Rohr ist nur leise hörbar. Es ist Aufgabe der Rohraufweitungen bei Blasinstrumenten wie der Trompete, diese Fehlanpassung zu verringern und so die Lautstärke zu erhöhen. Eine entsprechende Fehlanpassung ist auch die Ursache für den sehr geringen Wirkungsgrad von Lautsprechern, der durch ein ausreichend großes Horn gesteigert werden kann.

Reflexionen durch Änderungen der Wellenimpedanz

An den Stellen, an denen sich der Wellenwiderstand ändert, kommt es zu Reflexionen. Die Extremfälle solcher Änderungen des Wellenwiderstandes sind offene und geschlossene Enden. Hierzu lassen sich folgende Analogien finden:

Art der Welle	Offenes Ende	Geschlossenes Ende
Elektromagn. Welle im Kabel	nicht verbunden	kurzgeschlossen
Hohlleiter	endet offen	leitfähig verschlossen
Schwingendes Seil/Saite	Ende hängt frei	Ende ist an einer Mauer befestigt
Schall im Rohr	Ende offen	Deckel/Stopfen

In den genannten Fällen findet eine nahezu vollständige Reflexion statt. Der offene Hohlleiter strahlt allerdings einen Teil der elektromagnetischen Welle ab. Beim Kurzschluss einer Leitung wechselt der Spannungsanteil der reflektierten Welle auf einer Leitung das Vorzeichen (auch Phasensprung oder 180° Phasendrehung genannt). Bei einer elektromagnetischen Welle, die senkrecht auf eine leitfähige Schicht trifft, ist dieses für den elektrischen Feldanteil der Fall. Die reflektierte Welle läuft dann der jeweils einfallenden Welle entgegen. Reflexionen (z. B. an den Enden einer Leitung) sind Ursache stehender Wellen.

Beispiele für abgeschwächte Reflexion

Teilweise Reflexion und Transmission eines Impulses an einer Trennfläche unterschiedlicher Wellenimpedanzen.

Akustische Welle

• Eine Schallwelle trifft auf einen weichen Karton.

Elektromagnetische Welle

• Inhomogenitäten in Koaxialleitungen, v. a. übergangslose Änderung des Wellenwiderstandes an Verbindungsstellen.
• Licht trifft auf eine schmutzige Glasscheibe.
• Radarwellen treffen auf eine Wolke.

Mechanische Welle

• Das Ende eines zum Schwingen angeregten Seiles ist mit Gewichten beschwert oder mit einer Feder an einem festen Punkt befestigt.
• Eine Wasserwelle trifft auf Tetrapoden.

Beispiele für vollständige Reflexion

Bei einem Medium ohne Dispersion pendelt ein Impuls zwischen zwei Reflektoren

Akustische Welle

• Eine Schallwelle trifft aus der Luft auf eine harte Wand (Echo).

Elektromagnetische Welle

• Ein Koaxialkabel wird am Ende kurzgeschlossen oder offen gelassen.
• Eine elektromagnetische Welle trifft auf eine ausgedehnte elektrisch ideal leitende Fläche (vgl. Radarquerschnitt).
• Licht trifft auf einen Spiegel.

Mechanische Welle

• Ein einseitig befestigtes Seil wird zu Schwingungen angeregt.
• Eine Wasserwelle schlägt an eine Kliffküste.

Beispiele reflexionsfreier Abschlüsse

Wandoberfläche zur Absorption von Funkwellen

Rasterelektronenmikroskopische Aufnahme des Facettenauges einer Taufliege

Völlige Reflexionsfreiheit erreicht man nur bei exakter Übereinstimmung der Wellenimpedanzen auf beiden Seiten der Grenzfläche. Den Mangel an geeigneten Materialien kann man durch geeignete Formgebung kompensieren, wie in den Bildern zu sehen ist.

Akustische Welle

• Wände eines reflexionsarmen Raumes
• Schalltrichter eines Grammofons
• Exponentialtrichter bzw. -Horn und Kugelwellenhorn beim Horn (Lautsprecher).

Elektromagnetische Welle

• Der Quellwiderstand eines Senders stimmt mit dem Leitungswellenwiderstand des Kabels (z. B. 50 Ω) und der Eingangsimpedanz einer Antenne oder Ersatzlast überein (siehe Leistungsanpassung).
• Antireflexbeschichtung optischer Bauteile.
• Ein Wellensumpf schwächt die hochfrequente Welle in einem Hohlleiter durch ein absorbierendes Material und reflektiert nur einen geringen Anteil.
• Licht trifft auf eine mattschwarze Fläche.

Mechanische Welle

• Eine Wasserwelle läuft auf eine Flachküste mit korrektem Anstiegswinkel.

Literatur

• K. Küpfmüller und G. Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik, Eine Einführung. 16. Auflage. Springer, 2005, ISBN 3-540-20792-9.
• Martin Gerhard Wegener: Moderne Rundfunk-Empfangstechnik. Franzis, 1985, ISBN 3-7723-7911-7.
• Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 10. Auflage. Barth Verlagsgesellschaft, 1993, ISBN 3-335-00375-6, S. 545–671.
• H.-G. Unger: Kleines Lehrbuch der Elektrotechnik, Band IX: Theorie der Leitungen. Friedr. Vieweg & Sohn GmbH, 1967, Best. Nr. 4819.

Weblinks

• Elektronik-Kompendium – Beschreibung des Wellenwiderstandes
• Wellenausbreitung auf Leitungen der Informationstechnik