Primzahlvierling

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Primzahlvierlinge bestehen aus zwei Primzahlzwillingspaaren im Abstand 4, das heißt aus vier Primzahlen der Form p, p+2, p+6, p+8. Anders ausgedrückt: Zwischen den beiden Primzahlzwillingspaaren liegen genau drei Zahlen, welche alle zusammengesetzt (nicht prim) sind. Die kleinsten Primzahlvierlinge sind (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109) und (191, 193, 197, 199).

Mit einer Ausnahme (5, 7, 11, 13) lässt sich jedes Quadrupel auch in der Form (15n-4, 15n-2, 15n+2, 15n+4) schreiben. Die Zahl in der Mitte ist daher immer durch 15 teilbar und die Summe der Primzahlen des Quadrupels ist immer durch 60 teilbar. Die Zahlen enden im Dezimalsystem also immer auf 1, 3, 7 und 9.

Ebenso lässt sich jedes Quadrupel entweder als (210n+101, 210n+103, 210n+107, 210n+109), (210n±11, 210n±13, 210n±17, 210n±19) oder als (210n±191, 210n±193, 210n±197, 210n±199) schreiben.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlvierlinge gibt. Eine Voraussetzung für unendlich viele Primzahlvierlinge ist die Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge; ob diese Bedingung erfüllt ist, ist ebenfalls nicht bekannt.

Maynard und Tao zeigten 2013, dass es unendlich viele Vierergruppen von Primzahlen gibt, deren Elemente um höchstens 25 Millionen auseinander liegen.[1] Ihr Beweis verwendet Methoden aus der Arbeit Zhangs zu Primzahlzwillingen. Um die Existenz unendlich vieler tatsächlicher Primzahlvierlinge zu beweisen, müsste diese Obergrenze auf 8 reduziert werden.

Gemäß der Hardy-Littlewood-Vermutung ist die Anzahl der Primzahlvierlinge kleiner als x asymptotisch durch die Formel

C_4 \int_2^x\!\frac{\mathrm dt}{(\ln t)^4} \qquad\text{ mit }\qquad C_4 = \frac{27}{2} \prod_{p>4\atop p\;\text{prim}} \frac{p^3 (p-4)}{(p-1)^4} = 4{,}15118\text{ }08632\text{ }37415\text{ }75716...

(Folge A061642 in OEIS) gegeben.

Der bisher größte Primzahlvierling hat 3503 Dezimalstellen, wurde 2013 von Serge Batalov gefunden und ist gegeben durch 2339662057597 × 103490 + d mit d = 1, 3, 7, 9.[2]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Nielsen, Michael u. a. Bounded gaps between primes
  2. Yates, Caldwell: The Largest Known Primes