Raute

Eigenschaften einer Raute:
Jeweils zwei Seiten sind zueinander parallel und die Verbindungslinien der gegenüberliegenden Ecken schneiden einander im rechten Winkel

Eine Raute oder ein Rhombus (von altgriechisch ῥόμβος rhómbos) ist in der Geometrie ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Etymologie

Das Etymologische Wörterbuch der deutschen Sprache sieht eine Verwendung des geometrischen Begriffs „Raute“ (mittelhochdeutsch rūte von althochdeutsch rūta, entlehnt von lateinisch ruta) seit dem 14. Jahrhundert und nennt die Entstehung „dunkel“. Den Auflagen von 1934 bis 1975 zufolge ergebe sich ein Rhombus, wenn die Spitzen der vier Kronblätter der Rautenblüte durch Geraden verbunden würden. Die Erstverwendung in der Geometrie sei für 1539 bezeugt. Spätere Auflagen enthalten diese Erklärung nicht mehr und führen nur eine fachsprachlich gleichbedeutende spätmittelhochdeutsche Form rūta an. Botanische etymologische Lexika weisen darauf hin, dass die Weinraute keine rhombische Laubblattspreite habe. Dem Etymologischen Wörterbuch von Wolfgang Pfeifer zufolge entstand der Begriff durch die „zuerst in der Heraldik auftretende geometrische Figur in der stilisierten vierteiligen Blütenform der Pflanze“ als Entlehnung aus lateinisch rūta, griechisch rhȳtḗ (ῥυτή) („Bitterkraut“).

Bezeichnungen und Darstellungen

Doppelkreuz, Rhombus und Stern auf einer Rechenmaschine

→ Hauptartikel: Raute (Heraldik) und Raute (Symbol)

Neben „Raute“ werden die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet. Beispielsweise heißt ein Webmuster bei Textilien: „Karomuster“.

Ein Quadrat, das auf der Spitze steht, wird manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet.

Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in Unicode im Block Geometrische Formen, beispielsweise ◆ (U+25C6 black diamond „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7 white diamond „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA lozenge „Rhombus“).

In der Heraldik heißen rautenförmige Elemente auch Wecke und Spindel, das auf die Spitze gestellte Quadrat auch Kantenwürfel.

Eigenschaften

Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Alternativ lässt sich die Raute als Parallelogramm definieren, dessen Diagonalen einander rechtwinklig schneiden (siehe orthodiagonales Viereck).

Für jede Raute gilt:

• Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
• Gegenüberliegende Innenwinkel sind gleich groß, benachbarte Innenwinkel supplementär, d. h., ihre Summe ist 180°.
• Die Innenwinkel werden durch eine Diagonale halbiert.
• Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander.
• Sie besitzt einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck. Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
• Die Diagonalen sind Symmetrieachsen. Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander.
• Sie ist punktsymmetrisch (zweizählig symmetrisch) bezüglich des Schnittpunkts der Diagonalen.
• Die Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe.

Die Raute kann charakterisiert werden als

• Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
• Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen
• Parallelogramm mit einer Diagonalen, die einen Innenwinkel halbiert
• Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten
• Viereck mit orthogonalen Diagonalen, die einander halbieren
• Viereck mit zwei Diagonalen, die einen Innenwinkel halbieren
• Parallelogramm mit einer Diagonalen, die einen Innenwinkel halbiert

Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke, z. B. die Seitenlänge und ein Winkel, notwendig.

Formeln

Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der St Julien, Chauriat, Auvergne

Mathematische Formeln zur Raute
Flächeninhalt	$A=a\cdot h_{a}$
	$A={\frac {e\cdot f}{2}}$
	$A=a^{2}\cdot \sin(\alpha )=a^{2}\cdot \sin(\beta )$
	$A={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\alpha )}}={\frac {h_{a}^{2}}{\sin(\beta )}}$
Umfang	$u=4\cdot a$
Seitenlänge	$a={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {e^{2}+f^{2}}}$
Länge der Diagonalen	$e=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)$
	$f=2\cdot a\cdot \sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=2\cdot a\cdot \cos \left({\frac {\beta }{2}}\right)$
Höhe	$h_{a}=a\cdot \sin(\alpha )=a\cdot \sin(\beta )$
Inkreisradius	$\rho ={\frac {h_{a}}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\alpha )}{2}}={\frac {a\cdot \sin(\beta )}{2}}$
Innenwinkel	$\alpha +\beta =180^{\circ }$

Kombinationen mehrerer Rauten

Rautendekor am Giebel des Südquerhauses der Kirche St Étienne in Beauvais, Picardie

Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rauten, deren Zentriwinkel (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich $360^{\circ }/n$ mit einer natürlichen Zahl $n$ ist. Sie bilden dann einen $n$-zackigen Stern. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rauten in ihrer Spitze aneinanderfügen und ergeben dann pyramidenförmige Spitzen.

Parkettierungen mit Rauten

• Durch seine Definition eignet sich jede Raute für eine flächendeckende Parkettierung, aber nur in zwei Hauptrichtungen (siehe platonische Parkettierung). Hier bildet die Rautenparkettierung (mit ihrer Sonderform, dem Quadratgitter, also einem orthogonalen Raster) eine der 17 möglichen Symmetriegruppen der Parkettierungen.
• Eine solche Kachelung (flächenfüllende, schiefwinklig-platonische Kachelung) findet sich auf der Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge), heraldische Fachsprache: schräg gerautet.
• Eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) Penrose-Parkettierung zweier Rauten mit Innenwinkeln von 36° und 144° bzw. 72° und 108°.

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  Fußbodenmosaik aus Pella, Altmakedonien
• 
  Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge)
• 
  Rhomben­parkettie­rung mit 3D-Effekt (koloriertes Dreiecksgitter)
• 
  Penrose-Parkettierung

Rhombendach der Marienkirche in Dortmund

Polyeder mit Rauten

Einige Polyeder haben Rauten als Seitenflächen, zum Beispiel die Rhomboeder. Die Oberfläche von Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder, zweier catalanischer Körper, besteht aus kongruenten Rauten. Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, die ausschließlich von Rauten begrenzt sind. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h., sie können durch Drehung um bestimme Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

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  Rhomboeder
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  Rhombendodekaeder
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  Rhombentriakontaeder

Rauten in Architektur, Kunst und Design

Ein aus Kieselsteinen gelegtes Rautenmosaik in der altmakedonischen Hauptstadt Pella stammt aus alexandrinischer Zeit (siehe Abbildung oben). Beliebt waren abstrahierte Rautenmuster als apotropäische Zeichen in der Kunst der Berber im Maghreb. In der europäischen Kunst sind sie dagegen nur selten anzutreffen, Beispiele finden sich etwa im Dekor der Südseite der Prioratskirche St-Julien in Chauriat oder im Giebel des Nordquerhauses der Kirche St Étienne in Beauvais.

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  Sechszackiger Rautenstern
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  Das Argyle-Muster wird manchmal als Rautenmuster bezeichnet
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  Logo von Renault (1972)
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  Skulptur von Victor Vasarely am Budapester Südbahnhof

Das Rhombendach ist ein Turmdach, das sich aus vier rautenförmigen Dachflächen zusammensetzt. Die Dachschrägen sind gegenüber den Giebelwänden um 45 Grad versetzt.

Die Rhombus- oder Rautenschalung wird zur Verkleidung von Fassaden oder für Sichtschutzwände eingesetzt. Der Querschnitt der liegend montierten Latten bildet ein Parallelogramm. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Latten bilden rautenförmige Latten an der Vorderseite eine Tropfkante aus.

Weblinks

Commons: Raute – Sammlung von Bildern

Wiktionary: Raute – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Rhombus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Weiterführende Informationen, Berechnungsbeispiele und Abbildungen