Gute Primzahl

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Der Begriff gute Primzahl wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer Primzahl mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.

Definition nach Erdős und Straus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die n-te Primzahl heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen und , wobei von 1 bis geht, gilt:

Es kann gezeigt werden, dass es unendlich viele gute Primzahlen gibt. Die ersten davon lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, ... (Folge A028388 in OEIS)

Diese Definition geht auf Paul Erdős und Ernst Gabor Straus zurück.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1:

Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.

11 ist die 5. Primzahl: . Also ist zu prüfen:

Also ist 11 eine gute Primzahl.

Beispiel 2:

Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.

13 ist die 6. Primzahl: . Da

,

gilt nicht . Daher ist 13 keine gute Primzahl.

Abgeschwächte Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.

Die n-te Primzahl also heißt gut, falls

.

Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen, die ersten davon lauten

5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, ... (Folge A046869 in OEIS)

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil

.

Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt

.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eric W. Weisstein: Good Prime. In: MathWorld (englisch).
  • Folge A028388 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  • Folge A046869 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im zweiten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. vgl. Richard Kenneth Guy: Good Primes and the Prime Number Graph. In: Unsolved Problems in Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32f, §A14. (Google books)