Wilson-Primzahl

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Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen, für die eine stärkere Form des Satzes von Wilson gilt.

Der Satz von Wilson besagt, dass für jede Primzahl p gilt:

(p-1)!\equiv-1\pmod p

Zur Notation siehe Fakultät (Mathematik) und Kongruenz (Zahlentheorie).

Eine Primzahl p heißt Wilson-Primzahl, wenn sogar

(p-1)!\equiv-1\pmod{p^2}

gilt. Eine äquivalente Formulierung ist: Eine Primzahl p heißt Wilson-Primzahl, wenn

\frac{(p-1)! + 1}{p} \equiv 0 \pmod p

gilt. Die linke Seite, die nach dem Satz von Wilson eine ganze Zahl ist, wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient W(p) bezeichnet (Folge A007619 in OEIS).

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 (Goldberg 1953)[1] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollte eine weitere Wilson-Primzahl existieren, so ist sie größer als 5 × 108.[2][3] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa \log(\log(y)/\log(x)) zwischen x und y.[4][3]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime, Journal of the London Mathematical Society 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  2. Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
  3. a b Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes, Mathematics of Computation 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  4. Wilson prime bei den Prime Pages von Chris K. Caldwell (englisch)

Weblinks[Bearbeiten]