Wilson-Primzahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Wilson-Primzahlen (nach Sir John Wilson) sind Primzahlen , für die gilt, dass durch teilbar ist. Es handelt sich dabei um eine stärkere Form des Satzes von Wilson. Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563 bekannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Notation siehe Fakultät, Teilbarkeit und Kongruenz

Der Satz von Wilson besagt, dass genau dann durch teilbar ist, wenn eine Primzahl ist. Für jede Primzahl gilt also:

Als Kongruenz lässt sich dies wie folgt beschreiben:

oder

Das ganzzahlige Ergebnis der Division

wird in diesem Zusammenhang auch als Wilson-Quotient bezeichnet[1] (Folge A007619 in OEIS).

Eine Wilson-Primzahl ist nun jede Primzahl , die darüber hinaus sogar Teiler „ihres“ Wilson-Quotienten ist (und den Satz von Wilson damit quasi zweimal erfüllt).

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zahl ist ein Teiler von :

Also ist 13 eine Primzahl. Da sie ebenfalls ein Teiler des entsprechenden Wilson-Quotienten ist (36.846.277 13 = 2.834.329), ist sie eine Wilson-Primzahl.

Die wiederholte Teilung entspricht der Division durch das Quadrat der Ausgangszahl. Analog zum Satz von Wilson gilt daher, dass jede Primzahl genau dann eine Wilson-Primzahl ist, wenn:

Beziehungsweise:

oder

Vorkommen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bisher sind nur die Wilson-Primzahlen 5, 13 und 563[2] bekannt (Folge A007540 in OEIS). Sollten weitere Wilson-Primzahlen existieren, so sind sie größer als 5 × 108.[3][4] Es wird vermutet, dass unendlich viele Wilson-Primzahlen existieren, und zwar etwa zwischen und .[5][4]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Wilson Quotient. In: MathWorld (englisch).
  2. Karl Goldberg: A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. In: Journal of the London Mathematical Society, 28, April 1953, S. 252–256 (englisch)
  3. Here is the latest update on … – E-Mail von Richard McIntosh an Paul Zimmermann vom 9. März 2004 (englisch)
  4. a b Richard Crandall, Karl Dilcher, Carl Pomerance: A search for Wieferich and Wilson primes. In: Mathematics of Computation, 66, Januar 1997, S. 433–449 (englisch)
  5. Chris K. Caldwell: Wilson prime. The Prime Glossary (englisch).