Minimale Primzahl

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Unterhaltungsmathematik ist eine minimale Primzahl eine Primzahl , bei der keine Teilfolge ihrer Ziffern in einer gegebenen Basis eine Primzahl ist, solange man sie nicht miteinander vertauscht.

Beispiele im Dezimalsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Zahl ist keine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern die Primzahl machen kann. Die einzelnen Ziffern der Teilfolgen müssen also in der ursprünglichen Zahl nicht zusammenhängend sein.
  • Aus der Zahl kann man folgende Teilfolgen ihrer Ziffern machen: . Keine dieser Zahlen ist eine Primzahl, somit ist eine minimale Primzahl.
  • Die Zahl ist eine minimale Primzahl, weil man aus ihren Ziffern nur die Zahlen und machen kann und keine dieser Zahlen prim ist. Die einzelnen Ziffern der ursprünglichen Zahl dürfen aber nicht vertauscht werden (sonst wäre in diesem Fall die Teilfolge sehr wohl eine Primzahl).
  • Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis 10 (also im Dezimalsystem) sind die folgenden 26 Primzahlen:
2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (Folge A071062 in OEIS)

Beispiele mit Basis b[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es folgt eine Tabelle, der man minimale Primzahlen in der Basis entnehmen kann (wobei aus Ermangelung an weiteren Ziffern A=10 und B=11 gesetzt wird). Es kann gezeigt werden, dass es nicht mehr minimale Primzahlen zur jeweiligen Basis geben kann:[1]
Basis minimale Primzahlen zur Basis , geschrieben zur Basis
1 11
2 10, 11
3 2, 10, 111
4 2, 3, 11
5 2, 3, 10, 111, 401, 414, 14444, 44441 (insgesamt 8 minimale Primzahlen)
6 2, 3, 5, 11, 4401, 4441, 40041 (insgesamt 7 minimale Primzahlen)
7 2, 3, 5, 10, 14, 16, 41, 61, 11111 (insgesamt 9 minimale Primzahlen)
8 2, 3, 5, 7, 111, 141, 161, 401, 661, 4611, 6101, 6441, 60411, 444641, 444444441 (insgesamt 15 minimale Primzahlen)
9 2, 3, 5, 7, 14, 18, 41, 81, 601, 661, 1011, 1101 (insgesamt 12 minimale Primzahlen)
10 2, 3, 5, 7, 11, 19, 41, 61, 89, 409, 449, 499, 881, 991, 6469, 6949, 9001, 9049, 9649, 9949, 60649, 666649, 946669, 60000049, 66000049, 66600049 (insgesamt 26 minimale Primzahlen)
11 2, 3, 5, 7, 10, 16, 18, 49, 61, 81, 89, 94, 98, 9A, 199, 1AA, 414, 919, A1A, AA1, 11A9, 66A9, A119, A911, AAA9, 11144, 11191, 1141A, 114A1, 1411A, 144A4, 14A11, 1A114, 1A411, 4041A, 40441, 404A1, 4111A, 411A1, 44401, 444A1, 44A01, 6A609, 6A669, 6A696, 6A906, 6A966, 90901, 99111, A0111, A0669, A0966, A0999, A0A09, A4401, A6096, A6966, A6999, A9091, A9699, A9969, 401A11, 404001, 404111, 440A41, 4A0401, 4A4041, 60A069, 6A0096, 6A0A96, 6A9099, 6A9909, 909991, 999901, A00009, A60609, A66069, A66906, A69006, A90099, A90996, A96006, A96666, 111114A, 1111A14, 1111A41, 1144441, 14A4444, 1A44444, 4000111, 4011111, 41A1111, 4411111, 444441A, 4A11111, 4A40001, 6000A69, 6000A96, 6A00069, 9900991, 9990091, A000696, A000991, A006906, A040041, A141111, A600A69, A906606, A909009, A990009, 40A00041, 60A99999, 99000001, A0004041, A9909006, A9990006, A9990606, A9999966, 40000A401, 44A444441, 900000091, A00990001, A44444111, A66666669, A90000606, A99999006, A99999099, 600000A999, A000144444, A900000066, A0000000001, A0014444444, 40000000A0041, A000000014444, A044444444441, A144444444411, 40000000000401, A0000044444441, A00000000444441, 11111111111111111, 14444444444441111, 44444444444444111, A1444444444444444, A9999999999999996, 1444444444444444444, 4000000000000000A041, A999999999999999999999, A44444444444444444444444441, 40000000000000000000000000041, 440000000000000000000000000001, 999999999999999999999999999999991, 444444444444444444444444444444444444444444441 (insgesamt 152 minimale Primzahlen)
12 2, 3, 5, 7, B, 11, 61, 81, 91, 401, A41, 4441, A0A1, AAAA1, 44AAA1, AAA0001, AA000001 (insgesamt 17 minimale Primzahlen)
  • Die einzigen minimalen Primzahlen für die Basis 12 (also im Duodezimalsystem) sind die obigen 17 Primzahlen. Im Dezimalsystem sind es die folgenden:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 73, 97, 109, 577, 1489, 7537, 17401, 226201, 1097113, 32555521, 388177921 (Folge A110600 in OEIS)
Beispiel:
Die minimale Primzahl ist im Dezimalsystem die Zahl . Aus ihr kann man die Nicht-Primzahlen und machen.
  • Die Anzahl der minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis sind die folgenden:[2]
1, 2, 3, 3, 8, 7, 9, 15, 12, 26, 152, 17, 228, 240, 100, 483, ≥1279,[3] 50, ≥3462,[4] 651, ≥2600,[5] 1242, 6021, 306, ≥17597,[6] ≥5662,[7] ≥17210,[8] ≥5783,[9] ≥57283,[10] 220, ...
Beispiel:
An der 14. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Es gibt also minimale Primzahlen zur Basis .
  • Die Stellenanzahl der größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis sind die folgenden:[1][2]
2, 2, 3, 2, 5, 5, 5, 9, 4, 8, 45, 8, 32021, 86, 107, 3545, ≥111334, 33, ≥110986, 449, ≥479150, 764, 800874, 100, ≥136967, ≥8773, ≥109006, ≥94538, ≥174240, 1024, …
Beispiel 1:
An der 13. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis hat also Stellen.
Beispiel 2:
An der 26. Stelle obiger Liste steht der Eintrag . Die größte minimale (PRP-)Primzahl zur Basis hat also Stellen, es gibt aber noch ungelöste Fälle, die mehr Stellen haben.
  • Die größten minimalen (zum Teil PRP-) Primzahlen bei gegebener Basis sind die folgenden, wenn man sie im Dezimalsystem schreibt:
2, 3, 13, 5, 3121, 5209, 2801, 76695841, 811, 66600049, 29156193474041220857161146715104735751776055777, 388177921, ... (die nächste Primzahl hat 35670 Stellen)
Beispiel:
An der 12. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Tatsächlich ist die größte minimale Primzahl zur Basis die Zahl .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es gibt genau 32 zusammengesetzte Zahlen im Dezimalsystem, welche aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen keine weiteren zusammengesetzten Zahlen ergeben:
4, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 21, 22, 25, 27, 30, 32, 33, 35, 50, 51, 52, 55, 57, 70, 72, 75, 77, 111, 117, 171, 371, 711, 713, 731 (Folge A071070 in OEIS)
Beispiel:
Aus der Zahl kann man die Zahlen und machen, welche allesamt Primzahlen und somit nicht zusammengesetzt sind. Diese Zahlen sind somit das genaue Gegenteil der minimalen Primzahlen.
  • Es gibt im Dezimalsystem genau 146 Primzahlen (also der Form mit ), welche aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form ergeben:
5, 13, 17, 29, 37, 41, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 149, 181, 233, 277, 281, 349, 409, 433, 449, 677, 701, 709, 769, 821, 877, 881, 1669, 2221, 3001, 3121, 3169, 3221, 3301, 3833, 4969, 4993, 6469, 6833, 6949, 7121, 7477, 7949, 9001, 9049, 9221, 9649, 9833, … (Folge A111055 in OEIS)
Beispiel:
Aus der Primzahl kann man die Zahlen und machen, welche allesamt keine Primzahlen der Form sind.
  • Es gibt im Dezimalsystem genau 112 Primzahlen (also der Form mit ), welche aus Ziffern bestehen, deren Teilfolgen im Dezimalsystem keine weiteren Primzahlen der Form ergeben:
3, 7, 11, 19, 59, 251, 491, 499, 691, 991, 2099, 2699, 2999, 4051, 4451, 4651, 5051, 5651, 5851, 6299, 6451, 6551, 6899, 8291, 8699, 8951, 8999, 9551, 9851, 22091, 22291, 66851, 80051, 80651, 84551, 85451, 86851, 88651, 92899, 98299, 98899, … (Folge A111056 in OEIS)
Beispiel:
Aus der Primzahl kann man die Zahlen und machen, welche allesamt keine Primzahlen der Form sind.
  • Die Anzahl der minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis sind die folgenden:[11]
1, 3, 4, 9, 10, 19, 18, 26, 28, 32, 32, 46, 43, 52, 54, 60, 60, 95, 77, 87, 90, 94, 97, 137, 117, 111, 115, 131, 123, 207, ...
  • Die Stellenanzahl der größten minimalen zusammengesetzten Zahlen bei gegebener Basis sind die folgenden:[11]
4, 4, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 2, 3, 3, 4, ...

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Minimale Primzahlen und ungelöste Fälle („Familien“) mit Basen von 2 bis 30 (englisch)
  2. a b Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. University of Waterloo, 2015, S. 15, abgerufen am 4. Juli 2018.
  3. Für die Basis b=17 gibt es 1279 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall
  4. Für die Basis b=19 gibt es 3462 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall
  5. Für die Basis b=21 gibt es 2600 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall
  6. Für die Basis b=25 gibt es 17597 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 12 ungelöste Fälle
  7. Für die Basis b=26 gibt es 5662 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und zwei ungelöste Fälle
  8. Für die Basis b=27 gibt es 17210 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 5 ungelöste Fälle
  9. Für die Basis b=28 gibt es 5783 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und einen ungelösten Fall
  10. Für die Basis b=29 gibt es 57283 bekannte minimale (PRP-)Primzahlen und 14 ungelöste Fälle
  11. a b Curtis Bright, Raymond Devillers, Jeffrey Shallit: Minimal Elements for the Prime Numbers. University of Waterloo, 2015, S. 20, abgerufen am 4. Juli 2018.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Chris K. Caldwell: minimal prime. Prime Pages - The Prime Glossary, abgerufen am 4. Juli 2018.