Elitäre Primzahl

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In der Zahlentheorie wird eine Primzahl elitär genannt, wenn nur endlich viele Fermat-Zahlen quadratische Reste modulo sind.

Ihren Namen verdanken sie dem österreichischen Mathematiker Alexander Aigner, der sie 1986 beschrieb und als erster untersuchte.[1] Aigner nannte diese Primzahlen elitär, da sie nur sehr selten auftauchen; er selbst fand lediglich 14 solche Primzahlen, die kleiner als 35.000.000 sind.

Da Fermat-Zahlen die Beziehung erfüllen, wird die Kongruenzfolge ( mod ) ab einem bestimmten Index periodisch, d. h. es existiert eine minimale natürliche Zahl derart, dass (mod ) für alle natürlichen Zahlen gilt. Die Terme werden als Fermat-Reste von bezeichnet. Demnach ist eine Primzahl genau dann elitär, wenn alle Fermat-Reste quadratische Nichtreste modulo sind.

Die ersten elitären Primzahlen sind: 3, 5, 7, 41, 15.361, 23.041, 26.881, 61.441, 87.041, 163.841, ... (Folge A102742 in OEIS)

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele elitäre Primzahlen gibt. Es konnte jedoch nachgewiesen werden, dass die Anzahl aller elitärer Primzahlen die Abschätzung erfüllt.[2]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. A. Aigner: Über Primzahlen, nach denen (fast) alle Fermatzahlen quadratische Nichtreste sind. In: Monatshefte Mathematik. 101, 1986, S. 85–93.
  2. Krizek et al.: On the convergence of series of reciprocals of prims related to the Fermat numbers. In: Journal of Number Theory. 97, 2002, S. 95–112.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Alain Chaumont, Tom Müller: All Elite Primes Up to 250 Billion. In: Journal of Integer Sequences. Band 9, Nr. 06.3.8, 2006 (cs.uwaterloo.ca [PDF]).