Pierpont-Primzahl

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Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form . Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Primzahl heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form

ist, wobei natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen , für die 3-glatt ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, ...   (Folge A005109 in OEIS)

Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist

mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.[1][2]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für und gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt.
  • Für und muss eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl.
  • Für und hat eine Piermont-Primzahl die Form .

Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont-Primzahlen

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist

  (Folge A113420 in OEIS).

Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist

  (Folge A113412 in OEIS).

Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt.[3] Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es

Pierpont-Primzahlen kleiner als , im Gegensatz zu Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.

Faktoren von Fermat-Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle[4] gibt Werte für , und an, sodass gilt:

.

Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.

Jahr Entdecker
38 3 41 1903 Cullen, Cunningham & Western
63 9 67 1956 Robinson
207 3 209 1956 Robinson
452 27 455 1956 Robinson
9428 9 9431 1983 Keller
12185 81 12189 1993 Dubner
28281 81 28285 1996 Taura
157167 3 157169 1995 Young
213319 3 213321 1996 Young
303088 3 303093 1998 Young
382447 3 382449 1999 Cosgrave & Gallot
461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot
495728 243 495732 2007 Keiser, Jobling, Penné & others
672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot
2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
2543548 9 2543551 2011 Brown, Reynolds, Penné & Fougeron

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein regelmäßiges Polygon mit Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn von der Form

ist, wobei mit verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind.[3][5] Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen und verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist . Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen -Ecke mit können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.

In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit Seiten zu bilden, wenn von der obigen Form ist.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form . Die ersten Zahlen dieser Art sind:

2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747,… (Folge A005105 in OEIS)

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .

Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .

In beiden Fällen muss sein. Alle weiteren sind ungerade Primzahlen.

Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p1 nicht 2, so wäre das Produkt aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.

Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:

{p1, p2, p3, …, pk} +1 OEIS-Folge -1 OEIS-Folge
{2} 2, 3, 5, 17, 257, 65537 (Folge A092506 in OEIS) 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, … (Folge A000668 in OEIS)
{2, 3} 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, … (Folge A005109 in OEIS) 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, … (Folge A005105 in OEIS)
{2, 5} 2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, … (Folge A077497 in OEIS) 3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, … (Folge A077313 in OEIS)
{2, 3, 5} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, … (Folge A002200 in OEIS)
{2, 7} 2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, … (Folge A077498 in OEIS) 3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, … (Folge A077314 in OEIS)
{2, 3, 5, 7} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, … (Folge A174144 in OEIS)
{2, 11} 2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, … (Folge A077499 in OEIS) 3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, … (Folge A077315 in OEIS)
{2, 13} 2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, … (Folge A173236 in OEIS) 3, 7, 31, 103, 127, 337, … (Folge A173062 in OEIS)

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Chris Caldwell: The largest known primes. The Prime Pages, 16. August 2016, abgerufen am 17. August 2016.
  2. Chris Caldwell: 3 · 210829346 + 1. The Prime Pages, 17. Januar 2014, abgerufen am 17. August 2016.
  3. a b Andrew Gleason: Angle Trisection, the Heptagon, and the Triskaidecagon. In: The American Mathematical Monthly. Band 95, Nr. 3, 1988, S. 185–194 (PDF).
  4. Wilfrid Keller: Prime factors of Fermat numbers and complete factoring status. 30. April 2015, abgerufen am 17. August 2016.
  5. Folge A048135 in OEIS

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]