Einzigartige Primzahl

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In der Unterhaltungsmathematik ist eine einzigartige Primzahl oder einzigartige periodische Primzahl (vom englischen unique prime oder unique period prime) eine Primzahl , für welche gilt:

  • Die Dezimalbruchentwicklung von (also des Kehrwertes von ) hat eine einzigartige Periodenlänge , das heißt, es gibt keine andere Primzahl , für die die gleiche Periodenlänge hat. Man sagt „die Primzahl hat eine Periode der Länge “.

Einzigartige Primzahlen wurden erstmals im Jahr 1980 von Samuel Yates untersucht.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Natürlich gibt es auch andere periodische Dezimalbruchentwicklungen mit einer Periodenlänge , zum Beispiel , aber für ist keine Primzahl. Auch hat die Periodenlänge , aber dieser Bruch hat nicht die Form , sondern . Es gibt keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl.
  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Alle anderen Bruchzahlen mit einer Periodenlänge haben die Form , aber diesen Bruch kann man bestenfalls durch , durch , durch , durch oder durch kürzen und erhält die Nenner oder . Der einzige prime Nenner ist somit (denn der Bruch mit hat die Periodenlänge ). Es gibt also keine andere Bruchzahl der Form , welche die Periodenlänge hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl.
  • Die Primzahl hat als Kehrwert den Bruch , dessen Dezimalbruchentwicklung ist. Die Periodenlänge von ist somit . Allerdings hat auch die Primzahl als Kehrwert den Bruch mit einer Periodenlänge . Somit ist weder die Primzahl noch die Primzahl eine einzigartige Primzahl.
  • Die kleinsten einzigartigen Primzahlen sind die folgenden:
3, 11, 37, 101, 9091, 9901, 333667, 909091, 99990001, 999999000001, 9999999900000001, 909090909090909091, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, 900900900900990990990991, 909090909090909090909090909091, … (Folge A040017 in OEIS)
Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:
1, 2, 3, 4, 10, 12, 9, 14, 24, 36, 48, 38, 19, 23, 39, 62, … (Folge A051627 in OEIS)
Beispiel:
Obigen beiden Listen kann man an der 10. Stelle die beiden Zahlen und entnehmen. Somit hat der Bruch die Periodenlänge und es gibt keinen anderen Bruch der Form mit , der die Periodenlänge hat.
  • Die 24. einzigartige Primzahl hat 128 Stellen und der dazugehörige Bruch eine Periodenlänge von 320. Die Primzahl lautet:
Diese Zahl beginnt mit 32 Neunen, gefolgt von 32 Nullen, danach kommen 32 Neunen und 32 Nullen und sie endet mit einer . Man schreibt auch kurz .
  • Zurzeit sind mehr als 50 einzigartige Primzahlen (oder einzigartige PRP-Zahlen, also Zahlen, die sehr wahrscheinlich Primzahlen sind, die aber momentan noch zu groß sind, um sich absolut sicher zu sein) bekannt. Es gibt aber nur 18 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind und 23 einzigartige Primzahlen, welche kleiner als sind.
  • Die momentan größte wahrscheinliche einzigartige Primzahl (Stand: 22. November 2018) ist die folgende:

Sie hat Stellen, ist eine Repunit und wurde im Juli 2007 von Maksym Voznyy und Anton Budnyy entdeckt. Allerdings ist diese Zahl eine PRP-Zahl, das heißt, es noch nicht gesichert, ob sie wirklich prim ist oder nicht, weil sie so groß ist. Sie erfüllt aber viele Voraussetzungen für eine Primzahl.[2]

  • Die momentan größte bewiesene einzigartige Primzahl (Stand: 22. November 2018) ist die folgende:

Sie hat Stellen und wurde am 26. April 2014 von Ray Chandler entdeckt.[3][4][5] Man kann sie auch als darstellen (die ausgeschriebene Zahl siehe im Diskussionsteil dieses Artikels). Dabei ist das n-te Kreisteilungspolynom.

  • Es folgt eine Tabelle, der man entnehmen kann, welche Periodenlängen zu welchen Bruchzahlen mit gehören. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede prime Repunit (also Primzahlen der Form mit Einsern) ist eine einzigartige Primzahl.
Beispiel:
Die folgende Liste gibt die der momentan bekannten primen Repunits an:
2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343 (Folge A004023 in OEIS)
Dabei sind die letzten vier Repunits und PRP-Zahlen, es ist also noch nicht gesichert, ob sie wirklich Primzahlen sind.[6]
  • Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:[3][7][8]
  • Die Primzahl ist eine einzigartige Primzahl mit Periode .
  • ist eine Potenz von , wobei das n-te Kreisteilungspolynom ist.
Spezialfall:
Ist eine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom :
und somit ist
Somit gilt für oberen Satz:
, wobei die -te Repunit ist
Beispiel:
Sei die Periodenlänge . Dann ist .
Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist.
Normalfall:
Ist keine Primzahl, so gilt für das Kreisteilungspolynom :
Beispiel 1:
Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt:
.
Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist.
Beispiel 2:
Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt:
.
Obiger Liste von einzigartigen Primzahlen kann man entnehmen, dass für die Periodenlänge tatsächlich ist.
Beispiel 3:
Sei die Periodenlänge . Dann ist und es gilt:
.
Es ist aber keine Primzahl, somit gibt es auch keine einzigartige Primzahl mit Periodenlänge . Stattdessen haben die Dezimalbruchentwicklungen von und die Periodenlänge .

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele prime Repunits gibt).[9]

Einzigartige Primzahlen im Dualsystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzigartige Primzahlen sind von der Basis abhängig, mit der gezählt wird. In den oberen Abschnitten wurden einzigartige Primzahlen zur Basis , also im Dezimalsystem betrachtet. In diesem Abschnitt werden einzigartige Primzahlen im Dualsystem, also mit Basis , behandelt.

Eine Primzahl ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b=2, genau dann, wenn gilt:

  • Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge . Es existiert keine weitere Primzahl , für die der Bruch zur Basis ebenfalls die Periodenlänge hat.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die Zahl :
Es ist
eine im Dualsystem periodische Zahl mit Periodenlänge . Es gibt keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat. Somit ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem.
  • Für die Zahl ist eine im Dualsystem nicht periodische Zahl (also mit Periodenlänge ). Es gibt zwar keine weitere Primzahl , deren Bruch im Dualsystem eine Periodenlänge von hat, trotzdem ist keine einzigartige Primzahl im Dualsystem, weil sein muss.
  • Die kleinsten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem sind die folgenden, jeweils im Dezimalsystem geschrieben:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, 2731, 5419, 8191, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 262657, 524287, 599479, 2796203, 15790321, 18837001, 22366891, 715827883, 2147483647, 4278255361, … (Folge A144755 in OEIS)
Die dazugehörigen Periodenlängen sind die folgenden:
2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, 26, 42, 13, 34, 40, 32, 54, 17, 38, 27, 19, 33, 46, 56, 90, 78, 62, 31, 80, 120, 126, 150, 86, 98, 49, 69, 65, 174, 77, 93, 122, 61, 85, 192, 170, 234, 158, 165, 147, 129, 184, 89, 208, 312, … (Folge A247071 in OEIS)
Wenn man die einzigartigen Primzahlen im Dualsystem nach ihrer Periodenlänge geordnet haben will, so erhält man die Folge A161509 in OEIS. Die sortierte Liste der dazugehörigen Periodenlängen ist dann die Folge A161508 in OEIS.
  • Die momentan (Stand: 23. Dezember 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem ist die folgende:[10]
Sie hat Stellen und wurde am 21. Dezember 2018 von Patrick Laroche entdeckt. Sie ist auch gleichzeitig die größte bekannte Primzahl und dadurch auch gleichzeitig die größte bekannte Mersenne-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge und es gibt keine einzige weitere Primzahl , dessen Bruch dieselbe Periodenlänge hat.
  • Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige (aber noch nicht endgültig bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:[11]
Sie hat Stellen und wurde im September 2013 von Ryan Propper entdeckt. Sie ist allerdings noch zu groß, als dass man sicher sagen kann, dass es sich um eine Primzahl handelt. Sie erfüllt viele Primzahl-Eigenschaften und ist eine PRP-Zahl. Ist ihre Primalität bewiesen, so ist sie eine Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge und es gibt keine einzige weitere Primzahl , dessen Bruch dieselbe Periodenlänge hat.
  • Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige (und auch bewiesene) Primzahl im Dualsystem, welche nicht gleichzeitig Mersenne-Primzahl ist, ist die folgende:[12]
Sie hat Stellen und wurde am 17. September 2014 von Tom Wu entdeckt. Sie ist die momentan größte bekannte Wagstaff-Primzahl. Der dazugehörige Bruch hat, im Dualsystem geschrieben, die Periodenlänge .
  • Die momentan (Stand: 21. Juli 2018) größte bekannte einzigartige Primzahl im Dualsystem, welche weder Mersenne-Primzahl noch Wagstaff-Primzahl (aber leider eine PRP-Zahl) ist, ist die folgende:[13]
Sie hat Stellen und wurde im August 2014 von Paul Bourdelais entdeckt.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Fermatsche Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Zweierpotenz mit .
  • Jede Mersenne-Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist eine Primzahl .
  • Jede Wagstaff-Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem. Ihre Periodenlänge ist das Doppelte einer ungeraden Primzahl mit .
  • Sei und eine natürliche Zahl. Dann gilt:
Es existiert mindestens eine Primzahl , welche im Dualsystem die Periodenlänge hat.
Beweis: Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy (en)
  • Sei eine natürliche Zahl mit ( habe also die Form mit ). Dann gilt:
Es existieren mindestens zwei Primzahlen , welche im Dualsystem die Periodenlänge haben.
Somit ist niemals eine einzigartige Primzahl zur Basis .
Beweis: Diese Aussage gilt wegen der Faktorisierung von Aurifeuille (en)
  • Die folgenden beiden Aussagen sind gleichwertig:
  • Die Primzahl ist eine einzigartige Primzahl im Dualsystem mit Periode .
  • ist eine Potenz von mit , wobei das n-te Kreisteilungspolynom ist.
Beispiel:
Die einzigen bekannten , für welche obiger Zähler zusammengesetzt, aber obiger Gesamtausdruck prim ist, sind die folgenden:
18, 20, 21, 54, 147, 342, 602, 889
In diesen Fällen hat offenbar einen Teiler, welcher auch Teiler von ist.
Alle anderen bekannten einzigartigen Primzahlen zur Basis haben die Form .
Es ist noch keine Primzahl bekannt, für die in obiger Formel ist. Für alle bekannten einzigartigen Primzahlen im Dualsystem gilt .

Ungelöste Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es wird vermutet, dass es unendlich viele einzigartige Primzahlen zur Basis gibt (dies würde aus einer anderen mathematischen Vermutung folgern, nämlich dass es unendlich viele Mersenne-Primzahlen gibt).
  • Es wird vermutet, dass es keine Wieferich-Primzahlen gibt, die gleichzeitig einzigartige Primzahlen im Dualsystem sind.

Einzigartige Primzahlen in anderen Zahlsystemen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Primzahl ist eine einzigartige Primzahl zur Basis b, genau dann, wenn gilt:

  • Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge . Es existiert keine weitere Primzahl , für die der Bruch zur Basis ebenfalls die Periodenlänge hat.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die folgenden drei Aussagen sind gleichwertig:
  • ist eine einzigartige Primzahl zur Basis (der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge ).
  • ist der einzige Primteiler des n-ten Kreisteilungspolynoms , welche nicht die Periodenlänge teilt.
  • Fall 1: ist gerade:
ist eine Potenz von mit
Fall 2: ist ungerade:
ist eine Zweierpotenz mal einer Potenz von mit
Einzigartige Primzahlen im Dezimalsystem bzw. im Dualsystem fallen somit in den Fall 1.
  • Sei die Primzahl ein Teiler der Basis . Dann gilt:
  • Die Primzahl ist keine einzigartige Primzahl zur Basis .
  • Der Bruch hat zur Basis die Periodenlänge , hat also keine Periode.
Beweis der 1. Behauptung:
Wenn Teiler der Basis ist, ist auch Teiler von und somit nicht Teiler der um größeren Zahl . Also ist zu teilerfremd. Das Kreisteilungspolynom ist aber so definiert, dass es teilen muss. Somit ist auch und teilerfremd und es ist somit auch kein Teiler von . Also kann keine einzigartige Primzahl zur Basis sein.
  • Sei . Dann gilt:
Es existiert mindestens eine Primzahl , für die zur Basis die Periodenlänge hat, mit Ausnahme der folgenden Fälle:
  • und oder
  • und mit
Beweis: Diese Aussage gilt wegen des Satzes von Zsigmondy (en)

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es folgt eine Auflistung von Primzahlen , für die der Bruch bei gegebener Basis die Periodenlänge besitzt. Einzigartige Primzahlen werden in gelben Zellen geschrieben:

Es folgt eine Auflistung der Periodenlängen von Bruchzahlen der Form mit den ersten 34 Primzahlen zu verschiedensten Basen . Wenn die Primzahl ein Teiler der Basis ist, endet die Dezimalbruchentwicklung, die Periodenlänge beträgt somit . Ist die Primzahl eine einzigartige Primzahl zur Basis , so wird die Periodenlänge in einer gelben Zelle geschrieben:

Nun folgt eine Tabelle, der man die kleinsten Periodenlängen (bis inklusive ) entnehmen kann, für die der Bruch mit eine einzigartige Länge hat. Es gibt somit keine andere Primzahl zur gegebenen Basis mit der gleichen Periodenlänge. Außerdem wird jeweils auch die dazugehörige einzigartige Primzahl angegeben, deren Bruch diese Periodenlänge hat.

Bi-Einzigartige Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden Primzahlen und nennt man bi-einzigartige Primzahlen (vom englischen bi-unique prime), wenn gilt:

  • Die beiden Bruchzahlen und haben die gleiche Periodenlänge
  • Es gibt keine andere Primzahl , sodass diese Periodenlänge besitzt

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei die Basis und die Periodenlänge . Dann gilt für das Kreisteilungspolynom und für :
Somit haben und die gleiche Periodenlänge (im Speziellen ist und ). Die beiden Primzahlen und sind also bi-einzigartige Primzahlen zur Basis .
  • Sei die Basis und die Periodenlänge . Dann gilt für das Kreisteilungspolynom und für :
Somit haben und die gleiche Periodenlänge (im Speziellen ist und ). Die beiden Primzahlen und sind also bi-einzigartige Primzahlen zur Basis .
  • Es gibt 1228 ungerade Primzahlen unter 10000, aber nur 21 von ihnen sind im Binärsystem einzigartig und 76 von ihnen sind bi-einzigartig.
  • Die beiden Primfaktoren (143 Stellen) und (177 Stellen) der Mersenne-Zahl sind bi-einzigartige Primzahlen zur Basis mit einer Periodenlänge . Die beiden Primzahlen lauten:
  • Die momentan (Stand: 18. August 2018) größte bekannte bi-einzigartige Primzahl ist momentan noch eine PRP-Zahl (also wegen ihrer Größe nur sehr wahrscheinlich eine Primzahl) und lautet:
Sie wurde im Juli 2016 von Tony Prest entdeckt und hat 1577600 Stellen.[14] Die Periodenlänge ist , die dazugehörige Primzahl .
  • Die folgenden beiden Listen geben die kleinsten bi-einzigartigen Primzahlen und zu den Basen bzw. an, für die sowohl als auch die gleiche Periodenlänge besitzt:

Tri-Einzigartige Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analog zu den bi-einzigartigen Primzahlen kann man auch tri-einzigartige Primzahlen definieren:

Die drei Primzahlen nennt man tri-einzigartige Primzahlen (vom englischen tri-unique prime), wenn gilt:

  • Die drei Bruchzahlen und haben die gleiche Periodenlänge
  • Es gibt keine andere Primzahl , sodass diese Periodenlänge besitzt

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei die Basis und die Periodenlänge . Dann gilt für das Kreisteilungspolynom und für :
Somit haben , und die gleiche Periodenlänge . Die drei Primzahlen , und sind also tri-einzigartige Primzahlen zur Basis .
  • Sei die Basis und die Periodenlänge . Dann gilt für das Kreisteilungspolynom und für :
Somit haben , und die gleiche Periodenlänge . Die drei Primzahlen , und sind also tri-einzigartige Primzahlen zur Basis .
  • Die folgenden beiden Listen geben die kleinsten tri-einzigartigen Primzahlen und zur Basis bis bzw. zur Basis bis an, für die sowohl als auch die gleiche Periodenlänge besitzt:

Verallgemeinerung: n-Einzigartige Primzahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Primzahlen nennt man n-einzigartige Primzahlen (vom englischen n-unique prime), wenn gilt:

  • Die Bruchzahlen haben die gleiche Periodenlänge .
  • Es gibt keine andere Primzahl , sodass diese Periodenlänge besitzt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die folgenden Primzahlen sind die kleinsten n-einzigartigen Primzahlen zur Basis mit aufsteigendem :
3, 23, 53, 149, 269, 461, 619, 389, …
Beispiel:
An der 6. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Das bedeutet, dass die kleinste Primzahl ist, die zu einem 6-einzigartigen Primzahlentupel zur Basis gehört.
  • Die folgenden Primzahlen sind die kleinsten n-einzigartigen Primzahlen zur Basis mit aufsteigendem :
3, 7, 23, 47, 163, 149, …
Beispiel:
An der 5. Stelle obiger Liste steht die Zahl . Das bedeutet, dass die kleinste Primzahl ist, die zu einem 5-einzigartigen Primzahlentupel zur Basis gehört.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Samuel Yates: Periods of unique primes. Mathematics Magazine 53, 1980, S. 314, abgerufen am 16. Juli 2018.
  2. Giovanni Di Maria: Known REPUNIT Primes. The Repunit Primes Project, abgerufen am 16. Juli 2018.
  3. a b Chris K.Caldwell: The Top Twenty: Unique. Prime Pages, abgerufen am 21. Juni 2018.
  4. Phi(47498,10) auf Primo Top-20
  5. Phi(23749,-10) auf Prime Pages
  6. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000, Search for: (10^x-1)/9. PRP Records, abgerufen am 16. Juli 2018.
  7. Chris K. Caldwell, Harvey Dubner: Unique-period primes. Journal of Recreational Mathematics 29 (1), 1963, S. 475–478, abgerufen am 16. Juli 2018.
  8. Eric W. Weisstein: Unique Prime. In: MathWorld (englisch).
  9. Chris K. Caldwell: Repunit. Prime Pages, abgerufen am 16. Juli 2018 (englisch).
  10. 282589933-1 auf Prime Pages
  11. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000, Search for: (2^n+1)/3. PRP Records, abgerufen am 21. Juli 2018.
  12. (283339+1)/3 auf Prime Pages
  13. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000, Rang 16. PRP Records, abgerufen am 21. Juli 2018.
  14. Henri Lifchitz, Renaud Lifchitz: PRP Records - Probable Primes Top 10000, Search for: (2^a-1)/b. PRP Records, abgerufen am 18. August 2018.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]