In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen , deren Differenz 4 beträgt als Primzahlencousins .[1] Zum Beispiel sind die Zahlen 13 und 17 Primzahlencousins, weil die eine Zahl um 4 kleiner ist als die andere (bzw. die andere um 4 größer ist als die eine).
Primzahlencousins haben die Form
(
p
,
p
+
4
)
{\displaystyle (p,p+4)}
. Es folgt eine Liste der Primzahlencousins bis
4.000
{\displaystyle 4.000}
(erzeugt mit Matheass 9.0):
p
(p+4)
3
7
7
11
13
17
19
23
37
41
43
47
67
71
79
83
97
101
103
107
p
(p+4)
109
113
127
131
163
167
193
197
223
227
229
233
277
281
307
311
313
317
349
353
p
(p+4)
379
383
397
401
439
443
457
461
463
467
487
491
499
503
613
617
643
647
673
677
p
(p+4)
739
743
757
761
769
773
823
827
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
937
941
p
(p+4)
967
971
1009
1013
1087
1091
1093
1097
1213
1217
1279
1283
1297
1301
1303
1307
1423
1427
1429
1433
p
(p+4)
1447
1451
1483
1487
1489
1493
1549
1553
1567
1571
1579
1583
1597
1601
1609
1613
1663
1667
1693
1697
p
(p+4)
1783
1787
1867
1871
1873
1877
1993
1997
1999
2003
2083
2087
2137
2141
2203
2207
2239
2243
2269
2273
p
(p+4)
2293
2297
2347
2351
2377
2381
2389
2393
2437
2441
2473
2477
2539
2543
2617
2621
2659
2663
2683
2687
p
(p+4)
2689
2693
2707
2711
2749
2753
2797
2801
2833
2837
2857
2861
2953
2957
3019
3023
3037
3041
3079
3083
p
(p+4)
3163
3167
3187
3191
3217
3221
3253
3257
3319
3323
3343
3347
3457
3461
3463
3467
3529
3533
3613
3617
p
(p+4)
3673
3677
3697
3701
3793
3797
3847
3851
3877
3881
3907
3911
3919
3923
3943
3947
(Folge A023200 in OEIS ) und (Folge A046132 in OEIS )
Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen
p
,
p
+
4
{\displaystyle p,p+4}
oder
p
+
8
{\displaystyle p+8}
ist immer durch 3 teilbar, also ist
p
=
3
{\displaystyle p=3}
der einzige Fall, bei dem das Tripel
(
p
,
p
+
4
,
p
+
8
)
{\displaystyle (p,p+4,p+8)}
aus drei Primzahlen besteht.
Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov die momentan größten Primzahlencousins mit 51934 Stellen[2] [3] . Das Paar
(
p
,
p
+
4
)
{\displaystyle (p,p+4)}
lautet wie folgt:
p
=
29055814795
⋅
(
2
172486
−
2
86243
)
+
2
86245
−
3
p
+
4
=
29055814795
⋅
(
2
172486
−
2
86243
)
+
2
86245
+
1
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}p&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-3\\p+4&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}}
Die Zahl
p
+
4
{\displaystyle p+4}
ist sicherlich eine Primzahl, für die Zahl
p
{\displaystyle p}
sieht die Situation allerdings etwas anders aus. Es gibt momentan keinen bekannten Primzahltest , der einfach bestimmen könnte, ob
p
{\displaystyle p}
prim ist.
p
{\displaystyle p}
ist eine PRP-Zahl (probable prime ), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.
Es folgt aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung , dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte haben wie Primzahlzwillinge . Eine Analogie zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge kann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins und ist das Ergebnis der konvergenten Summe[4] [5]
B
4
=
(
1
7
+
1
11
)
+
(
1
13
+
1
17
)
+
(
1
19
+
1
23
)
+
⋯
.
{\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .}
Dabei wird das erste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.
Wenn man alle Primzahlencousins bis
2
42
{\displaystyle 2^{42}}
einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:[6]
B
4
≈
1,197
0449
{\displaystyle B_{4}\approx 1{,}1970449}
(Folge A194098 in OEIS )
Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit
B
4
{\displaystyle B_{4}}
bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.
Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:
(p, p+2)
Primzahlzwilling
(p, p+4)
Primzahlencousin
(p, p+6)
Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)
Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)
Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)
Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)
Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)
Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)
Sexy Primzahlfünfling
David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math . John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8 , S. 33 .
Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes . Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5 , S. 206 .
↑
Wolfram MathWorld, Cousin Primes. Abgerufen am 1. Dezember 2015 .
↑ 29055814795 · (2172486 - 286243 ) + 286245 -3 auf den PrimePages.
↑ 29055814795 · (2172486 - 286243 ) + 286245 +1 auf den PrimePages.
↑ B.Segal: Generalisation du théorème de Brun . Hrsg.: C. R. Acad. Sc. URSS. Christine Steyrer, 1930, ISBN 978-3-902662-18-7 , S. 501–507 (russisch).
↑
Zentralblatt MATH
Zentralblatt MATH 57.1363.06. Abgerufen am 1. Dezember 2015 .
↑ Marek Wolf, On the Twin and Cousin Primes (PostScript file).
formelbasiert
Carol ((2n − 1)2 − 2) |
Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) |
Fakultät (n! ± 1) |
Fermat (22n + 1) |
Kubisch (x 3 − y 3 )/(x − y ) |
Kynea ((2n + 1)2 − 2) |
Leyland (x y + y x ) |
Mersenne (2p − 1) |
Mills (A 3n ) |
Pierpont (2u ⋅3v + 1) |
Primorial (p n # ± 1) |
Proth (k ⋅2n + 1) |
Pythagoreisch (4n + 1) |
Quartisch (x 4 + y 4 ) |
Thabit (3⋅2n − 1) |
Wagstaff ((2p + 1)/3) |
Williams ((b-1 )⋅b n − 1) |
Woodall (n ⋅2n − 1)
Primzahlfolgen
Bell |
Fibonacci |
Lucas |
Motzkin |
Pell |
Perrin
eigenschaftsbasiert
Elitär |
Fortunate |
Gut |
Glücklich |
Higgs |
Hochkototient |
Isoliert |
Pillai |
Ramanujan |
Regulär |
Stark |
Stern |
Wall–Sun–Sun |
Wieferich |
Wilson
basis abhängig
Belphegor |
Champernowne |
Dihedral |
Einzigartig |
Fröhlich |
Keith |
Lange |
Minimal |
Mirp |
Permutierbar |
Primeval |
Palindrom |
Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) |
Schwach |
Smarandache–Wellin |
Strobogrammatisch |
Tetradisch |
Trunkierbar |
Zirkular
basierend auf Tupel
Ausbalanciert (p − n , p , p + n) |
Chen |
Cousin (p , p + 4) |
Cunningham (p , 2p ± 1, …) |
Drilling (p , p + 2 oder p + 4, p + 6) |
Konstellation |
Sexy (p , p + 6) |
Sichere (p , (p − 1)/2) |
Sophie Germain (p , 2p + 1) |
Vierling (p , p + 2, p + 6, p + 8) |
Zwilling (p , p + 2) |
Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …)
nach Größe
Titanisch (1.000+ Stellen) |
Gigantisch (10.000+ Stellen) |
Mega (1.000.000+ Stellen) |
Beva (1.000.000.000+ Stellen)