Primzahlencousin

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz 4 beträgt als Primzahlencousins. Zum Beispiel sind die Zahlen 13 und 17 Primzahlencousins, weil die eine Zahl um 4 kleiner ist als die andere (bzw. die andere um 4 größer ist als die eine).

Primzahlencousins haben die Form $(p,p+4)$. Es folgt eine Liste der Primzahlencousins bis $4.000$ (erzeugt mit Matheass 9.0):

p (p+4) 3 7 7 11 13 17 19 23 37 41 43 47 67 71 79 83 97 101 103 107

p (p+4) 109 113 127 131 163 167 193 197 223 227 229 233 277 281 307 311 313 317 349 353

p (p+4) 379 383 397 401 439 443 457 461 463 467 487 491 499 503 613 617 643 647 673 677

p (p+4) 739 743 757 761 769 773 823 827 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 937 941

p (p+4) 967 971 1009 1013 1087 1091 1093 1097 1213 1217 1279 1283 1297 1301 1303 1307 1423 1427 1429 1433

p (p+4) 1447 1451 1483 1487 1489 1493 1549 1553 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1609 1613 1663 1667 1693 1697

p (p+4) 1783 1787 1867 1871 1873 1877 1993 1997 1999 2003 2083 2087 2137 2141 2203 2207 2239 2243 2269 2273

p (p+4) 2293 2297 2347 2351 2377 2381 2389 2393 2437 2441 2473 2477 2539 2543 2617 2621 2659 2663 2683 2687

p (p+4) 2689 2693 2707 2711 2749 2753 2797 2801 2833 2837 2857 2861 2953 2957 3019 3023 3037 3041 3079 3083

p (p+4) 3163 3167 3187 3191 3217 3221 3253 3257 3319 3323 3343 3347 3457 3461 3463 3467 3529 3533 3613 3617

p (p+4) 3673 3677 3697 3701 3793 3797 3847 3851 3877 3881 3907 3911 3919 3923 3943 3947

(Folge A023200 in OEIS) und (Folge A046132 in OEIS)

Eigenschaften

Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen $p,p+4$ oder $p+8$ ist immer durch 3 teilbar, also ist $p=3$ der einzige Fall, bei dem das Tripel $(p,p+4,p+8)$ aus drei Primzahlen besteht.

Am 5. März 2022 entdeckte Serge Batalov die momentan größten Primzahlencousins mit 51934 Stellen. Das Paar $(p,p+4)$ lautet wie folgt:

${\begin{array}{rcl}p&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}-3\\p+4&=&29055814795\cdot (2^{172486}-2^{86243})+2^{86245}+1\end{array}}$

Die Zahl $p+4$ ist sicherlich eine Primzahl, für die Zahl $p$ sieht die Situation allerdings etwas anders aus. Es gibt momentan keinen bekannten Primzahltest, der einfach bestimmen könnte, ob $p$ prim ist. $p$ ist eine PRP-Zahl (probable prime), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.

Es folgt aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte haben wie Primzahlzwillinge. Eine Analogie zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge kann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins und ist das Ergebnis der konvergenten Summe

$B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .$

Dabei wird das erste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.

Wenn man alle Primzahlencousins bis $2^{42}$ einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:

$B_{4}\approx 1{,}1970449$ (Folge A194098 in OEIS)

Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit $B_{4}$ bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.

Zusammenfassung

Um die Unterschiede der verschiedensten Primzahltupel noch einmal zu verdeutlichen, sei hier noch einmal eine Zusammenfassung der gebräuchlichen Namen angeführt:

(p, p+2)	Primzahlzwilling
(p, p+4)	Primzahlencousin
(p, p+6)	Sexy Primzahlzwilling
(p, p+2, p+6) und (p, p+4, p+6)	Primzahldrilling
(p, p+6, p+12)	Sexy Primzahldrilling
(p, p+2, p+6, p+8)	Primzahlvierling
(p, p+6, p+12, p+18)	Sexy Primzahlvierling
(p, p+2, p+6, p+8, p+12) und (p, p+4, p+6, p+10, p+12)	Primzahlfünfling
(p, p+6, p+12, p+18, p+24)	Sexy Primzahlfünfling

Literatur

• David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8, S. 33. 
• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5, S. 206. 

Einzelnachweise

V – D

Primzahl­mengen