Primzahlencousin

In der Mathematik bezeichnet man Primzahlen, deren Differenz 4 beträgt als Primzahlencousins. Zum Beispiel sind die Zahlen 13 und 17 Primzahlencousins, weil die eine Zahl um 4 kleiner ist als die andere (bzw. die andere um 4 größer ist als die eine).

Primzahlencousins haben die Form $(p,p+4)$. Die Primzahlencousins unter 1000 lauten

(3, 7), (7, 11), (13, 17), (19, 23), (37, 41), (43, 47), (67, 71), (79, 83), (97, 101), (103, 107), (109, 113), (127, 131), (163, 167), (193, 197), (223, 227), (229, 233), (277, 281), (307, 311), (313, 317), (349, 353), (379, 383), (397, 401), (439, 443), (457, 461), (463,467), (487, 491), (499, 503), (613, 617), (643, 647), (673, 677), (739, 743), (757, 761), (769, 773), (823, 827), (853, 857), (859, 863), (877, 881), (883, 887), (907, 911), (937, 941), (967, 971).

(Folge A023200 in OEIS) und (Folge A046132 in OEIS)

Eigenschaften

Die einzige Primzahl, die zu zwei Paaren von Primzahlencousins gehört, ist 7. Eine der Zahlen $p,p+4$ oder $p+8$ ist immer durch 3 teilbar, also ist $p=3$ der einzige Fall, bei dem das Tripel $(p,p+4,p+8)$ aus drei Primzahlen besteht.

Im Mai 2009 entdeckte Ken Davis die beiden momentan größten Primzahlencousins mit 11594 Stellen. Von den Primzahlencousins $(p,p+4)$ lautet die erste Primzahl $p$

$p=(311778476\cdot 587502\cdot 9001\#\cdot (587502\cdot 9001\#+1)+210)\cdot {\frac {587502\cdot 9001\#-1}{35}}+1$

Dabei ist $9001\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot \dotsc \cdot 9001$ eine Primfakultät, d. h. das Produkt aller Primzahlen $\leq 9001$.

Die größten bekannten Primzahlencousins $(p,p+4)$ könnten die beiden folgenden sein:

$p:=474435381\cdot 2^{98394}-5$

$p+4=474435381\cdot 2^{98394}-1$

Sie haben je 29629 Stellen und wurden im November 2012 von Michael Angel, Paul Jobling und Dirk Augustin entdeckt. Die zweite dieser beiden Zahlen, $p+4$, ist mittlerweile als Primzahl verifiziert, allerdings gibt es momentan keinen bekannten Primzahltest, der einfach bestimmen könnte, ob die erste Zahl, $p$, prim ist. $p$ ist eine PRP-Zahl (probable prime), also sehr wahrscheinlich eine Primzahl, weil sie Bedingungen erfüllt, die alle Primzahlen besitzen, die aber die meisten zusammengesetzten Zahlen nicht erfüllen.

Es folgt aus der ersten Hardy-Littlewood-Vermutung, dass Primzahlencousins dieselbe asymptotische Dichte haben wie Primzahlzwillinge. Eine Analogie zur Brunschen Konstante für Primzahlzwillinge kann auch für Primzahlencousins definiert werden. Sie heißt Brunsche Konstante für Primzahlencousins und ist das Ergebnis der konvergenten Summe

$B_{4}=\left({\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}\right)+\left({\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}\right)+\left({\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}\right)+\cdots .$

Dabei wird das erste Primzahlencousin-Paar (3, 7) weggelassen.

Wenn man alle Primzahlencousins bis $2^{42}$ einsetzt, so hat Marek Wolf im Jahr 1996 gezeigt, dass gilt:

$B_{4}\approx 1{,}1970449$ (Folge A194098 in OEIS)

Diese Konstante darf nicht mit der Brunschen Konstante für Primzahlvierlinge verwechselt werden, die ebenfalls mit $B_{4}$ bezeichnet wird, aber einen anderen Wert ergibt.

Literatur

• David Wells: Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 1-118-04571-8, S. 33. 
• Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger: Number theory: an introduction via the distribution of primes. Birkhäuser, 2007, ISBN 0-8176-4472-5, S. 206. 

Einzelnachweise

00V – DPrimzahl­mengen