Prothsche Primzahl

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Prothsche Primzahlen sind Primzahlen der Form , wobei positive ganze Zahlen sind (mit und ungerade). Solche Zahlen heißen allgemein Proth-Zahlen, auch wenn sie keine Primzahlen sind.

Wissenswertes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Primzahl lässt sich eindeutig in der Form schreiben; damit eine Primzahl eine Prothsche Primzahl ist, muss aber zusätzlich gelten.

Die Bedeutung der Prothschen Primzahlen liegt darin, dass François Proth (1852–1879) einen einfachen Test gefunden hat (Satz von Proth), mit dem sich nachweisen lässt, ob Proth-Zahlen Primzahlen sind. Viele der derzeit größten bekannten Primzahlen wurden mit diesem Test gefunden und es gibt ein frei verfügbares Programm von Yves Gallot, dass den Satz von Proth implementiert und häufig für solche Zwecke benutzt wird[1].

Der Satz von Proth besagt: Die Proth-Zahl ist prim, falls es eine natürliche Zahl gibt mit:

Die Prothschen Primzahlen spielen auch bei den Sierpiński-Zahlen insofern eine Rolle, als eine Folge von Zahlen der Form frei von Prothschen Primzahlen sein muss, damit eine Sierpiński-Zahl sein kann.

Unter den prothschen Primzahlen befinden sich auch Cullen-Primzahlen. Das sind Primzahlen der Form .

In der folgenden Tabelle finden sich Primzahlen nach geordnet bis 10.000.000. Primzahlen mit , die also keine Prothschen Primzahlen sind, stehen in Klammern. Prothsche Primzahlen mit nennt man auch Fermatsche Primzahlen.

Primzahlen nach geordnet
k Form Primzahlen dieser Form Folge ergibt Primzahlen für n=[2] Folge
1 3, 5, 17, 257, 65537 (keine weiteren bekannt) Folge A019434 in OEIS 1, 2, 4, 8, 16 (keine weiteren bekannt) ---
3 (7), 13, 97, 193, 769, 12289, 786433, … Folge A039687 in OEIS (1), 2, 5, 6, 8, 12, 18, 30, 36, 41, … Folge A002253 in OEIS
5 (11), 41, 641, 163841, … --- (1), 3, 7, 13, 15, 25, 39, … Folge A002254 in OEIS
7 (29), 113, 449, 114689, 7340033, … Folge A050527 in OEIS (2), 4, 6, 14, 20, 26, … Folge A032353 in OEIS
9 (19), (37), (73), 577, 1153, 18433, 147457, 1179649, … Folge A050528 in OEIS (1), (2), (3), 6, 7, 11, 14, 17, 33, 42, 43, … Folge A002256 in OEIS
11 (23), (89), 353, 1409, 5767169, … Folge A050529 in OEIS (1), (3), 5, 7, 19, 21, 43, … Folge A002261 in OEIS
13 (53), 3329, 13313, … --- (2), 8, 10, 20, 28, … Folge A032356 in OEIS
15 (31), (61), 241, 7681, 15361, 61441, … Folge A195745 in OEIS (1), (2), 4, 9, 10, 12, 27, 37, 38, 44, 48, … Folge A002258 in OEIS
17 (137), 557057, … --- (3), 15, 27, … Folge A002259 in OEIS
19 1217, 19457, … --- 6, 10, 46, … Folge A032359 in OEIS
21 (43), (337), 673, 2689, 10753, … --- (1), (4), 5, 7, 9, 12, 16, 17, 41, … Folge A032360 in OEIS
23 (47), 11777, … --- (1), 9, 13, 29, 41, 49, … Folge A032361 in OEIS

Die ersten Proth-Zahlen bis 250 lauten:

3, 5, 9, 13, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, … (Folge A080075 in OEIS)

Die ersten Proth-Primzahlen bis 500 lauten:

3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, … (Folge A080076 in OEIS)

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1: (Prothsche Primzahl)

Sei und Dann ist eine Proth-Zahl, weil ungerade und ist.

ist eine Prothsche Primzahl, wenn eine natürliche Zahl existiert, sodass gilt. Man probiert also alle Zahlen durch, bis man ein geeignetes findet:

Somit hat man gleich am Anfang schon ein geeignetes gefunden, das den Beweis erbringt, dass eine Prothsche Primzahl ist. Auch sind geeignete Zahlen für diesen Beweis.

Beispiel 2: (Primzahl, aber keine Prothsche Primzahl)

Sei und Dann ist keine Proth-Zahl, weil zwar ungerade, aber ist. Allerdings ist eine Primzahl, aber eben keine Prothsche Primzahl.

Beispiel 3: (keine Primzahl)

Sei und Dann ist eine Proth-Zahl, weil ungerade und ist.

ist eine Prothsche Primzahl, wenn eine natürliche Zahl existiert, sodass gilt. Man probiert also wieder alle Zahlen durch, bis man ein geeignetes findet:

Analog findet man auch bei allen anderen kein geeignetes, das die Bedingung erfüllt. Natürlich gibt es Rechenregeln für die Modulorechnungen, sodass man hohe Zahlen umgehen kann. Somit hat man den Beweis erbracht, dass keine Prothsche Primzahl ist (was eigentlich von vornherein klar war, da ist).

Größte bekannte Proth-Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die größte bisher bekannte Proth-Primzahl wurde Ende Oktober 2016 von Péter Szabolcs entdeckt, hat 9.383.761 Stellen[3] und lautet

Sie ist auch gleichzeitig die größte Primzahl, die nicht gleichzeitig auch Mersenne-Primzahl ist[4]. Sie wurde im Zuge des Internet-Projektes Seventeen or Bust gefunden, bei dem man nach der kleinsten Sierpinski-Zahl sucht.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Yves Gallot's Proth.exe: an implementation of Proth's Theorem for Windows. Abgerufen am 5. Dezember 2015.
  2. Liste von Primzahlen nach k geordnet für k < 300. Abgerufen am 5. Dezember 2015.
  3. Chris Caldwell, The Top Twenty: Proth
  4. Chris Caldwell, The Top Twenty: Largest Known Primes