Euler-Kreisel

Abb. 1: Realisierung eines Euler-Kreisels

Der kräftefreie Kreisel ist in der Kreiseltheorie ein Kreisel, der momenten­frei um seinen ruhenden Massenmittelpunkt rotiert. Obwohl die Drehbewegung von Kreiseln ausschließlich von den angreifenden Drehmomenten bestimmt wird, hat sich die Bezeichnung kräftefreier Kreisel eingebürgert. Nachdem Leonhard Euler 1750 die Kreiselgleichungen formulierte, konnte er 1758 im kräftefreien Fall schon eine Lösung angeben. Zu Ehren Leonhard Eulers wird der kräftefreie Kreisel auch Euler-Kreisel genannt. Er ist neben dem Lagrange-Kreisel und dem Kowalewskaja-Kreisel einer der drei immer mit rationalen Integralen lösbaren Fälle der Kreiselgleichungen.

Die Winkelgeschwindigkeiten lassen sich mit den Jacobi'schen elliptischen Funktionen ausdrücken, die beim symmetrischen Kreisel in den Sinus und Kosinus übergehen. Hier zeigt der Kreisel besonders regelmäßiges und anschauliches Verhalten, siehe #Beschreibung der Bewegung.

Außer in der Schwerelosigkeit kann ein kräftefreier Kreisel in einem Schwerefeld realisiert werden, indem er in seinem Schwerpunkt drehbar, beispielsweise wie in Abb. 1 kardanisch aufgehängt wird. Mit der Poinsot’schen Konstruktion kann die Bewegung des Euler-Kreisels anschaulich dargestellt werden. Der eulersche Kreisel findet z. B. in Kreiselkompassen und gyroskopischen Steuersystemen technische Anwendung.

Bezeichnungen

Die Bewegungen des kräfefreien Kreisels heißen in der Kreiseltechnik Nutation. Die azimutale Drehung wird auch Präzession genannt.

Abb. 2: Das eulersche Basissystem (grün) gibt die Achsen an, um die die Euler-Winkel ψ=α, ϑ=β und φ=γ drehen.

In der Kreiseltheorie werden die Basisvektoren im raumfesten Bezugssystem mit den Euler’schen Winkeln in der Standard-x-Konvention (z, x', z") ausgedrückt, siehe Abb. 2. Der Winkel ψ ist der Präzessionswinkel, ϑ der Neigungswinkel und φ bestimmt die Eigendrehung des Kreisels. Gelegentlich haben ψ und φ in der Fachliteratur vertauschte Bedeutung. Bezeichnen die Einheitsvektoren ê_x,y,z die raumfeste Standardbasis (blau in Abb. 2) und ê_X,Y,Z = ê_1,2,3 die mit dem Körper rotierende, bewegte Basis (rot in Abb. 2), dann lauten die mitbewegten Basiseinheitsvektoren bezüglich der raumfesten Basis:

${\begin{aligned}{\hat {e}}_{1}=&{\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{2}=&{\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {e}}_{3}=&{\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}$

Der Zusammenhang mit den Winkelgeschwindigkeiten im Hauptachsen­system ist

${\begin{aligned}\omega _{1}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\\omega _{2}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\\omega _{3}=&{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}\\{\dot {\psi }}=&{\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )+\omega _{2}\cos(\varphi )}{\sin(\vartheta )}}\\{\dot {\vartheta }}=&\omega _{1}\cos(\varphi )-\omega _{2}\sin(\varphi )\\{\dot {\varphi }}=&\omega _{3}-{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )\end{aligned}}$

Häufig werden die Komponenten ω_1,2,3 im Hauptachsensystem auch mit p, q und r bezeichnet.

Bei ϑ = 0 tritt eine Singularität auf, weil dann die Winkel ψ und φ in den Basisvektoren nach den Additionstheoremen nur als Summe ψ ± φ vorkommen und somit verschiedene Winkel zur selben Basis führen können.

Allgemeine Eigenschaften der Bewegung kräftefreier Kreisel

Eulersche Kreiselgleichungen

→ Hauptartikel: Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)

Die Bewegungsfunktion des Kreisels bestimmt sich mit den von Leonhard Euler aufgestellten Kreiselgleichungen. Sie beziehen sich auf das mit dem Körper rotierenden Hauptachsensystem und lauten im kräfefreien Fall

${\begin{aligned}\Theta _{1}{\dot {\omega }}_{1}=&(\Theta _{2}-\Theta _{3})\omega _{2}\omega _{3}\\\Theta _{2}{\dot {\omega }}_{2}=&(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{3}\omega _{1}\\\Theta _{3}{\dot {\omega }}_{3}=&(\Theta _{1}-\Theta _{2})\omega _{1}\omega _{2}\\{\dot {L}}_{1}=&\left({\frac {1}{\Theta _{3}}}-{\frac {1}{\Theta _{2}}}\right)L_{2}L_{3}\\{\dot {L}}_{2}=&\left({\frac {1}{\Theta _{1}}}-{\frac {1}{\Theta _{3}}}\right)L_{3}L_{1}\\{\dot {L}}_{3}=&\left({\frac {1}{\Theta _{2}}}-{\frac {1}{\Theta _{1}}}\right)L_{1}L_{2}\end{aligned}}$

Darin sind jeweils für k=1,2,3

Θ_k die Hauptträgheitsmomente,

L_k := Θ_kω_k die Drehimpulse,

ω_k die Winkelgeschwindigkeiten

im Hauptachsensystem. Der Überpunkt bildet die Zeitableitung.

Auf der linken Seite steht die Kreiselwirkung der Euler-Kräfte und auf der rechten Seite diejenige der Fliehkräfte, siehe Drallsatz am starren Körper. Die Euler-Kräfte sind Ausdruck von Winkelbeschleunigungen, die hier von den Zentrifugalkräften im Kreisel hervor gerufen werden. Umgekehrt führen die Winkelbeschleunigungen zur Änderung der Drehachse und Drehgeschwindigkeit, was die Zentrifugalkräfte beeinflusst. Folge dieses dynamischen Wechselspiels ist die Nutation des kräftefreien Kreisels.

Integrale der Bewegung

Die Drehbewegung eines kräftefreien Kreisels unterliegt neben den Kreiselgleichungen noch zwei Bedingungen.

Zum einen erzwingt die Drehimpulserhaltung im raumfesten xyz-System, dass alle drei Drehimpulskomponenten von

${\vec {L}}=L_{x}{\hat {e}}_{x}+L_{y}{\hat {e}}_{y}+L_{z}{\hat {e}}_{z}={\text{const.}}$

im kräftefreien Fall konstant sind. Als zweite Bedingung bleibt die Rotationsenergie E_rot gemäß dem Energieerhaltungssatz erhalten.

Im lokalen körperfesten Hauptachsensystem heißt das:

${\begin{aligned}L^{2}:=&L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}=&\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}=&{\text{const.}}\\2E_{\mathrm {rot} }=&{\frac {L_{1}^{2}}{\Theta _{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{\Theta _{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{\Theta _{3}}}=&\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2}=&{\text{const.}}\end{aligned}}$

Die Erhaltung von L_x,y,z, L² und E_rot ist im Einklang mit obigen Kreiselgleichungen, was durch Zeitableitung der Konstanten und Einsetzen der Kreiselgleichungen und Euler-Winkel nachgewiesen werden kann. Die genannten Konstanten werden in der Kreiseltheorie Integrale genannt.

Obige Gleichungen definieren Ellipsoide. Die mit den Winkelgeschwindigkeiten ausgedrückten Gleichungsteile stellen in der oberen Gleichung das Drallellipsoid und in der unteren das Energieellipsoid dar. Die mit dem Drehimpuls ausgedrückten Flächen sind in der oberen Gleichung die Drallkugel und in der unteren das MacCullagh-Ellipsoid.

Die Drallkugel und das MacCullagh-Ellipsoid schneiden sich nur, wenn die Schranken für Drehimpuls und Rotationsenergie eingehalten werden. Multiplikation von 2E_rot mit -L² und L² mit 2E_rot und Addition liefert:

$(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}\omega _{3}^{2}=0$

Die Gleichung für den Polkegel, der aus den Punkten besteht, für die $X/\omega _{1}=Y/\omega _{2}=Z/\omega _{3}$ ist, ergibt sich hieraus zu:

$(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{1}-L^{2})\Theta _{1}X^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{2}-L^{2})\Theta _{2}Y^{2}+(2E_{\mathrm {rot} }\Theta _{3}-L^{2})\Theta _{3}Z^{2}=0$

Beim unsymmetrischen Euler-Kreisel ergibt sich ein Ellipsenkegel und beim symmetrischen ein Kreiskegel, siehe #Beschreibung der Bewegung.

MacCullaghs Deutung der Kreiselbewegung

Abb. 3: MacCullagh-Ellipsoid (gelb), Drallkugel (grün), Drallpolkurven (rot) und Tangentialebene (grau) treffen sich im Drehimpuls ${\vec {L}}$. Die aktuelle Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ ist senkrecht zur Tangentialebene.

Von James MacCullagh stammt eine geometrische Deutung der Kreiselbewegung, die wie die Poinsot’sche Konstruktion anschaulich aber nicht so fruchtbar ist wie letztere. Der Drehimpuls ist im raumfesten System konstant, bildet die invariable Gerade durch den Stützpunkt und berührt jederzeit das MacCullagh-Ellipsoid, das im körperfesten System aus den Endpunkten aller Drehimpulse besteht, die zur aktuellen Rotationsenergie führen, siehe Abb. 3. Das MacCullagh-Ellipsoid bewegt sich mit dem Kreisel derart, dass der Drehimpuls gleichzeitig auf dem Ellipsoid und der Drallkugel ist, wobei die rot gezeichneten Drallpolkurven entstehen. Die Punkte auf den Drallpolkurven haben somit alle denselben Abstand zum Stützpunkt. Das Lot des Stützpunkts auf die Tangentialebene an das MacCullagh-Ellipsoid im Endpunkt des Drehimpulses ist parallel zur aktuellen Winkelgeschwindigkeit. Besagte Tangentialebene ist, anders als die invariable Ebene der Poinsot’schen Konstruktion, nicht raumfest.

Das Kreuzprodukt aus Winkelgeschwindigkeit und Drehimpuls $({\vec {\omega }}\times {\vec {L}})$ ist umgekehrt gleich der Kreiselwirkung der Fliehkräfte, der genau entgegen gesetzt die Kreiselwirkung der Euler-Kräfte ist, die Ausdruck von Änderungen der Drehgeschwindigkeit und -achse, also der Ausrichtung des MacCullagh-Ellipsoids, sind, siehe auch #Eulersche Kreiselgleichungen.

Stabilitätsbetrachtungen

Abb. 4: Trägerkurven der Lösungen der Kreiselgleichungen auf der Drallkugel.

In Abb. 4 ist die Drallkugel und zu verschiedenen Rotationsenergien gehörende Drallpolkurven aus drei Richtungen gesehen gezeichnet. Die Drallpolkurven sind geschlossene Kurven (rot und blau im Bild), die Kreis-, Ellipsen- oder Taco-förmig sein können und wie das MacCullagh-Ellipsoid symmetrisch zu den von den Hauptachsen aufgespannten Ebenen sind. Auf den blauen Kurven finden perizykloidische Bewegungen statt während auf den roten Kurven die Bewegung epizykloidisch genannt wird, siehe Poinsot’sche Konstruktion. Dazwischen befindet sich die Separatrix, die diese beiden Bewegungsformen von einander trennt.

Liegt der Drehimpuls in der Nähe der Hauptträgheitsachse mit dem größten oder dem kleinsten Trägheitsmoment (blaue bzw. rote Punkte in Abb. 4), dann verbleibt er auch in dessen Nähe, denn diese Punkte werden von den Drallpolkurven umringt. Deshalb sind diese Drehachsen stabile Drehachsen freier Drehungen. Ihre Schnittpunkte mit der Drallkugel sind elliptische Fixpunkte einer autonomen Differentialgleichung.

Aus den Achsverhältnissen der Ellipsen kann ein Maß für die Stabilität der Drehachsen abgeleitet werden, siehe Stabilitätsbetrachtungen bei der Poinsot’schen Konstruktion.

Liegt der Drehimpuls genau auf der 2-Achse (schwarzer Punkt), dann verbleibt er dort, andernfalls entfernt er sich vom Schnittpunkt, denn dieser wird nicht von den Drallpolkurven umkreist. Die 2-Achse ist eine instabile Drehachse, sie trifft das MacCullagh-Ellipsoid in einem hyperbolischen Fixpunkt oder Sattelpunkt der zugehörigen autonomen Differentialgleichung (siehe auch #Stabilität der Bewegung unsymmetrischer Kreisel weiter unten). Die Bewegung auf der Separatrix ist instabil, denn bei der kleinsten Störung wird die Bahn epi- oder perizykloidisch.

Wenn die Hauptträgheitsmomente Θ_1,2 übereinstimmen, womit der Kreisel ein symmetrischer wird, dann ist das MacCullagh-Ellipsoid ein Rotationsellipsoid um die 3-Achse, die Separatrix wird zu einem Großkreis in der 1-2-Ebene und die Drallpolkurven sind Kleinkreise parallel zu dieser. Die Drehung um die Figurenachse (Symmetrieachse 3) ist jedenfalls stabil, denn die Drallpolkurven umringen als Kleinkreise diese Achse. Die zur Figurenachse senkrechten, äquatorialen Hauptachsen weisen komplexes Stabilitätsverhalten auf:

• Bezüglich der Winkelgeschwindigkeiten $\omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}$ und des Neigungswinkes ϑ sind Drehungen um eine äquatoriale Achse stabil,
• Bezüglich der Winkel ψ und φ und den Winkelgeschwindigkeiten ω_1,2 sind Drehungen um eine äquatoriale Achse instabil.

Denn bei Störung der Drehung um die 1-Achse mittels einer kleinen Winkelgeschwindigkeit um die 3-Achse wird die Drallpolkurve zu einem Kleinkreis um die 3-Achse und die Drehachse umläuft parallel zur 1-2-Ebene die Figurenachse. Sie bleibt also nicht in der Nähe der 1-Achse was Instabilität von ω₁ bezüglich Störung von ω₃ bedeutet. Eine kleine Störung der axialen Winkelgeschwindigkeit ω₃ oder des Neigungswinkels ϑ führt jedoch zu einer klein bleibenden Veränderung. In gleicher Weise werden die anderen Größen auf Stabilität gegenüber Störungen untersucht.

Zur Stabilität des Kugelkreisels, siehe dort.

Die Bewegungen des Drehimpulses im lokalen Bezugssystem

Mangels äußerer Einwirkungen macht der kräfefreie Kreisel keine Sprünge. Die lokalen Komponenten des Drehimpulses sind somit Lipschitz-stetig und daher können sich die Trajektorien des Drehimpulses nach dem Satz von Picard-Lindelöf nicht schneiden. Diese Bedingung ist auf der Separatrix verletzt (in Abb. 4 schwarz gestrichelt).

Der Drehimpuls durchwandert die in Abb. 3 und Abb. 4 gezeichneten Drallpolkurven ohne jemals stillzustehen oder gar die Umlaufrichtung zu wechseln. Denn abseits der Hauptträgheitsachsen verschwindet höchstens eine Komponente des Drehimpulses und daher können die lokalen Geschwindigkeiten ${\dot {L}}_{1,2,3}$ den Kreiselgleichungen zufolge nicht alle drei auf einmal null sein.

Im Sonderfall der Separatrix bildet sich eine aperiodische Bewegung aus, denn der Drehimpuls kann die Schnittpunkte auf der 2-Achse nicht überschreiten. Die Hauptträgheitsachse mit dem mittleren Hauptträgheitsmoment nähert sich auf einer Loxodrome asymptotisch der vom Drehimpuls gegebenen Achse, siehe #Bewegung auf der Separatrix unten.

Wenn die Rotationsenergie abnimmt, beispielsweise durch Dissipation, wird die Drehachse in Richtung der Achse mit dem größten Trägheitsmoment wandern, was in Abb. 4 die 3-Achse ist, denn dort berührt das MacCullagh-Ellipsoid mit der kleinsten Energie die Drallkugel.

Kräftefreier symmetrischer Kreisel

Beim symmetrischen Kreisel sind per definitionem zwei der drei Hauptträgheitsmomente gleich. Die Bewegung ist besonders regelmäßig und anschaulich. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird hier von Θ₁=Θ₂=:Θ₀ und Drehung um die 3-Achse – der Figurenachse – ausgegangen.

Beschreibung der Bewegung

Beim symmetrischen Kreisel vereinfacht sich die dritte Kreiselgleichung im kräftefreien Fall zu $\Theta _{3}\,{\dot {\omega }}_{3}=0$, sodass die Winkelgeschwindigkeit ω₃ und somit auch der Drehimpuls L₃ konstant sind. Die zwei anderen Kreiselgleichungen bilden das lineare gewöhnliche Differentialgleichungssystem

${\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}+\Omega \omega _{2}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-\Omega \omega _{1}\end{aligned}}$

mit konstantem Koeffizient $\Omega :={\tfrac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}$. Zeitableitung der Gleichungen führt auf zwei entkoppelte Differentialgleichungen ${\ddot {\omega }}_{1,2}+\Omega ^{2}\omega _{1,2}=0$, deren allgemeine Lösung wie folgt darstellbar ist:

${\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}(0)\\\omega _{2}(0)\end{pmatrix}}$

Die Werte ω_1,2(0) sind Anfangsbedingungen zur Zeit t=0 und werden durch eine 2 × 2 Drehmatrix auf die aktuellen Werte abgebildet. Falls ω₃(0)=0 und/oder ω₁(0)=ω₂(0)=0 gilt, so bleiben ω₁ und ω₂ konstant und der Kreisel führt eine konstante Drehbewegung aus oder bleibt im Spezialfall ω_1,2,3(0)=0 in Ruhe.

Abb. 5: Bewegungskomponenten beim kräftefreien Kreisel (β=ϑ)

Für die Skizzierung der allgemeinen Bewegung wird im Massenmittelpunkt des Kreisels zum Zeitpunkt t=0 ein kartesisches Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achse so gelegt, dass die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit in der xz-Ebene liegen, siehe Abb. 5. Das Hauptachsensystem sei anfänglich so ausgerichtet, dass die Winkelgeschwindigkeit und die Figurenachse in der 13-Ebene liegen und einen Winkel λ einschließen (in Abb. 5 anders dargestellt). Dann ist ω₁(0)=ω sin(λ), ω₂(0)=0 und ω₃(0)=ω cos(λ) mit dem Betrag $\omega :=|{\vec {\omega }}|$ der Winkelgeschwindigkeit. Die Hauptachsen werden wie bei den Euler-Winkeln eingeführt mit ê_1,2,3 bezeichnet.

Die oben angegebene Lösung der Kreiselgleichungen ergibt mit den getroffenen Anfangsbedingungen:

${\begin{pmatrix}\omega _{1}(t)\\\omega _{2}(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos(\Omega \,t)&-\sin(\Omega \,t)\\\sin(\Omega \,t)&\cos(\Omega \,t)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega \,t)\\\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega \,t)\end{pmatrix}}$

Der Differenzvektor ${\vec {\omega }}_{\bot }:={\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}$ hat den konstanten Betrag $\omega _{\bot }:={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}=\omega \left|\sin(\lambda )\right|$ und rotiert um die Figurenachse mit der Drehzahl ${\tfrac {\Omega }{2\pi }}$. Die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit schließen daher immer denselben Winkel, nämlich λ, ein. Die Winkelgeschwindigkeit führt im körperfesten Hauptachsensystem eine Drehbewegung um die Figurenachse aus und formt dabei den körperfesten Polkegel mit dem halben Öffnungswinkel λ (rot in Abb. 5 und Abb. 6).

Im raumfesten System ist der Drehimpuls

${\begin{aligned}{\vec {L}}=&\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}=\Theta _{0}({\vec {\omega }}-\omega _{3}{\hat {e}}_{3})+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\=&\Theta _{0}{\vec {\omega }}+(\Theta _{3}-\Theta _{0})\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\end{aligned}}$

um den Massenmittelpunkt konstant (grün in Abb. 5) und bildet die Präzessionsachse. An letzterer Zerlegung ist erkennbar, dass der Drehimpuls in der von der Figurenachse und der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ aufgespannten Ebene, der Präzessionsebene, liegt. Die Bewegung des kräftefreien symmetrischen Kreisels kann also nur darin bestehen, dass die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit gemeinsam um die raumfeste Präzessionsachse drehen.

Das Koordinatensystem kann nun – wie in Abb. 5 – so ausgerichtet werden, dass der Drehimpuls in z-Richtung weist und somit ${\vec {L}}=:L{\hat {e}}_{z}$ gilt. Weil sich die Rotationsenergie

$E_{\rm {rot}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {L}}={\frac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot L{\hat {e}}_{z}=:{\frac {1}{2}}\omega _{z}L$

ebenfalls nicht ändert, ist auch die z-Komponente ω_z der Winkelgeschwindigkeit in Richtung des Drehimpulses konstant. Damit bewegt sich die Winkelgeschwindigkeit auch um die raumfeste z-Richtung auf einem Kegel, dem raumfesten Spurkegel (blau in Abb. 5 und Abb. 6, dort „raumfester Gangpolkegel“ genannt).

Abb. 6: Bewegungsform eines oblaten, kräftefreien Kreisels

Die drei Vektoren Drehimpuls, Figurenachse und Winkelgeschwindigkeit ändern ihre relative Position nicht: der Gangpolkegel rollt auf dem Rastpolkegel ab. Beim prolaten (gestreckten) Kreisel ist Θ₀ > Θ₃ und der Gangpolkegel rollt wie in Abb. 5 außen auf dem Rastpolkegel ab. Beim oblaten (abgeplatteten) Kreisel ist Θ₃ > Θ₀ und der Gangpolkegel rollt wie in Abb. 6 innen auf dem Rastpolkegel ab.

Das Abrollen ist sogar schlupf­los, denn die gemeinsame Mantellinie von Rastpol- und Gangpolkegel ist die von der Winkelgeschwindigkeit gestellte momentane Drehachse, die durch den ruhenden Massenmittelpunkt geht (in Abb. 6 anders dargestellt). Die Partikel des Kreisels auf der Drehachse stehen still solange sie das tun, der Rastpolkegel ruht sowieso, und Schlupf zwischen Gangpol- und Rastpolkegel ist mithin ausgeschlossen.

Der Winkel ϑ zwischen der Figurenachse und dem Drehimpuls sowie die z-Komponente ω_z der Winkelgeschwindigkeit können mit der mechanischen Analyse im folgenden Abschnitt ermittelt werden.

Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels

Wenn, wie im vorherigen Abschnitt, der Drehimpuls in Richtung der z-Achse weist und die Winkelgeschwindigkeit ω sowie der Winkel λ vorgegeben werden (alle diese Größen sind Konstanten der Bewegung), dann berechnen sich der Drehimpuls

$L={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,,$

die Winkelgeschwindigkeiten

${\begin{aligned}\Omega =&{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{0}}{\Theta _{0}}}\omega \cos(\lambda )\\\omega _{1}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\Omega t)\\\omega _{2}=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\Omega t)\\\omega _{3}=&{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}=\omega \cos(\lambda )\end{aligned}}$

und die Winkel

$\psi ={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}\,t\,,\quad \vartheta =\arctan \left({\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\right)\,,\quad \varphi ={\frac {\pi }{2}}-\Omega t$

in Radiant. Die Funktion tan ist der Tangens und arctan seine Arkusfunktion. Die von der Figurenachse und der Winkelgeschwindigkeit aufgespannte Präzessionsebene, in der auch den Drehimpuls liegt, schließt mit der xz-Ebene den Winkel

$\mu ={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t$

ein.

Beweis
Der Drehimpuls ist in Abwesenheit äußerer Momente konstant und weise in einem raumfesten kartesischen xyz-Koordinatensystem in z-Richtung. Dann ergibt sich mit den Euler-Winkeln oben: ${\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\Theta _{0}\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\Theta _{3}\omega _{3}{\hat {e}}_{3}\\L=&{\vec {L}}\cdot {\hat {e}}_{z}=\Theta _{0}\omega _{1}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+\Theta _{0}\omega _{2}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\\=&\Theta _{0}{\dot {\psi }}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{3}\omega _{3}\cos(\vartheta )\end{aligned}}$ Die Winkelgeschwindigkeit ω3 und die Drehimpulse L sowie $L_{3}=\Theta _{3}\omega _{3}=L\cos(\vartheta )$ sind konstant, weshalb auch der Winkel ϑ konstant ist. Daraus folgt $L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}\quad {\text{und}}\quad {\dot {\psi }}={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}={\frac {L}{\Theta _{0}}}$ Mit den Kreiselgleichungen und den Zusammenhängen zwischen den Winkelgeschwindigkeiten und den Winkeln zeigt sich ${\begin{aligned}{\ddot {\vartheta }}=&{\dot {\omega }}_{1}\cos(\varphi )-\omega _{1}\sin(\varphi ){\dot {\varphi }}-{\dot {\omega }}_{2}\sin(\varphi )-\omega _{2}\cos(\varphi ){\dot {\varphi }}\\=&-{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\left({\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}-{\dot {\varphi }}\right)=0\end{aligned}}$ Bei ${\dot {\psi }}=0$ findet keine Drehung statt (wegen L = 0) und bei sin(ϑ) = 0 dreht der Kreisel gleichförmig um seine Figurenachse. Ansonsten ergibt sich ${\dot {\varphi }}={\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}=-\Omega$ Die z-Komponente ωz der Winkelgeschwindigkeit lautet $\omega _{z}=(\omega _{1}{\hat {e}}_{1}+\omega _{2}{\hat {e}}_{2}+\omega _{3}{\hat {e}}_{3})\cdot {\hat {e}}_{z}={\frac {\Theta _{3}\sin ^{2}(\vartheta )+\Theta _{0}\cos ^{2}(\vartheta )}{\Theta _{0}\cos(\vartheta )}}\omega _{3}$
Anfangsbedingungen
Zur Zeit t=0 ist $\omega _{3}={\vec {\omega }}\cdot {\hat {e}}_{3}=\omega \cos(\lambda )$ und diesen Wert behält ω3. Der Winkel ϑ kann nun als Funktion des Winkels λ ausgedrückt werden: ${\begin{aligned}\omega \cos(\lambda )=&\omega _{3}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )-\Omega \\\omega \sin(\lambda )=&\omega _{\bot }={\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}}}={\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\\\rightarrow \cot(\lambda )=&\cot(\vartheta )-{\frac {\Omega }{{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )}}=\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{0}}}\omega _{3}{\frac {\Theta _{0}\cos(\vartheta )}{\Theta _{3}\omega _{3}\sin(\vartheta )}}\\=&\cot(\vartheta )+{\frac {\Theta _{0}-\Theta _{3}}{\Theta _{3}}}\cot(\vartheta )\\\rightarrow \tan(\vartheta )=&{\frac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )\,.\end{aligned}}$ Der Kotangens cot ist der Kehrwert des Tangens. Wegen $\cos x=(1+\tan ^{2}x)^{-1/2}$ und $\tan(\vartheta )={\tfrac {\Theta _{0}}{\Theta _{3}}}\tan(\lambda )$ folgt für den Drehimpuls: $L={\frac {\Theta _{3}\omega _{3}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {\Theta _{3}\omega \cos(\lambda )}{\cos(\vartheta )}}={\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}\,\omega \,.$ Die Vorgaben ${\begin{aligned}\omega _{1}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\sin(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,\omega \sin(\lambda )\\\omega _{2}(t=0)=&{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )=\omega \sin(\lambda )\cos(\varphi )\,{\stackrel {\displaystyle !}{=}}\,0\end{aligned}}$ können mit dem Anfangswert ${\tfrac {\pi }{2}}$ für den Winkel φ erfüllt werden, sodass $\varphi ={\tfrac {\pi }{2}}-\Omega t$. Die Winkelgeschwindigkeit lautet mit den Additionstheoremen zur Zeit t=0: ${\vec {\omega }}=\omega \sin(\lambda ){\hat {e}}_{1}+\omega \cos(\lambda ){\hat {e}}_{3}=\omega {\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta -\lambda )\\\cos(\vartheta -\lambda )\end{pmatrix}}\,.$ Damit diese in der xz-Ebene liegt, wird der Anfangswert von ψ auf ${\tfrac {\pi }{2}}$ gesetzt, sodass sich $\psi ={\frac {\pi }{2}}+{\dot {\psi }}t={\frac {\pi }{2}}+{\frac {L}{\Theta _{0}}}t$ ergibt. Wenn der Drehwinkel der Präzessionsebene um die z-Achse mit φ bezeichnet wird und zu Beginn den Wert null hat, dann folgt mit obigem ωz und tan(ϑ), $\cos(\vartheta )=(1+\tan ^{2}(\vartheta ))^{-1/2}$ sowie ω3 = ω cos(λ): $\mu :=\omega _{z}t={\frac {\Theta _{3}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}\sin ^{2}(\lambda )}{\sqrt {\Theta _{3}^{2}\cos ^{2}(\lambda )+\Theta _{0}^{2}\sin ^{2}(\lambda )}}}\,\omega t\,.$

Kräftefreier unsymmetrischer Kreisel

Unsymmetrische Kreisel besitzen per definitionem drei verschiedene Hauptträgheitsmomente. Dreht sich ein solcher Kreisel um die 3-Achse, dann kann diese Bewegung instabil oder stabil sein. Im ersteren Fall nehmen kleine Störungen exponentiell zu und der Kreisel beginnt zu taumeln, was im nächsten Abschnitt begründet wird. Im stabilen Fall bilden sich periodische Bewegungsformen des zweiten Abschnitts aus. Über den Spezialfall der Bewegung auf der Separatrix, die im Abschnitt #Allgemeine Eigenschaften der Bewegung krätefrei rotierender Kreisel definiert wurde, wird am Schluss informiert.

Stabilität der Bewegung unsymmetrischer Kreisel

Abb. 7: Dschanibekow-Effekt: in der Schwerelosigkeit gefilmte Bewegung eines Bauteils um seine instabile Hauptträgheitsachse. Es sei betont, dass der Drehimpuls des Bauteils dabei erhalten bleibt.

Die Hauptachsen mit dem größten oder dem kleinsten Hauptträgheitsmoment sind stabile Drehachsen. Dies ist spätestens seit 1851 bekannt und mit einem rotierend in die Höhe geworfenen Tischtennisschläger auch leicht zu demonstrieren. Im Englischen ist die Aussage entsprechend als „Satz vom Tennisschläger“ (tennis racket theorem) geläufig. Nachdem der sowjetische Kosmonaut Wladimir Dschanibekow während eines Raumfluges 1985 die Bewegung eines Bauteils um seine instabile Hauptträgheitsachse beobachtet hat, wurde der Sachverhalt genauer untersucht und wird seitdem gelegentlich „Dschanibekow-Effekt“ genannt.

Um die Stabilität der Drehachsen zu prüfen, soll der Kreisel zunächst vor allem um die 3-Achse rotieren: $\omega _{3}\neq 0$ und $|\omega _{1,2}|\ll {\sqrt {|{\dot {\omega }}_{3}|}}$. Nun lauten die Kreiselgleichungen

${\begin{aligned}0=&{\dot {\omega }}_{1}-{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{2}\omega _{3}\\0=&{\dot {\omega }}_{2}-{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{3}\omega _{1}\\0=&{\dot {\omega }}_{3}-{\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{3}}}\omega _{1}\omega _{2}\approx {\dot {\omega }}_{3}\end{aligned}}$

Wie im Abschnitt #Beschreibung der Bewegung entsteht durch Ableitungen nach der Zeit und mit der näherungsweisen Konstanz der Winkelgeschwindigkeit ω₃:

${\begin{aligned}0=&{\ddot {\omega }}_{1}-{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{3}{\dot {\omega }}_{2}={\ddot {\omega }}_{1}-{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{3}^{2}\omega _{1}={\ddot {\omega }}_{1}+k\omega _{1}\\0=&{\ddot {\omega }}_{2}-{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{3}{\dot {\omega }}_{1}={\ddot {\omega }}_{2}-{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{3}^{2}\omega _{2}={\ddot {\omega }}_{2}+k\omega _{2}\\&{\text{mit}}\quad k:={\frac {\Theta _{1}-\Theta _{3}}{\Theta _{2}}}{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{3}^{2}\end{aligned}}$

Falls k negativ ist, kommt es zu positiver Rückkopplung der Winkelgeschwindigkeiten und damit zum Verlassen der Rotation um die 3-Achse hin zu einem Taumeln. Falls k positiv ist, ergeben sich periodische Bewegungsformen um die 3-Achse. Dafür müssen die Hauptträgheitsmomente Θ_1,2 entweder beide größer oder beide kleiner als das dritte Hauptträgheitsmoment Θ₃ sein, woraus die obige Aussage über die Stabilität der Achsen folgt.

Bei sehr unterschiedlichen Hauptträgheitmomenten kann auch eine stabile Drehachse instabil erscheinen. Die Poinsotsche Konstruktion gibt ein geometrisches Stabilitätskriterium für die Hauptträgheitsachsen, das diesem Phänomen gerecht wird.

Bewegungsfunktion des unsymmetrischen Kreisels

Abb. 8: Zeitverläufe der Jacobi’schen elliptischen Funktionen sn, cn und dn bei k=0,95

Die Hauptträgheitsmomente seien derart nummeriert, dass Θ₁< Θ₂< Θ₃ gilt. Dann können die Kreiselgleichungen im kräftefreien Fall mit den Jacobi’schen elliptischen Funktionen sn, cn und dn erfüllt werden. Aus der Rotationsenergie und dem Betragsquadrat des Drehimpulses

${\begin{aligned}E_{\text{rot}}:=&{\frac {1}{2}}(\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}\omega _{3}^{2})\\L^{2}:=&{\vec {L}}\cdot {\vec {L}}=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}^{2}\omega _{3}^{2}\end{aligned}}$

ergeben sich die Winkelgeschwindigkeiten

${\begin{aligned}\omega _{1}=&A_{1}\operatorname {cn} (at;k)\\\omega _{2}=&A_{2}\operatorname {sn} (at;k)\\\omega _{3}=&A_{3}\operatorname {dn} (at;k)\end{aligned}}$

mit den Amplituden

$A_{1}={\sqrt {\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}\,,\quad A_{2}={\sqrt {\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\,,\quad A_{3}={\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}{\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}\,,$

der Frequenz a und dem elliptischen Modul k

$a={\sqrt {{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{2}}{\Theta _{1}\Theta _{2}\Theta _{3}}}(L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}})}}\,,\quad k={\sqrt {{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{1}}{\Theta _{3}-\Theta _{2}}}\,{\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}}}}\,.$

Es zeigt sich

${\begin{aligned}2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}=&\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}^{2}>0\\L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}=&\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{3}^{2}>0\,,\end{aligned}}$

sodass die vorgenannten Konstanten reell sind. Die Funktionen sn und cn sind periodisch mit der Periode 4K und dn mit der Periode 2K, siehe Abb. 8. Dabei ist K das vollständige elliptische Integral erster Art:

$K:=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}\,.$

Damit ist die Winkelgeschwindigkeit periodisch mit der Periodenlänge $T={\tfrac {4K}{a}}$. Nach dieser Zeit ist die Winkelgeschwindigkeit wieder in ihren Ausgangszustand zurückgekehrt: ${\vec {\omega }}(T)={\vec {\omega }}(0)\,.$ Allerdings gilt das nicht für den Kreisel als Ganzem: Dieser kehrt im Allgemeinen nicht in eine Anfangslage zurück.

Die eulerschen Winkel, wie sie im Abschnitt #Bezeichnungen eingeführt wurden – ergeben sich aus

${\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&L{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{2}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})+\Theta _{3}(\Theta _{2}-\Theta _{1})\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}}\\\cos(\vartheta )=&{\sqrt {{\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{3}-\Theta _{1}}}{\frac {L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}{L^{2}}}}}\operatorname {dn} (at;k)\\\tan(\varphi )=&{\sqrt {\frac {\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}{\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {\operatorname {cn} (at;k)}{\operatorname {sn} (at;k)}}\end{aligned}}$

Die Formeln bleiben gültig, wenn die Hauptträgheitsmomente die umgekehrte Reihenfolge Θ₁ > Θ₂ > Θ₃ aufweisen. Allerdings kehren die Differenzen

${\begin{aligned}2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}=&\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{2})\omega _{2}^{2}<0\\L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}=&\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{1})\omega _{2}^{2}+\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})\omega _{3}^{2}<0\end{aligned}}$

dann ihr Vorzeichen um.

Anders als beim kräftefreien symmetrischen Kreisel sind die Winkelgeschwindigkeiten $\omega _{3},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {\varphi }}$ und der Winkel ϑ zwischen dem Drehimpuls und der 3-Achse nicht konstant. Im Spezialfall Θ₁=Θ₂ ist A₁=A₂ und k=0, sodass die elliptischen Funktionen sn und cn in die harmonischen Funktionen sin bzw. cos übergehen und dn≡1 ist. Dann geht die hiesige Lösung in die des symmetrischen Kreisels über.

Beweis

Zunächst wird gezeigt, dass die Winkelgeschwindigkeiten den eulerschen Kreiselgleichungen genügen. Die Jacobi’schen elliptischen Funktionen erfüllen die Differentialgleichungen ${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z;k)=&\operatorname {cn} (z;k)\operatorname {dn} (z;k)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z;k)=&-\operatorname {sn} (z;k)\operatorname {dn} (z;k)\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z;k)=&-k^{2}\operatorname {sn} (z;k)\operatorname {cn} (z;k)\end{aligned}}$ Mit $z=at$ und ${\dot {z}}=a$ ergibt sich daraus im Einklang mit den Kreiselgleichungen: ${\begin{aligned}{\dot {\omega }}_{1}=&A_{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {cn} (at;k)=A_{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {cn} (z;k){\dot {z}}=-{\frac {A_{1}a}{A_{2}A_{3}}}\omega _{2}\omega _{3}={\frac {\Theta _{2}-\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}\omega _{2}\omega _{3}\\{\dot {\omega }}_{2}=&A_{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {sn} (at;k)=A_{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {sn} (z;k){\dot {z}}={\frac {A_{2}a}{A_{1}A_{3}}}\omega _{1}\omega _{3}={\frac {\Theta _{3}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}}}\omega _{1}\omega _{3}\\{\dot {\omega }}_{3}=&A_{3}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\operatorname {dn} (at;k)=A_{3}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {dn} (z;k){\dot {z}}=-{\frac {A_{3}ak^{2}}{A_{1}A_{2}}}\omega _{1}\omega _{2}={\frac {\Theta _{1}-\Theta _{2}}{\Theta _{3}}}\omega _{1}\omega _{2}\,.\end{aligned}}$ Vergleich der Komponenten des Drehimpulses in euler-Winkeln (siehe #Bezeichnungen) liefert im mitbewegten System ê1,2,3: ${\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}\\=&{\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}A_{1}\operatorname {cn} (at;k)\\\Theta _{2}A_{2}\operatorname {sn} (at;k)\\\Theta _{3}A_{3}\operatorname {dn} (at;k)\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{3}}{L}}={\frac {\Theta _{3}A_{3}}{L}}\operatorname {dn} (at;k)={\sqrt {{\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{3}-\Theta _{1}}}{\frac {L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}{L^{2}}}}}\operatorname {dn} (at;k)\\\tan(\varphi )=&{\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {\Theta _{1}A_{1}\operatorname {cn} (at;k)}{\Theta _{2}A_{2}\operatorname {sn} (at;k)}}={\sqrt {\frac {\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}{\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {\operatorname {cn} (at;k)}{\operatorname {sn} (at;k)}}\end{aligned}}$ Der Winkel ψ bestimmt sich mit $L_{1}^{2}+L_{2}^{2}=\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}=L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )$ und cn² = 1 - sn² aus ${\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}={\begin{pmatrix}{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )\\{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )\\{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}_{{\hat {e}}_{i}}\\\rightarrow {\dot {\psi }}=&{\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )+\omega _{2}\cos(\varphi )}{\sin(\vartheta )}}=L{\frac {\omega _{1}\overbrace {L\sin(\vartheta )\sin(\varphi )} ^{L_{1}=\Theta _{1}\omega _{1}}+\omega _{2}\overbrace {L\sin(\vartheta )\cos(\varphi )} ^{L_{2}=\Theta _{2}\omega _{2}}}{L^{2}\sin ^{2}(\vartheta )}}\\=&L{\frac {\Theta _{1}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}\omega _{2}^{2}}{\Theta _{1}^{2}\omega _{1}^{2}+\Theta _{2}^{2}\omega _{2}^{2}}}=L{\frac {\Theta _{1}A_{1}^{2}\operatorname {cn} ^{2}(at;k)+\Theta _{2}A_{2}^{2}\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}{\Theta _{1}^{2}A_{1}^{2}\operatorname {cn} ^{2}(at;k)+\Theta _{2}^{2}A_{2}^{2}\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}}\\=&L{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{2}+(\Theta _{2}-\Theta _{1})\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})+\Theta _{3}(\Theta _{2}-\Theta _{1})\operatorname {sn} ^{2}(at;k)}}\,.\end{aligned}}$

Bewegung auf der Separatrix

Abb. 9: Weg eines Punktes auf der 2-Achse (rot) um die Drehimpulsachse (senkrechte Linie) entlang einer Loxodrome

Auf der Separatrix ist 2Θ₂ E_rot = L² und die Bewegung aperiodisch, weil die Winkelgeschwindigkeit keinen Zustand ein zweites Mal einnimmt. Die Bewegung des Kreisels ist hier dadurch gekennzeichnet, dass die von der 2-Achse und dem Drehimpuls aufgespannte Ebene mit konstanter Winkelgeschwindigkeit L/Θ₂ um die Drehimpulsachse kreist und der Endpunkt der 2-Achse sich auf einer Loxodrome mit dem Richtungswinkel

$\cos \eta ={\sqrt {\frac {(\Theta _{3}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}$

der durch den Drehimpuls definierten Achse nähert, siehe Abb. 9.

Die Formeln des voran gegangenen Abschnitts sind hier zwar gültig, aber weil der elliptische Modul den Extremwert

$k={\sqrt {{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{1}}{\Theta _{3}-\Theta _{2}}}\,{\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}}}}={\sqrt {{\frac {\Theta _{2}-\Theta _{1}}{\Theta _{3}-\Theta _{2}}}\,{\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-2\Theta _{2}E_{\rm {rot}}}{2\Theta _{2}E_{\rm {rot}}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}}}}=1$

annimmt, gehen die elliptischen Funktionen in die aperiodischen Hyperbelfunktionen über:

$\operatorname {cn} (at;1)=\operatorname {dn} (at;1)={\frac {1}{\cosh(at)}}$ und $\operatorname {sn} (at;1)=\tanh(at).$

Die Frequenz und die Winkelgeschwindigkeiten des voran gegangenen Abschnitts spezialisieren sich damit zu:

${\begin{aligned}a=&{\sqrt {{\frac {\Theta _{3}-\Theta _{2}}{\Theta _{1}\Theta _{2}\Theta _{3}}}(L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}})}}={\sqrt {\frac {(\Theta _{3}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{1}\Theta _{3}}}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}\\\omega _{1}=&{\sqrt {\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}\operatorname {cn} (at;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(at)}}\\\omega _{2}=&{\sqrt {\frac {2\Theta _{3}E_{\text{rot}}-L^{2}}{\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\operatorname {sn} (at;k)={\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(at)\\\omega _{3}=&{\sqrt {\frac {L^{2}-2\Theta _{1}E_{\text{rot}}}{\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}\operatorname {dn} (at;k)={\sqrt {\frac {\Theta _{2}(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {L}{\Theta _{2}\cosh(at)}}\end{aligned}}$

Mit fortschreitender Zeit gehen ω₁ und ω₃ gegen null und ω₂ gegen L/Θ₂. Die Bewegung kommt einer Drehung um die 2-Achse beliebig nah ohne diesen Zustand jemals zu erreichen. In der Realität wird diese Bewegungsform kaum auftreten, denn bei der kleinsten Abweichung vom Idealfall 2Θ₂ E_rot = L² ist k ≠ 1 und die Winkelgeschwindigkeiten werden zu den periodischen des voran gegangenen Abschnitts. Die Bewegung auf der Separatrix ist instabil. Eine Bewegung nahe der Separatrix zeigt der Dschanibekow-Effekt.

Abb. 10: Verwendetes Basissystem ${\hat {h}}_{1,2,3}$ und Meridian ${\hat {m}}$ (ψ=α, ϑ=β und φ=γ).

Für die Berechnung der Bewegung wird, anders als im vorigen Abschnitt, der Ansatz ${\hat {h}}_{1,2,3}={\hat {e}}_{Y,Z,X}$ für das lokale Basissystem benutzt, siehe Abb. 10 und vgl. Abb. 2.

Die eulerschen Winkel – siehe #Bewegungsfunktion des symmetrischen Kreisels – ergeben sich bei einem Drehimpuls in z-Richtung und einem Start mit ω₂=0 zu

${\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {L}{\Theta _{2}}}\\\cos(\vartheta )=&\tanh(at)\\\tan(\varphi )=&{\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\,.\end{aligned}}$

Die von der 2-Achse und dem Drehimpuls aufgespannte Ebene kreist mit konstanter Winkelgeschwindigkeit L/Θ₂ um die Drehimpulsachse und der Winkel ϑ geht mit fortschreitender Zeit gegen null.

Beweis

Im Basissystem ${\begin{aligned}{\hat {h}}_{1}=&{\hat {e}}_{Y}={\hat {e}}_{2}={\begin{pmatrix}-\cos(\psi )\sin(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\-\sin(\psi )\sin(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\cos(\varphi )\\\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{2}=&{\hat {e}}_{Z}={\hat {e}}_{3}={\begin{pmatrix}\sin(\psi )\sin(\vartheta )\\-\cos(\psi )\sin(\vartheta )\\\cos(\vartheta )\end{pmatrix}}\\{\hat {h}}_{3}=&{\hat {e}}_{X}={\hat {e}}_{1}={\begin{pmatrix}\cos(\psi )\cos(\varphi )-\sin(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\psi )\cos(\varphi )+\cos(\psi )\cos(\vartheta )\sin(\varphi )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}\end{aligned}}$ ergibt sich: ${\begin{aligned}{\vec {L}}=&L{\hat {e}}_{z}=L{\begin{pmatrix}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )\\\cos(\vartheta )\\\sin(\vartheta )\sin(\varphi )\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}={\begin{pmatrix}\Theta _{1}\omega _{1}\\\Theta _{2}\omega _{2}\\\Theta _{3}\omega _{3}\end{pmatrix}}_{{\hat {h}}_{i}}\\\rightarrow \cos(\vartheta )=&{\frac {L_{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}\omega _{2}}{L}}={\frac {\Theta _{2}}{L}}{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(at)=\tanh(at)\\\tan(\varphi )=&{\frac {L_{3}}{L_{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}={\frac {\Theta _{3}}{\Theta _{1}}}{\frac {{\sqrt {\frac {\Theta _{2}-\Theta _{1}}{\Theta _{2}\Theta _{3}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {L}{\cosh(at)}}}{{\sqrt {\frac {\Theta _{3}-\Theta _{2}}{\Theta _{1}\Theta _{2}(\Theta _{3}-\Theta _{1})}}}{\frac {L}{\cosh(at)}}}}={\sqrt {\frac {\Theta _{3}(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{1}(\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\end{aligned}}$ Die Komponenten der Winkelgeschwindigkeit werden mit dem neuen Basissystem: ${\begin{aligned}{\vec {\omega }}=&[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )]{\hat {e}}_{1}+[{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )]{\hat {e}}_{2}\\&+[{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}]{\hat {e}}_{3}\\=&[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\sin(\varphi )+{\dot {\vartheta }}\cos(\varphi )} _{\omega _{3}}]{\hat {h}}_{3}+[\underbrace {{\dot {\psi }}\sin(\vartheta )\cos(\varphi )-{\dot {\vartheta }}\sin(\varphi )} _{\omega _{1}}]{\hat {h}}_{1}\\&+[\underbrace {{\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}} _{\omega _{2}}]{\hat {h}}_{2}\,.\end{aligned}}$ Nun kann die Winkelgeschwindigkeit ${\dot {\psi }}$ mit ${\dot {\varphi }}=0$ aus $\omega _{2}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )+{\dot {\varphi }}={\dot {\psi }}\cos(\vartheta )$ bestimmt werden zu ${\dot {\psi }}={\frac {\omega _{2}}{\cos(\vartheta )}}={\frac {{\frac {L}{\Theta _{2}}}\tanh(at)}{\tanh(at)}}={\frac {L}{\Theta _{2}}}\,.$ Die Achse um die der Winkel ϑ dreht ist ${\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{3}-\sin(\varphi ){\hat {h}}_{1}$ und der Meridian hat somit die Richtung ${\hat {m}}={\hat {h}}_{2}\times {\hat {u}}_{\vartheta }=\cos(\varphi ){\hat {h}}_{1}+\sin(\varphi ){\hat {h}}_{3}\,.$ Die Rate der 2-Achse ist ${\dot {\hat {h}}}_{2}={\vec {\omega }}\times {\hat {h}}_{2}=\omega _{1}{\hat {h}}_{3}-\omega _{3}{\hat {h}}_{1}\,.$ Mit den obigen Zwischenergebnissen und den trigonometrischen Formeln berechnet sich der Richtungswinkel zwischen Meridian und der Rate des 2-Vektors zu der Konstanten ${\begin{aligned}\cos \eta =&{\frac {{\dot {\hat {h}}}_{2}\cdot {\hat {m}}}{|{\dot {\hat {h}}}_{2}||{\hat {m}}|}}={\frac {\omega _{1}\sin(\varphi )-\omega _{3}\cos(\varphi )}{\sqrt {\omega _{1}^{2}+\omega _{3}^{2}}}}={\frac {\left[\tan(\varphi )-{\frac {\omega _{3}}{\omega _{1}}}\right]\cos(\varphi )}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{3}^{2}}{\omega _{1}^{2}}}}}}\\=&{\frac {\tan(\varphi )-{\frac {\Theta _{1}}{\Theta _{3}}}\tan(\varphi )}{{\sqrt {1+{\frac {\Theta _{1}^{2}}{\Theta _{3}^{2}}}\tan ^{2}(\varphi )}}{\sqrt {1+\tan ^{2}(\varphi )}}}}={\sqrt {\frac {(\Theta _{3}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}}\end{aligned}}$ Der Bruch in der Wurzel ist positiv und kleiner als eins: $0<{\frac {(\Theta _{3}-\Theta _{2})(\Theta _{2}-\Theta _{1})}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}=1-{\frac {\Theta _{1}\Theta _{3}}{\Theta _{2}(\Theta _{1}+\Theta _{3}-\Theta _{2})}}<1.$

Einfluss der Reibung

Der kräfefreie Kreisel ist eine Idealisierung, die unter den Bedingungen auf der Erde nur näherungsweise zu realisieren ist. Zum einen treten in den Lagern, die den Kreisel gegen die Gewichtskraft halten, unvermeidlich Reibmomente auf und ebenso führt die Haftbedingung der Luft an festen Oberflächen zu abbremsender Wechselwirkung mit der Umgebungsluft.

Der Einfluss der Reibung in der kardanischen Aufhängung, wie in Abb. 1, macht sich beim symmetrischen Kreisel, je nachdem er gestreckt oder abgeplattet ist, unterschiedlich bemerkbar:

• Beim gestreckten Kreisel nimmt der Neigungswinkel ϑ gegenüber dem Drehimpuls zu und die Figurenachse wird zu einer labilen Drehachse.
• Beim abgeplatteten Kreisel nimmt der Neigungswinkel ϑ ab und die Figurenachse bleibt eine stabile Drehachse.

Beiden Kreiselformen ist gemeinsam, dass die Eigendrehgeschwindigkeit ω₃ mit der Zeit abnimmt.

Die Luftreibung bremst ebenfalls die Eigendrehgeschwindigkeit und wirkt unterschiedlich auf gestreckte oder abgeplattete Kreisel:

• Beim gestreckten Kreisel richtet sich die Drehachse zunehmend senkrecht zur Figurenachse aus, die auch hier eine instabile Drehachse wird.
• Beim abgeplatteten Kreisel wandert die Drehgeschwindigkeit zur Figurenachse hin, die eine stabile Drehachse bleibt.

Siehe auch

• Trägheitsellipsoid informiert über Trägheits-, Energie- und Drallellipsoid

Literatur

• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5. 
• V. I. Arnold: Mathematical Methods of Classical Mechanics. 2. Auflage. Springer, New-York / Berlin / Heidelberg / London / Paris / Tokyo 1989, ISBN 3-540-96890-3. 
• K. Magnus: Kreisel. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, ISBN 978-3-642-52163-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. November 2019]). 
• Eugene Leimanis: The General Problem of the Motion of Coupled Rigid Bodies about a Fixed Point. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1965, ISBN 978-3-642-88414-6, S. 10 ff., doi:10.1007/978-3-642-88412-2 (englisch, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 30. November 2019]). 

Weblinks

• Interaktive Animationen von Kreisel- und Pendelbewegungen (englisch).
• Freie Rotation eines quaderförmigen Körpers vom TIB AV-Portal der Technischen Informationsbibliothek.