Benutzer:Schojoha/Spielwiese/Algebra

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Mischungsrechnung

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Mischungsrechnung ist ein mathematischer Begriff der elementaren Algebra, der im Übergangsfeld zwischen Bruchrechnung und Prozentrechnung angesiedelt ist. Die Mischungsrechnung beruht wesentlich auf einer allgemeinen mathematischen Formel, mit der für einen gegebenen Stoff dessen prozentualer Anteil an einem Stoffgemisch in Form eines gewichteten arithmetischen Mittels berechnet werden kann.

Allgemeine Formel

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Gegeben seien eine natürliche Zahl und dazu Stoffe sowie ein Stoff . Für liege jeder der Stoffe mit Mengeneinheiten vor, wobei in mit einem Prozentsatz enthalten sein soll. Werden nun diese Stoffe gemischt, so ist in dem so entstandenen Stoffgemisch der Stoff mit einem Prozentsatz enhalten.

Dafür gilt:

  .
  • Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 421–422.


KKKategorie:Elementare Algebra]]

Satz von Frobenius-König (unfertig)

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Der Satz von Frobenius-König (englisch Frobenius-König theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, der im Übergangsfeld der beiden mathematischen Teilgebiete Algebraund Kombinatorik. Er geht auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius (1849–1917) und Dénes Kőnig (1884–1944) zurück und behandelt eine Fragestellung zu Permanenten von nichtnegativen Matrizen.[1]

Formulierung des Satzes

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Er lässt sich angeben wie folgt:[2]

Die Permanente einer nichtnegativen m×n-Matrix (m kleiner-gleich n) ist gleich 0 dann und nur dann, wenn die Matrix eine s×t-Untermatrix enthält derart, dass s+t=n+1 gilt und dabei alle Elemente dieser Untermatrix gleich 0 sind.

Dieser Satz ist eng verbunden mit dem Satz von König-Egerváry:

In einer aus lauter Nullen und Einsen bestehenden Matrix ist die kleinste Anzahl von Reihen bzw. Spalten, die alle Einsen enthalten, gleich der größten Anzahl von Möglichkeiten, Einsen derart auszuwählen, dass keine zwei davon in derselben Zeile oder in derselben Spalte liegen.

Satz von Landau (Gruppentheorie)

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In der Gruppentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Landau, benannt nach Edmund Landau, die Frage der Existenz von endlichen Gruppen mit vorgegebener Anzahl von Konjugationsklassen.[2]

Der Satz geht auf eine Publikation Landaus aus dem Jehre 1903 zurück und gab Anlass zu eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

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Er lässt sich angeben wie folgt:[2]

Gegeben sei eine beliebige positive natürliche Zahl .
Dann gibt es eine allein von abhängige obere Schranke derart, dass für jede endliche Gruppe mit exakt Konjugationsklassen hinsichtlich ihrer Ordnung stets die Ungleichung erfüllt ist .

Einzelnachweise

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KKKategorie:Gruppentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Landau (Gruppentheorie)]]



Satz von Hopkins

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Der Satz von Hopkins (englisch Hopkins' theorem), oft auch als Satz von Hopkins-Levitzki (englisch Hopkins–Levitzki theorem) bezeichnet, ist ein im mathematischen Teilgebiet der Ringtheorie gelegener mathematischer Lehrsatz, der auf wissenschaftliche Arbeiten der beiden Mathematiker Charles Hopkins (1902–1939) und Jakob Levitzki (1904–1956) aus dem Jahr 1939 zurückgeht. Der Satz behandelt den Zusammenhang zwischen artinschen und noetherschen Ringen.[3][4][5][6][7][8][9][10]

Der Satz gab Anlass zu eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen.

Formulierung des Satzes

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Er lässt sich angeben wie folgt:[3][4][5]

Sei ein beliebiger Ring mit Eins.
Dann gilt:
Ist linksartinsch (rechtsartinsch), so ist stets auch linksnoethersch (rechtsnoethersch) .

Andere Darstellung

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In seinem Lehrbuch Abstract Algebra (s. u.) gibt Pierre Antoine Grillet eine andere Darstellung, welche den Satz von Hopkins-Levitzki von dem Satz von Hopkins trennt. Grillet zufolge ist unter dem Satz von Hopkins zwar im Wesentlichen der oben ausgeführte Satz zu verstehen. Unter dem Satz von Hopkins-Levitzki indes fasst Grillet die folgende Aussage:[11]

Sei ein linksartinscher Ring mit Eins und sei ein unitärer Linksmodul über .
Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:
(i) ist noethersch.
(ii) ist artinsch.
(iii) ist von endlicher Länge.

Den Satz von Hopkins fügt Grillet dann als Korollar unmittelbar an.

In seinem Lehrbuch Basic Algebra (s. u.) gibt P. M. Cohn einen dem letztgenannten weitgehend gleichwertigen Satz wieder, ohne diesen indes eigens nach Autoren zu benennen. Er lautet:[12]

Sei ein linksartinscher Ring mit Eins und sei ein unitärer Linksmodul über .
Dann sind die folgenden Bedingunen gleichwertig:
(a) ist artinsch.
(b) ist noethersch.
(c) hat eine Kompositionsreihe.
(d) ist endlich erzeugt.

Auch Cohn fügt den Satz von Hopkins dann als Korollar an.

Ein verwandter Satz von Artin

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In seinem Lehrbuch Advanced Algebra (s. u.) trägt Anthony W. Knapp einen verwandten Satz vor, den er Emil Artin zurechnet und aus dem hervorgeht, dass unter speziellen Voraussetzungen noch schärfere Aussagen gegeben sind. Dieser Satz lautet:[13]

Sei ein einfacher Ring mit Eins.
Dann sind die folgenden Eigenschaften gleichwertig:
(a) ist linksartinsch.
(b) ist ein halbeinfacher Ring.
(c) besitzt ein minimales Linksideal.
(d) ist isomorph einem Matrizenring für einen Divisionsring und eine natürliche Zahl .
Sei ein einfacher Ring mit Eins.
Insbesondere git:
Ein linksartinscher Ring mit Eins ist immer auch rechtsartinsch.

Anmerkungen und Erläuterungen

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  • Wenngleich sowohl Hopkins als auch Levitzki den Satz beide unabhängig voneinander und etwa zeitgleich im Jahr 1939 fanden, konnte Levitzkis Arbeit infolge des Kriegsgeschehens erst im Jahr 1945 zur Veröffentlichung kommen.[14]
  • Wie Kurt Meyberg hervorhebt, ist der Hopkins'sche Satz ein bemerkenswerter Satz ... , der die Klasse der linksartinschen Ringe ziemlich einschränkt.[3]
  • Der Satz besagt im Wesentlichen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen für den Verband der Linksideale (Rechtsideale) das Erfülltsein der aufsteigenden Kettenbedingung eine notwendige Folge des Erfülltseins der absteigenden Kettenbedingung ist. Wie P. M. Cohn betont, ist dabei wesentlich, dass der zugrunde liegende Ring ein Einselement hat.[14]
  • Der Darstellung von T. Y. Lam zufolge waren sich offenbar weder Emmy Noether noch Emil Artin bei ihren in den 1920er Jahren vorgelegten Pionierarbeiten zu den Kettenbedingungen über die Aussage des Hopkins'schen Satz im Klaren.[15]
  • Es gibt eine Anzahl weiterer Darstellungen des Satzes bzw. der oben angesprochenen Satzvarianten, wobei es hinsichtlich der Unterschiede eine Rolle spielt, welches Gewicht dem modultheoretischen Gesichtspunkt beigemessen wird.[8][9][10]
  • Ein artinscher kommutativer Ring mit Eins ist notwendig immer noethersch.[16]

Einzelnachweise

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KKKategorie:Ringtheorie]] KKKategorie:Modul (Mathematik)]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Hopkins]]

Van der Waerdensche Permanentenvermutung

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Die Van der Waerdensche Permanentenvermutung (englisch van der Waerden permanent conjecture) ist eine berühmte mathematische Vermutung, die von dem Mathematiker Bartel Leendert van der Waerden im Jahre 1926 aufgestellt wurde. Sie behauptet eine elementare untere Abschätzung für Permanenten reeller doppelt-stochastischer Matrizen.[17][18][19][20]

Bestätigung der Vermutung

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Van der Waerdens Vermutung stand mehrere Jahrzehnte unbewiesen im Raum und konnte schließlich durch die beiden Mathematiker Georgi P. Jegortschow und Dmitry I. Falikman – die unabhängig voneinander arbeiteten – in den Jahren 1980–1981 bestätigt werden. Es gilt also der folgende Lehrsatz:[17][18][19][21]

Gegeben seien eine natürliche Zahl sowie eine reelle doppelt-stochastische Matrix .
Dann besteht die Ungleichung
.
Dabei gilt in dieser Ungleichung das Gleichheitszeichen dann und nur dann, wenn alle Elemente der Matrix gleich sind.

Hinweis zur Namensgebung

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In der englischsprachigen Fachliteratur wird die oben gegebene Ungleichung mitunter auch als Van der Waerden-Egorychev-Falikman inequality bezeichnet.[17][A 1]

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Lineare Algebra]]

KKKategorie:Kombinatorik]]

KKKategorie:Ungleichung]]

Fixpunktsatz (Endliche Gruppen)

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Zu den zahlreichen Resultaten in der Theorie der endlichen Gruppen, die im Zusammenhang mit den Sylow-Sätzen stehen, zählt ein als Fixpunktsatz bezeichneter Satz, der eine in diesem Kontext grundlegende Existenzaussage macht.[22] Der Fixpunktsatz beruht auf einer allgemeinen Formel, welche nicht zuletzt die bekannte Klassengleichung in sich einschließt.[22][23][24]

Dieser Fixpunktsatz lässt sich folgendermaßen formulieren:[25][26][27]

Gegeben seien eine endliche Menge und weiter eine Primzahl , eine natürliche Zahl sowie eine endliche Gruppe der Ordnung .[A 2]
Dabei soll vermöge der äußeren Operation auf operieren.[A 3]
Dann gelten folgende Aussagen:
(i) [A 4][A 5]
(ii) Insbesondere existiert, wenn und teilerfremd sind, mindestens ein Fixpunkt.

Allgemeine Formel

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Die oben erwähnte allgemeine Formel lässt sich wie folgt angeben:[25][27]

Gegeben seien eine Menge und eine Gruppe , die vermöge auf operieren soll.
Weiter gegeben sei ein Repräsentantensystem für die durch die Bahnen auf gegebenen Partition.
Dann gilt hinsichtlich der Mächtigkeiten die Formel
.[A 6][A 7][A 8][A 9][A 10]

Der obige Fixpunktsatz hat eine Reihe interessanter Anwendungen.

Über das Zentrum endlicher p-Gruppen

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Hier führt der Fixpunktsatz unmittelbar zu folgendem Resultat:[28][29]

Gegeben seien eine Primzahl und dazu eine endliche p-Gruppe mit zugehörigem Zentrum .
Dann gilt:
(i) Besteht ein Normalteiler nicht aus dem neutralen Element allein, so besteht auch der Durchschnitt nicht aus dem neutralen Element allein.
(ii) Insbesondere besitzt die endliche p-Gruppe im Falle, dass sie mehr als einem Element hat, ein nichttriviales Zentrum .

Zu Normalteilern endlicher p-Gruppen

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Hier ergibt sich aus dem Fixpunktsatz die folgende Strukturaussage:<[30]

Jede endliche p-Gruppe der Ordnung ( prim, ) hat einen Normalteiler der Ordnung .

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Theorie endlicher Gruppen]] KKKategorie:Satz (Mathematik)]]

Satz von Poincaré (Gruppentheorie)

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BBegriffsklärungshinweis|Der vorliegende Satz ist nur einer von mehreren mit Poincarés Namen verknüpften Sätzen. Siehe Satz von Poincaré (BKL) !}}

Zu den zahlreichen Resultaten, die Henri Poincaré in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Gruppentheorie ein als Satz von Poincaré bezeichneter Lehrsatz, in dem Poincaré eine grundlegende Fragestellung zu Indizes von Untergruppen behandelt.[31][32][33]

Der Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:[31][32][33]

Gegeben seien eine Gruppe und darin endlich viele Untergruppen .
Dann gelten folgende Aussagen:
(i)
(ii) Haben die in sämtlich endlichen Index, so hat ihr Durchschnitt selbst endlichen Index.
  • Die grundlegende Abschätzung bei (i) ergibt sich unmittelbar daraus, dass für zwei Untergruppen und jede -Nebenklasse die Gleichung erfüllt. Damit gewinnt man für den Fall sogleich die genannte Abschätzung, die sich dann auf den allgemeinen Fall durch vollständige Induktion ausdehnen lässt.[32]
  • Unter gewissen Bedingungen gilt oben bei (i) sogar das Gleichheitszeichen. Liegen etwa zwei Untergruppen vor, deren Indizes in beide endlich und dabei teilerfremd sind, so gilt sogar .[32]

Einzelnachweise

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KKKategorie:Gruppentheorie|Poincaré (Gruppentheorie), Satz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Poincaré (Gruppentheorie), Satz von]]


Identität von Ramanujan (Elementare Algebra)

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In der Elementaren Algebra ist die Identität von Ramanujan eine einfache Formel, welche aus den binomischen Formeln und den Regeln für das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken hervorgeht. Sie wird dem indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan zugeschrieben, der diese Formel in seinen berühmten Notebooks festhielt. Die ramanujansche Identität lässt sich auch als Lehrsatz der Dreiecksgeometrie deuten.[34]

Formulierung der Identität

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Für zwei reelle Zahlen gilt stets die Gleichung
  .

Geometrische Deutung

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Gegeben sei in der euklidischen Ebene ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse und mit und als Katheten.
Auf seien beide Katheten mit dem Zirkel abgetragen, so dass in drei Teilstrecken zerlegt werde, wobei zwischen und liege und zwischen und .
Dann gilt die Gleichung:
  .
In Worten:
Das Quadrat der Länge der mittleren Teilstrecke ist gleich dem Zweifachen des Produkts der Längen der beiden äußeren Teilstrecken.

Einzelnachweise

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KKKategorie:Algebra]] KKKategorie:Satz (Mathematik)]]



  1. Hier beachte man die unterschiedlichen Transkriptionen russischer Namen ins Deutsche und Englische.
  2. Mit bezeichnet man die Mächtigkeit einer Menge . Ist eine endliche Menge, so ist die Anzahl der in enthaltenen Elemente. Bei Gruppen nennt man diese Mächtigkeit auch Ordnung.
  3. Die äußere Operation und die in der gegebenen Gruppe vorliegende innere Verknüpfung werden oft mit demselben Symbol, nämlich , bezeichnet. Nicht selten wird dieses Symbol (Punkt) gänzlich unterdrückt. Es ist dann vereinbarungsgemäß .
  4. Die Teilmenge besteht aus genau den Elementen mit für alle . Man nennt solche Elemente Fixpunkte (unter der betreffenden Gruppenoperation).
  5. Mit wird die zahlentheoretische Kongruenz bezeichnet.
  6. Für ein ist dabei der zugehörige Stabilisator und sein Index in .
  7. Ein ist genau dann ein Fixpunkt (in Bezug auf die vorliegende Gruppenoperation), wenn bzw. gilt.
  8. Die Summationsbedingung wird möglicherweise von keinem erfüllt. In diesem Falle hat die Summe vereinbarungsgemäß den Wert .
  9. Den Fixpunktsatz gewinnt man aus der allgemeinen Formel unter Anwendung des Satzes von Lagrange.
  10. Bei Karpfinger/Meyberg (S. 99) findet man die allgemeine Formel unter der Bezeichnung Fixpunktformel.


Einzelnachweise

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  1. Henryk Minc: Nonnegative Matrices. 1988, S. 71–75
  2. a b c I. Martin Isaacs: Algebra. 1994, S. 48
  3. a b c Kurt Meyberg: Algebra. 1976, S. 111
  4. a b P. M. Cohn: Basic Algebra. 2005, S. 139, S. 146
  5. a b I. Martin Isaacs: Algebra. 1994, S. 198
  6. Anthony W. Knapp: Advanced Algebra. 2007, S. 92
  7. Louis Halle Rowen: Ring Theory. 1991, S. 180
  8. a b Joachim Lambek: Lectures on Rings and Modules. 1976, S. 69, 169
  9. a b Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. 1992, S. 172
  10. a b T. Y. Lam: A first Course in Noncommutative Rings. 2001, S. 19,30,55
  11. Pierre Antoine Grillet: Abstract Algebra. 2007, S. 379
  12. Cohn, op. cit., S. 145
  13. Knapp, op. cit., S. 89
  14. a b Cohn, op. cit., S. 139
  15. Lam, op. cit., S. 19
  16. Eberhard Oeljeklaus, Reinhold Remmert: Lineare Algebra I. 1974, S. 255
  17. a b c Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. 2000, S. 423
  18. a b Marshall Hall, Jr.: Combinatorial Theory. 1986, S. 58 ff.
  19. a b Henryk Minc: Nonnegative Matrices. 1988, S. 128 ff.
  20. Henryk Minc: The van der Waerden permanent conjecture. General inequalities 3, S. 731–740, 798
  21. Donald E. Knuth: A permanent inequality. Amer. Math. Monthly 88, S. 731–740, 798
  22. a b Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 65 ff., S. 67
  23. Gernot Stroth: Endliche Gruppen. 2013, S. 5 ff.
  24. Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. 2017, S. 98 ff.
  25. a b Meyberg, op. cit., S. 67
  26. Stroth, op. cit., S. 5
  27. a b Karpfinger/Meyberg, op. cit., S. 99
  28. Stroth, op. cit., S. 6
  29. Meyberg, op. cit., S. 68
  30. Meyberg, op. cit., S. 74–75
  31. a b A. G. Kurosch: Gruppentheorie I. 1970, S. 42
  32. a b c d Kurt Meyberg: Algebra. Teil 1. 1975, S. 50
  33. a b Hans Schwerdtfeger: Introduction to Group Theory. 1976, S. 64
  34. Alexander Ostermann, Gerhard Wanner: Geometry by Its History. 2012, S. 179, 369