Division (Mathematik)

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Die Division ist eine der vier Grundrechenarten der Arithmetik. Sie ist die Umkehroperation der Multiplikation. Die Division wird umgangssprachlich auch als Teilen bezeichnet. Es wird ein Dividend durch einen Divisor geteilt, das Resultat nennt sich Quotient. Die schriftliche Division ist die Methode des Teilens mit Stift und Papier. Sie wird im Schulunterricht der Grundschule gelehrt. Als Rechenzeichen für die Division werden , oder verwendet (Geteiltzeichen).

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Division als die bekannte arithmetische Grundrechenart besprechen zu können, benötigt man eine mathematische Struktur, die zwei Verknüpfungen (Rechenoperationen) kennt, genannt Addition und Multiplikation. Die beiden Verknüpfungen interagieren miteinander nach den Regeln des mathematischen Ringes. Die Multiplikation definiert die Division als die ihr zugehörige Umkehroperation. Als zusätzliche Grundrechenart ist die Addition vorausgesetzt, denn sie definiert bspw. die Null (0) als das ihr zugehörige neutrale Element.

Bemerkung
Bei den aus der Schule bekannten mathematischen Strukturen der ganze Zahlen der rationalen Zahlen der reellen Zahlen sowie der komplexen Zahlen handelt es sich um mathematische Ringe.

Teilen oder Dividieren bedeutet: Zu einer gegebenen Zahl (dem bekannten Faktor) eine passende Zahl (den unbekannten Faktor) zu finden, sodass die Multiplikation ein gewünschtes Produkt ergibt: Finde zu gegebenem und ein so, dass .

Beschränkt man sich auf ganze Zahlen , so ist dies nicht immer möglich (siehe Teilbarkeit).

In Körpern, zum Beispiel im Körper der rationalen Zahlen oder in den Körpern der reelle Zahlen sowie der komplexen Zahlen , gilt dagegen:

Für jede Zahl und für jede von null verschiedene Zahl gibt es genau eine Zahl , die die Gleichung erfüllt.

Die Division ist also die Umkehrung der Multiplikation zur Bestimmung dieses . Man schreibt

  (gelesen: „ gleich geteilt durch “ oder kurz „ gleich durch “ oder auch „ gleich dividiert durch “).“

Dabei heißen:

Division.png
  • Die Zahl , die geteilt wird, „Dividend“ (lateinisch ‚die zu Teilende‘ (nämlich: Zahl)), in der Bruchrechnung auch „Zähler“.
  • Die Zahl , durch die geteilt wird, „Teiler“ oder „Divisor“ (lateinisch ‚der, der teilt‘), in der Bruchrechnung auch „Nenner“.
  • Der Term heißt „Quotient“.
  • Das Ergebnis der Division heißt „Wert des Quotienten“ oder Quotientenwert, häufig kurz auch Quotient.

Merkhilfen:

  • Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
  • Dividend : Divisor = Wert des Quotienten (Eselsbrücke: Dividend kommt im Alphabet vor Divisor)

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Division gilt weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz. Allerdings lässt sie sich auf die Multiplikation zurückführen, denn es gilt

.

Es kann also von Vorteil sein, die Division als Multiplikation mit dem Kehrwert zu schreiben,[1] da die Multiplikation sowohl assoziativ als auch kommutativ ist und somit ein leichteres und weniger fehleranfälliges Umformen erlaubt. Für die Division gilt allerdings mit der Addition und der Subtraktion das zweite Distributivgesetz, das heißt

und .

Man spricht hier auch von der Rechtsdistributivität der Division. Das erste Distributivgesetz (Linksdistributivität) ist jedoch mit der Addition und der Subtraktion im Allgemeinen nicht erfüllt.

Bei mehreren aufeinanderfolgenden Divisionen in einer Zeile wird die Reihenfolge von links nach rechts abgearbeitet; die Division ist daher linksassoziativ[2][3][4][5][6]:

.

Eine arithmetische Division durch null ist nicht möglich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel aus einer Konditorei: Wenn man einen Kuchen zwischen null Personen aufteilen möchte, wie viel vom Kuchen bekommt dann jede Person?

Es ist nicht möglich, die Frage zu beantworten, da niemand da ist, der die Kuchen bekommen könnte. Übersetzt man diese Frage in die Sprache der Mathematik und abstrahiert von allen möglichen außermathematischen Bedeutungen, wird aus der anschaulichen Frage „Wie verteile ich etwas auf 0 Plätze?“ das rein mathematische Problem „Wie dividiere ich durch 0?“.

Mathematischer Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring.
Bei der „Division durch null“ ist der bekannte Faktor (Divisor) es wird also gefragt:

Gibt es zu einem Ringelement eine Lösung der Gleichung

Ist der Nullring, besteht also aus dem einzigen Element 0, dann hat die Gleichung die Lösung denn es ist, weil es nichts anderes gibt, und damit wie gefordert. Überdies ist die einzige Lösung.

Im Folgenden ist generell angenommen, dass mindestens 2 verschiedene Elemente hat, was bspw. bei einem Körper definitionsgemäß der Fall ist.

Gesucht sind zu einem Ringelement Lösungen der Gleichung .

  • 1. Fall: :
Für ein Ringelement ist die Gleichung nicht lösbar,[7] nicht in und auch nicht in einem Erweiterungsring . Denn, wie im Artikel Ring (Algebra) gezeigt, folgt aus den Ringaxiomen, maßgeblich dem Distributivgesetz:
Das neutrale Element der Addition eines Ringes ist Annullator mit für jedes Ringelement .
  • 2. Fall: :
Obwohl die obige Gleichung im Fall jedes Ringelement zur Lösung hat, würde die Festlegung auf ein spezielles unter ihnen (das „Eindeutigmachen“ der Division) zu Problemen führen. Bei der Setzung bspw. wähle man ein Ringelement . (Das ist möglich, weil mindestens 2 Elemente hat.) Das Assoziativgesetz der Multiplikation ergäbe:
,
was der Wahl widerspräche.

Das bedeutet im Ergebnis, dass Mengen , die bei vorhandener Addition und Multiplikation eine „Division durch null“ in irgendeiner Form (Unendlich, Undefiniert, NaN oder sonst was aus ) kennen, weder Ringe (geschweige denn Körper) sein können, weil die Ringeigenschaften nicht für die Quotienten mit Divisor null – und damit nicht für alle Elemente aus  – gelten.

Bemerkungen
  • Hat der Ring Nullteiler, wie z. B. der Ring der Restklassen modulo 6 die Reste , dann
    1. lässt sich die Gleichung nicht für jedes lösen.
      Beispiel: hat keine Lösung in , weil den Rest nicht enthält.
    2. kann eine Gleichung mit mehrere Lösungen haben.
      Beispiel: hat die drei Lösungen .
  • In der wissenschaftlichen mathematischen Literatur wird die Division durch null nur dann erwähnt, wenn diese selbst das Thema des Kapitels ist.[8][9]

Division durch null im Computer[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere beim spontanen Gebrauch eines Rechengerätes kann es vorkommen, dass durch null dividiert wird.[10] Das Ziel der Implementierungen ist dann,

  1. den Benutzer/Programmierer auf das Ereignis aufmerksam zu machen und
  2. ein (Zwischen-)Ergebnis abzuliefern, mit dem das aussichtsreichste Weiterrechnen erwartet werden kann.

Festkomma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Division durch null mit Festkommazahlen löst auf praktisch allen elektronischen Rechensystemen einen Laufzeitfehler (eine Ausnahme) vom Typ Division durch null (engl. zero-divide-exception) aus. Eine zugehörige Behandlung dieser Ausnahme wird für gewöhnlich von der Laufzeitumgebung der verwendeten Programmiersprache vorgegeben und geleistet[11][12], kann aber auch durch den Benutzer zusätzlich, bspw. durch eine catch-Anweisung, näher spezifiziert werden. In einigen Laufzeitumgebungen löst eine Division durch null undefiniertes Verhalten aus.[13]

Da der Kernel (in Zusammenarbeit mit der Laufzeitumgebung der Programmiersprache) die fehlerbehandelnde Laufzeitumgebung zur Verfügung stellt, kann eine Division durch null im Kernel selbst ggf. den gesamten Rechner zum Absturz bringen.

Gleitkomma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschieht bei einer Gleitkommaoperation ein „Überlauf“, d. h. das Ergebnis ist betragsmäßig zu groß, um dargestellt zu werden, wird es auf eine betragsmäßig sehr große Gleitkommazahl mit der Bedeutung „Unendlich“ gesetzt. Auch eine Gleitkommadivision durch null wird vielfach derart behandelt, so z. B. von der sehr verbreiteten Norm IEEE 754. Dabei wird zusätzlich ein Flag gesetzt, so dass die Programmierung einer Ausnahmebehandlung möglich ist. (Der Artikel Permanenzprinzip erörtert verschiedene Konzepte, wie unter geringstmöglichem Verzicht auf Rechenregeln, bspw. auf Ringaxiome und Ordnungsrelationen, eine „Division durch null“ definiert werden könnte.)

Ist 1 : 0 = ∞?[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph der Funktion .

Einige Menschen meinen, dass die Lösung der Division durch null unendlich sein müsse, da erfahrungsgemäß der einzelne immer mehr bekommt, je weniger da sind, mit denen er sich etwas teilen muss. Aber

  1. erstens wird durch die Einführung eines „Wertes“ die Ringstruktur und ihre Arithmetik – wie oben gezeigt – aufgegeben. Weiterreichende Konsequenzen sind die nunmehr auftauchenden unbestimmten Ausdrücke, (zu denen die Ausdrücke vom Typ eigentlich schon gehören und) die allesamt einer Spezialbehandlung bedürfen.
  2. zweitens kommt durch die Methode der Grenzwertbildung ein neues (über die Arithmetik hinausgehendes, nämlich ein topologisches) mathematisches Konzept zum Tragen, mit dem in einigen Fällen ein sinnvolles Ergebnis für eine nicht direkt berechenbare Aufgabe ermittelt werden kann. Wendet man aber diese Methode auf das Beispiel an, so strebt das Ergebnis tatsächlich gegen unendlich, allerdings nur, wenn man sich der Null von der positiven Seite aus nähert, also Nähert man sich der Null hingegen aus Richtung der negativen Zahlen an, so strebt der Wert der Funktion gegen , also Somit strebt die Funktion an der Stelle sowohl gegen als auch gegen , hat also keinen eindeutigen Grenzwert.
    Wie das Beispiel zeigt, kommen zusätzliche Probleme betreffend die bei den Strukturen und so wichtige Ordnungsrelation hinzu.
    Wenn man der Division unbedingt immer (auch der Division durch null) einen Wert zuweisen möchte, dann muss dieser auch die bei der Division sonst übliche Eindeutigkeit besitzen, eine Festlegung auf einen solchen ist bei jeder Wahl unbefriedigend und die Zuweisung einer Lösungsmenge ebenso.[14][9]
Resümee
  1. Die Komplikationen, die mit einer Einführung eines „Wertes“ für einher gehen, sind in jeder Hinsicht (insbesondere Einschränkung der Gültigkeit der Arithmetik, daraus resultierende Aufblähung der erforderlichen Rechenregeln, Mehrdeutigkeit) wesentlich nachteiliger als die einfache Anerkenntnis der einfachen Tatsache, dass Gleichungen vom Typ keine Lösung haben.
    Vielmehr ergeben sich viele neue Probleme, die mit einem derartigen Kalkül nicht sachgerecht behandelt werden können.
  2. Abhängig vom gegebenen Fall gelingt es häufig, mit Methoden der Analysis unter Hinzunahme zusätzlicher Informationen, bspw. Monotonie und Stetigkeit, zu einer fundierten Lösung zu kommen, einer Lösung, die nur noch ganz entfernt an eine „Division durch null“ erinnert.

Division mit Rest[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Bereich der ganzen Zahlen gilt: Eine Division ist nur dann gänzlich durchführbar, wenn der Dividend ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors ist. Im Allgemeinen ist die Division hingegen nicht vollständig durchführbar, das heißt, es bleibt ein Rest übrig.

Schreibweisen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt mehrere Schreibweisen für die Division: oder oder oder

Der Doppelpunkt als Zeichen für die Division ist erst seit Leibniz (1646–1716) allgemein üblich, wenngleich er auch in älteren Schriften bekannt ist. William Oughtred führte die Notation in seinem Werk Clavis Mathematicae von 1631 ein.

Die Schreibweise heißt auch Bruchdarstellung oder kurz Bruch. Die Bruchschreibweise ist nur bei kommutativer Multiplikation eindeutig; das spielt in allgemeineren mathematischen Strukturen eine Rolle, wie sie unten unter „Verallgemeinerung“ erwähnt werden.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der abstrakten Algebra definiert man algebraische Strukturen, die Körper genannt werden. Körper zeichnen sich dadurch aus, dass in ihnen die Division (außer durch 0) stets möglich ist. Die Division erfolgt hier durch Multiplikation mit dem inversen Element des Divisors.

In allgemeineren Strukturen (mit nichtkommutativer Multiplikation) muss man zwischen Linksdivision und Rechtsdivision unterscheiden. Auch hat die (Nicht-)Gültigkeit des Assoziativgesetzes Einfluss auf die Eigenschaften von Quotienten.

Landesspezifisches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Österreich wird gelegentlich zwischen Messen (wie oft geht es in …?) und Teilen (wie viel ergibt es geteilt durch …?) unterschieden.[15]

Bis in die 1970er wurde auch in deutschen Grundschulen gelegentlich zwischen Aufteilen (in Gruppen) (österr. Messen) und Verteilen unterschieden.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Division (mathematics) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
WiktionaryWiktionary: Division – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sie ist der Schreibweise mit Bruchstrich insbesondere im nicht-kommutativen Fall vorzuziehen, weil sie eine eindeutige Reihenfolge der Operationen vorgibt.
  2. Rochester Institute of Technology: Order of operations
  3. Education Place: The Order of Operations
  4. Khan Academy: The Order of Operations (Video, ab 05:40)
  5. Virginia Department of Education: Using Order of Operations and Exploring Properties, Absatz 9
  6. Technische Universität Chemnitz: Vorrangregeln und Assoziativität
  7. »Nicht lösbar« ist eine schärfere Aussage als »undefiniert«. Bei letzterem könnte es noch einen Freiheitsgrad für eine Definition geben. Bei ersterem ist diese Möglichkeit ausgeschlossen.
  8. Eine echte Grenzwertbildung, etwa nach Art der Regel von de l’Hospital, ist nicht als Division durch null anzusehen.
  9. a b Der Artikel Erweiterte reelle Zahl bringt zwei topologische Erweiterungen der reellen Zahlen, geht aber auch auf arithmetische Probleme ein.
  10. Sunk by Windows NT. In: Wired News, 24. Juli 1998. 
  11. Python Errors and Exceptions. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  12. Java ArithmeticException. Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch).
  13. ISO/IEC 9899:201x. (PDF; 1,6 MB) Abgerufen am 30. Mai 2017 (englisch, nicht-normatives Arbeitsdokument).
  14. Eric Weisstein, Wolfram MathWorld: Division by zero
  15. veritas.at