Arkustangens und Arkuskotangens

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Abb. 1: Graph der Funktion arctan(x)
Abb.2 : Graph der Funktion arccot(x)

Arkustangens und Arkuskotangens sind zwei miteinander verwandte mathematische zyklometrische Funktionen.

Arkustangens (geschrieben oder )[1] sowie Arkuskotangens (geschrieben , und neuerdings auch )[2] sind die Umkehrfunktionen der geeignet eingeschränkten Tangens- und Kotangensfunktionen: Eine Einschränkung der ursprünglichen Definitionsbereiche ist nötig, weil Tangens und Kotangens periodische Funktionen sind. Man wählt beim Tangens das Intervall und beim Kotangens meist das Intervall .

Zusammen mit Arkussinus und Arkuskosinus als Umkehrfunktionen des Sinus und Kosinus bildet der Arkustangens den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der heute für Umkehrfunktionen gebräuchlichen allgemeinen Schreibweise beginnt dabei aber auch in diesem Fall die namentlich auf Taschenrechnern verbreitete Schreibweise die klassische Schreibweise zu verdrängen, was leicht zu Verwechslungen mit dem Kehrwert des Tangens, dem Kotangens, führen kann.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens Arkuskotangens
Definitionsbereich
Wertebereich
Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
Symmetrien Ungerade Funktion:
Punktsymmetrie zu
Asymptoten für für
für
Nullstellen keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte

Einige spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen der Punktsymmetrie ist mit auch ein Wertepaar der Arkustangensfunktion.

Näherungsweise Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gelten folgende Näherungen:

Arkustangens, maximale Abweichung unter 0,005 Radianten:[3]

Eine weitere Berechnungsmöglichkeit bietet CORDIC.

Arkuskotangens:

Reihenentwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Taylorreihe des Arkustangens mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

Die Taylorreihe des Arkuskotangens mit dem Entwicklungspunkt x = 0 lautet:

Diese Reihen konvergieren genau dann, wenn und ist. Zur Berechnung des Arkustangens für kann man ihn auf einen Arkustangens von Argumenten mit zurückführen. Dazu kann man entweder die Funktionalgleichung benutzen oder (um ohne π auszukommen) die Gleichung

Durch mehrfache Anwendung dieser Formel lässt sich der Betrag des Arguments beliebig verkleinern, was eine sehr effiziente Berechnung durch die Reihe ermöglicht. Schon nach einmaliger Anwendung obiger Formel hat man ein Argument mit , so dass schon mal obige Taylorreihe konvergiert, und mit jeder weiteren Anwendung wird mindestens halbiert, was die Konvergenzgeschwindigkeit der Taylorreihe mit jeder Anwendung der Formel erhöht.

Wegen hat der Arkuskotangens am Entwicklungspunkt die Taylorreihe:

Sie konvergiert für und stimmt dort mit dem oben angegebenen Hauptwert überein. Sie konvergiert auch für , allerdings mit dem Wert . Manche Pakete der Computeralgebra geben für den am Ursprung unstetigen, aber punktsymmetrischen und am unendlich fernen Punkt stetigen Wert als Hauptwert.

Funktionalgleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Arkustangenswerte über 1 oder unter −1 lassen sich aus den Werten zwischen −1 und 1 ableiten:

Gleiches gilt für die Arkuskotangenswerte:

Wenn man durch die erste Gleichung einen Arkustangenswert von 0 bis 1 erhält, kann anschließend folgende Gleichung angewandt werden:

für 0 < x ≤ 1

Hiermit lässt sich der Arkustangenswert auf den Bereich von 0 bis ≈ 0,577 verkleinern.

Weitere Querbeziehungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Summenformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Additionstheorem für die Tangensfunktion folgt:

Aus dem Additionstheorem für die Kotangensfunktion folgt:

Beispielsweise gilt:

und

Als Arkuskotangens geschrieben:

und

Berechnung der Kreiszahl π mit Hilfe des Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Reihenentwicklung kann dazu verwendet werden, die Zahl π mit beliebiger Genauigkeit zu berechnen: Die einfachste Formel ist der Spezialfall die Leibniz-Formel

Da sie nur extrem langsam konvergiert, verwendete John Machin 1706 die Formel

um die ersten 100 Nachkommastellen von π mit Hilfe der Taylorreihe für den Arkustangens zu berechnen. Letztere konvergiert schneller und wird auch heute noch für die Berechnung von π verwendet.

Im Laufe der Zeit wurden noch mehr Formeln dieser Art gefunden. Ein Beispiel stammt von F. C. W. Störmer (1896):

was gleichbedeutend damit ist, dass der Realteil und der Imaginärteil der Gaußschen Zahl

gleich sind.

Gleiches gilt für die Formel von John Machin, wobei hier die Gaußsche Zahl

beträgt und mit einem normalen Taschenrechner berechnet werden kann.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Arkuskotangens:

Stammfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Arkustangens:

Eine Stammfunktion des Arkustangens selbst ist

Der Arkustangens spielt eine wesentliche Rolle bei der symbolischen Integration von Ausdrücken der Form

Ist die Diskriminante nichtnegativ, so kann man eine Stammfunktion mittels Partialbruchzerlegung bestimmen. Ist die Diskriminante negativ, so kann man den Ausdruck durch die Substitution

in die Form

bringen; eine Stammfunktion ist also

Arkuskotangens:

Eine Stammfunktion des Arkuskotangens ist

.

Komplexer Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lässt man komplexe Argumente und Werte zu, so hat man

  mit

eine Darstellung, die sich leicht in Real- und Imaginärteil aufspalten lässt.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann im Komplexen sowohl den Arkustangens als auch den Arkuskotangens durch einen komplexen Logarithmus ausdrücken:

Arkustangens:

für in der zweifach geschlitzten Ebene:

Arkuskotangens:

Umrechnung ebener kartesischer Koordination in polare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Punkt in der Ebene durch Polarkoordinaten gegeben, so sind seine kartesischen Koordinaten durch die Formeln

bestimmt.

Die Umrechnung in der Gegenrichtung ist etwas komplizierter. Auf jeden Fall gehört der Abstand des Punktes vom Ursprung

zur Lösung. Ist nun dann ist auch und es spielt keine Rolle, welchen Wert hat. Dieser Fall wird im Folgenden als der singuläre Fall bezeichnet.

Ist aber dann ist   (weil beide Funktionen und mit rad periodisch sind)   nur modulo bestimmt, d. h. mit ist auch für jedes eine Lösung.

Trigonometrische Umkehrfunktionen sind erforderlich, um von Längen zu Winkeln zu kommen. Hier zwei Beispiele, bei denen der Arkustangens zum Einsatz kommt.

Abb. 3: φ als Außenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks

Halber Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der nebenstehenden Zeichnung ist die Polarachse (die mit der -Achse definitionsgemäß zusammenfällt) um den Betrag in die -Richtung verlängert, also vom Pol (und Ursprung) bis zum Punkt . Das Dreieck ist ein gleichschenkliges, so dass die Winkel und gleich sind. Ihre Summe, also das Doppelte von einem von ihnen, ist gleich dem Außenwinkel des Dreiecks Dieser Winkel ist der gesuchte Polarwinkel . Mit dem Abszissenpunkt ist im rechtwinkligen Dreieck

was nach aufgelöst

ergibt.

Die Gleichung versagt, wenn ist. Dann muss wegen auch sein. Wenn jetzt ist, dann handelt es sich um den singulären Fall. Ist aber dann sind die Gleichungen durch oder zu befriedigen. Das ist in Einklang mit den Wertebereichen     resp.     der folgenden Funktion.

Der „Arkustangens“ mit zwei Argumenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei vom Ursprung verschiedene Punkte und spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf derselben Halbgeraden (Strahl) durch liegen.[4] Der Graph des Arkustangens befindet sich gemäß Abb. 1 in den Quadranten I und III.

Abb. 4: Graph von atan2(y,x) für |x|≫0.
Quadrant in Abhängigkeit von sgn(x).

Man kann aber die durch einen Punkt gezogene Halbgerade mit der punktsymmetrischen Halbgeraden in den gegenüberliegenden Quadranten II oder IV verlängern – bei ungeändertem Tangens des Winkels. Ergebnisse in diesem Quadranten werden vom Arkustangens jedoch nicht geliefert.

Es gibt aber in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und die den Polarwinkel modulo und in allen vier Quadranten (s. Abb. 4) zurückgibt. Sie hat häufig den Namen [5] mit dieser Reihenfolge der Argumente (wohl eine Reminiszenz an ). Aber auch kommt vor.[6]

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Definition der Funktion

[7]   oder  
für  
  für  
  für   (obererunterer Rand des Wertebereichs)
für  
für  
für  

kann der Einzelfall dem Fall in der Zeile darüber oder darunter zugeschlagen werden, wodurch das Intervall des Wertebereichs an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also , oder eben umgekehrt . Die 6 Fälle lassen sich zu der Formel

vereinigen.[8]

Dem Argument wird manchmal der Funktionswert zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, die Funktion für über den Hauptwert des komplexen Logarithmus zu definieren:

Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik genutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich mit bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von in die Polarform überführt, also wieder effektiv auf die obige atan2-Funktion zurückgreift.

Arkustangens mit Lageparameter[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 5: Arkustangens mit Lageparameter

In vielen Anwendungsfällen soll die Lösung der Gleichung so nahe wie möglich bei einem gegebenen Wert liegen. Dazu eignet sich die mit dem Parameter modifizierte Arkustangens-Funktion

.

Die Funktion rundet zur engstbenachbarten ganzen Zahl.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Inverse Tangent. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric Weisstein: Inverse Cotangent. In: MathWorld (englisch).
  3. Weitere Approximationen (en) (Memento vom 16. April 2009 im Internet Archive)
  4. Dann sind sie bezüglich der folgenden Relation
    äquivalent.
    Die Begriffsbildung gestattet auch eine einfache und präzise Spezifikation der Werte und an den Polstellen des Tangens.
  5. so die Programmiersprachen C, C++, Java, Python, MATLAB, R
  6. so die Tabellenkalkulationen Excel, OpenOffice Calc
  7. Man beachte, dass hier genau genommen die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelte Ebene ist, was aber keine Auswirkungen auf den Funktionswert hat.
  8. Die Funktion ist bis auf den Fall punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:
    .