arctan2

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Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.

Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Information, um den Funktionswert in einem Wertebereich von (also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken. Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion die beiden kartesischen Koordinaten als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel , der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen

 und
  mit

erfüllt. Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch anstatt

Das kommt von der Definitionsmenge der Funktion der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer Null, der multiplikativen Gruppe Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag

Lösung: Zwei Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei vom Ursprung verschiedene Punkte und spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf demselben Strahl durch liegen. Dann sind sie bezüglich der durch

definierten Relation äquivalent.[1] Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe, wenn der Strahl um oder , also genau in den Gegenstrahl, weitergedreht ist. Informationstheoretisch betrachtet lässt der Tangens die Vorzeicheninformation (rot in den Formeln) von unter den Tisch fallen:

 

man nehme nur .

Abb. 1: Graph der Arkustangensfunktion

Da der Tangens mit periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt, muss für seine Umkehrung (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden) sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlänge eingeschränkt werden – in diesem Artikel auf das Intervall (s. Abb. 1). Das hat zur Folge, dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein größeres Bild als haben kann. Dabei ist die ganze reelle Achse als Definitionsbereich des Arkustangens zulässig, weil das Bild des Tangens unter gerade ist.

Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo (bspw. im Intervall wie der Abb. 2) und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können.

Implementierungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die erste Implementierung war nicht später als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran.[2] Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden.

Die Funktion hat häufig den Namen , so bei den Programmiersprachen Fortran 77[3], C, C++, Java, Python, Matlab, R, iWork Numbers[4], LibreOffice Calc[5]. In vielen dieser Programmiersprachen (nicht bspw. bei LibreOffice Calc) ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt, also die -Koordinate das erste Argument. In Common Lisp, wo optionale Argumente existieren, erlaubt die -Funktion, die -Koordinate als optionales zweites Argument zu übergeben[6], wobei die Standardannahme ist.

Ein anderer Name ist , so bei den Tabellenkalkulationen Excel[7], und OpenOffice Calc.

In Mathematica ist eine Funktion definiert, bei der das erste Argument weggelassen werden kann.

Zur Beachtung
In diesem Artikel wird die Reihenfolge und der Name verwendet.

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die sechs Fälle der Funktionsdefinition

      oder  
für (Quadranten und )
für (Quadrant )
für (obererunterer Rand der Bildmenge)
für (Quadrant )
für
für

mit als der „gelochten“ Ebene lassen sich zur Formel

vereinigen. Die Funktion ist bis auf den Fall (die Sprungstelle, s. u.) punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:

.

Andererseits ist

für
für
für (die Sprungstelle).

Dem Argument wird manchmal der Funktionswert zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.

Ein Genauigkeitsverlust der Division wegen lässt sich für bspw. durch eine Umformung

umgehen (s. jedoch auch den Abschnitt #Genauigkeitskontrolle).

Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des Polarwinkels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 2: Graph von     über     für .
-Ziel- = -Quell-Quadrant mit blauer römischer Ziffer.

Bei abnehmendem Polarwinkel d. h. bei einer Drehung entgegen dem mathematischen und im Uhrzeigersinn, beginnt eine Periode in der Abb. 2 am (Strahl durch den) Punkt

[8]
,

von wo es auf dem roten Graphen von rechts oben nach links unten (immer in „WSW-Richtung“) weitergeht. Wie üblich soll bei Annäherung an die Null eine von oben und eine von unten her bedeuten. Die Drehung führt weiter in den Quadranten über den (nicht in der Abb. eingetragenen) Punkt

zum Punkt

,

der der Polstelle des Tangens entspricht und deshalb für den Arkustangens ein unendlich ferner Punkt ist. Der -Wert wechselt von nach . Diesen Sachverhalt symbolisiert die Abb. 2 mit dem roten Kringel links im Quadranten als Senke und dem roten Knubbel rechts im Quadranten als Quelle. Aus Sicht der Funktion geschieht aber nichts weiter, als dass der -Wert sich von zu ändert.

Die weitere Drehung führt durch den Quadranten zum Punkt

,

der im Koordinatenursprung liegt, und von dort durch den Quadranten zum Punkt

.

Dieser Punkt entspricht der Polstelle des Tangens, seiner zweiten. Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke links im Quadranten mit der Quelle rechts im Quadranten statt wie oben beim Argument . Die weitere Drehung durch den Quadranten führt schließlich zur Sprungstelle

.

Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel entweder dem Fall in der Zeile darüber oder dem darunter zugeschlagen werden, wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also , oder eben umgekehrt .

Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten, dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden, dass

  • die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt (einem beliebigen Strahl) des Definitionsbereichs liegt;
  • auch bei einer Drehung über die Periodenlänge hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu- bzw. abnimmt. Hier kommt die Windungszahl ins Spiel.

Isomorphie zur Kreisgruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die präzise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild- wie auf der Bild-Seite zusätzlicher Hilfsabbildungen.

Auf der Definitionsmenge von kann man (in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen) die Verknüpfung

definieren.[9] Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Äquivalenzrelation , und die Faktormenge

erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element und der Inversenbildung

.[10]

Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung

weil äquivalente Repräsentanten denselben -Wert liefern. Aus der Summenformel des Arkustangens folgt

Wendet man auf die Funktion die Funktion

an, dann ergibt sich ein Homomorphismus mit

auf die Kreisgruppe , dessen Kern das neutrale Element mit ist. Sind und mit der natürlichen Topologie ausgestattet, dann ist in beiden Richtungen stetig, mithin ein Homöomorphismus.

Genauigkeitskontrolle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel lässt sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe (des Arkustangens) kontrollieren und ggf. verbessern.

Der Winkel von zeichnet sich dadurch aus, dass er ein ganzzahliger Bruchteil, nämlich ein Achtel, des vollen Winkels von ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht. Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten, dass ihre Begrenzungen (die definitionsgemäß stets Strahlen sind) parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Bei Oktanten[11] kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu. Die Feststellung, zu welchem der acht Oktanten ein Punkt gehört, ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach.

Schreibweise
In diesem Abschnitt werden in den Beziehungen zwischen Strahlen und Winkeln die gewohnten Operatoren     mit der darübergeschriebenen Tilde     verwendet, um auszudrücken, dass ein Strahl eine Äquivalenzklasse   ist. Und bei den Vergleichsoperatoren     wird der Strahl stets mit dem ihm am nächsten liegenden Winkel verglichen.
Um Verwechslungen mit Koordinaten zu vermeiden, wird in den Dezimaldarstellungen statt des Kommas der Dezimalpunkt verwendet.

Im Folgenden wird versucht, einen beliebigen Strahl resp. Winkel mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall zu drehen. Dann ist nämlich der Absolutbetrag des Arguments in der Taylorreihe des Arkustangens .

In einer ersten Drehung wird der Strahl um gedreht, d. h. der Strahl

gebildet. Der Oktant, in den dieser Strahl fällt, sei der -te, und die Nummerierung der Oktanten sei so gewählt, dass der erste das Winkelintervall abdeckt:

Nummer des Oktanten
seine untere und obere Begrenzung

 
die obere als Strahl
die obere als Polarwinkel

Vom derart bestimmten Oktanten wird der obere begrenzende Strahl genommen, der durch einen Punkt aus der in der Tabelle gezeigten Menge von Strahlen charakterisiert werden kann. (Alle diese Punkte haben ganzzahlige Koordinaten, und beim ersten Oktanten ist bspw. .) Dann ist oder

.

Es folgt eine Drehung von , die zweite, jetzt um , so dass

im gewünschten Winkelintervall ist. Um diese zweite Drehung von mit ganzzahligem muss das Ergebnis, wenn der Arkustangens berechnet ist, korrigiert werden.

Die erste Drehung muss nur ungefähr betragen. Wenn sie davon etwas abweicht, etwa oder auch beträgt, dann wird der Strahl möglicherweise nicht so gut in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall eingepasst. Das Konvergenzverhalten verschlechtert sich aber wegen nur geringfügig auf .

Nach der zweiten Drehung kann die Taylorreihe (an der Entwicklungsstelle )

entwickelt und die abschließende Korrektur

vorgenommen werden.

Beispiele
  1. Der Ausgangsstrahl sei , was einem Winkel von ca. entspricht. Durch die -Addition von kommen wir auf , also in den -ten Oktanten. Dessen obere Begrenzung liegt bei . Wir bilden die Differenz und berechnen mit und korrigieren mit zum Endergebnis .
  2. Der Ausgangsstrahl sei , was einem Winkel von ca. entspricht. Durch die -Addition von kommen wir auf , also in den -ten Oktanten. Das obere Ende des Oktanten liegt bei . Da dieser Oktant die Sprungstelle enthält, setzen wir bei diesem -ten Oktanten im Fall den Korrekturwinkel auf . Wir bilden die Differenz und berechnen mit und korrigieren mit .

Verbindung zum komplexen Logarithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Funktion für auch über den Hauptwert des komplexen Logarithmus definieren als

mit der Argument-Funktion . Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik benutzt, um korrekte Gelenkeinstellungen berechnen zu können. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung derselben Möglichkeit, da man letztlich mit bestimmen muss und dazu die gegebene kartesische Darstellung von in die Polarform überführt, wobei man im Endeffekt wieder auf die obige -Funktion mit reellen Argumenten zurückgreift.

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Funktion hängt von zwei Variablen ab und ist (außer im Ursprung) stetig differenzierbar, hat also zwei partielle Ableitungen. Für die Bedingung des ersten Falls und dessen Zuordnung ergibt sich

Die Einschränkung auf den ersten Fall kann nachträglich fallen gelassen werden, so dass die Gleichungen für alle gelten.[12]

Damit ist

der Gradient der Funktion , und seine Richtung ist an jedem Punkt senkrecht zum Radiusvektor in mathematisch positiver Drehrichtung. Das passt zu der Tatsache, dass der Funktionswert von , der Polarwinkel, in dieser Richtung zunimmt.

Des Weiteren folgt für das totale Differential

Eine Integration dieses Differentials entlang eines Weges ergibt die Änderung des (Polar)winkels über den Weg. Ist der Weg geschlossen, so erhält man die Windungszahl (in Bezug auf den Ursprung ).

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Begriffsbildung gestattet u. a. eine einfachere und präzisere Spezifikation der Werte und die der auf zwei Tangens-Perioden aufgeteilten Polstelle des Tangens entsprechen.
  2. Elliott I. Organick: A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley, 1966, S. 42: „Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent).“
  3. Fortran Wiki atan2. GNU Free Documentation License (GFDL).
  4. Numbers’ Trigonometric Function List. Apple.
  5. LibreOffice Calc ATAN2. Libreoffice.org.
  6. CLHS: Function ASIN, ACOS, ATAN. LispWorks.
  7. Microsoft Excel Atan2 Method. Microsoft.
  8. Entsprechend den 2 Argumenten der -Funktion werden zwei Koordinaten als unabhängige Variable und nicht nur der Quotient aufgeführt.
  9. Diese Definition stimmt überein mit den Regeln der komplexen Multiplikation, welche auch dem Additionstheorem des Tangens zugrunde liegen.
    In diesem Artikel kommt es besonders auf ihre Eignung für ganzzahlige Koordinaten an.
  10. Von den komplexen Zahlen her weiß man, dass das -Inverse von auf ganz (und nicht nur auf )
    ist und dass eine abelsche Gruppe ist, was aber im Text so nicht gebraucht wird.
  11. Gemeint ist der Halbquadrant, der dem nautischen Gerät Oktant und der Windrose mit den vier Nebenhimmelsrichtungen entspricht, und nicht der dreidimensionale Oktant (Geometrie).
  12. Die Ableitungen sind gebrochen rationale Funktionen und enthalten keine transzendente Funktion. Dieses Phänomen ist aber schon vom Arkustangens her bekannt.