Primzahlzwillings-Bi-Kette

In der Zahlentheorie ist eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ eine Primzahlenfolge der Form

$(n-1,n+1),(2n-1,2n+1),\ldots (2^{k}\cdot n-1,2^{k}\cdot n+1)$

(der Ausdruck kommt vom englischen Bi-twin chain bzw. Bitwin chain).

Beispiele

• Die kleinsten $n$, welche eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 generieren (also auf die beiden Paare $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ führen), sind die folgenden:

6, 30, 660, 810, 2130, 2550, 3330, 3390, 5850, 6270, 10530, 33180, 41610, 44130, 53550, 55440, 57330, 63840, 65100, 70380, 70980, 72270, 74100, 74760, 78780, 80670, 81930, 87540, 93240, 102300, 115470, 124770, 133980, 136950, 156420, … (Folge A066388 in OEIS)

• Die kleinsten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden (dabei ist $n\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\ldots \cdot n$ das Produkt aller Primzahlen bis $n$ (Primfakultät)):

$k+1$	kleinste bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
$1$	$2\#\cdot 2\pm 1$ (also $(3,5)$)	$1$	---	---
$2$	$3\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1$ (also $(5,7),(11,13)$)	$1$ und $2$	---	---
$3$	$1005\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2$	$6$	September 1998	Henri Lifchitz
$4$	$151\cdot 7\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=3,4,5,6$	$6$ bis $7$	September 1998	Henri Lifchitz
$5$	$1394847\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4$	$11$ bis $12$	Dezember 1998	Jack Brennen
$6$	$1228253271\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6$	$14$ bis $16$	Dezember 1998	Jack Brennen
$7$	$11228462199623\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6$	$18$ bis $20$	Oktober 1999	Paul Jobling
$8$	$21033215071024191\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$	$21$ bis $23$	Februar 2002	Paul Jobling, Phil Carmody
$9$	$1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$	$24$ bis $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

• Die größten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:

$k+1$	größte bekannte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker	Quelle
$1$	$2996863034895\cdot 2^{1290000}\pm 1$	$388342$	September 2016	Tom Greer
$2$	$117864619517\cdot 6907\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2$	$2971$ und $2972$	Juni 2017	Oscar Östlin
$3$	$204035674219\cdot 1609\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2$	$695,695$ und $695$	Juli 2016	Didier Boivin
$4$	$9185178409925\cdot 487\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3$	$214,214,215$ und $215$	Februar 2017	Didier Boivin
$5$	$4423253751167971164005\cdot 307\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=15,16,17,18,19$	$149,150,150,150$ und $151$	April 2015	Andrey Balyakin
$6$	$386727562407905441323542867468313504832835283009085268004408453725770596763660073\cdot 61\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=45,46,47,48,49,50$	$118,118,118,119,$ $119$ und $119$	April 2014	Primecoin
$7$	$1165654412459516061933\cdot 73\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=7,8,9,10,11,12,13$	$52,53,53,53,$ $53,54$ und $54$	April 2015	Andrey Balyakin
$8$	$10739718035045524715\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=0,1,2,3,4,5,6,7$	$24,24,25,25,25,$ $26,26$ und $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski
$9$	$1873321386459914635\cdot 13\#\cdot 2^{n}\pm 1$ mit $n=1,2,3,4,5,6,7,8,9$	$24,24,24,24,25,$ $25,25,26$ und $26$	Dezember 2008	Jaroslaw Wroblewski

Die Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 9 ist momentan (Stand: 20. Juni 2017) die längste bekannte Kette. Es ist auch gleichzeitig die einzige bekannte Kette dieser Länge.

Eigenschaften

• Eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 1 hat die Form $(n-1,n+1)$. Man nennt sie Primzahlzwilling.
• Jedes der Paare $(2^{i}\cdot n-1,2^{i}\cdot n+1)$ mit $0\leq i\leq k$ ist ein Primzahlzwilling.
• Die Zahlen $n-1,2n-1,\ldots ,2^{k}n-1$ bilden eine Cunningham-Kette der ersten Art mit $k+1$ Gliedern.
• Die Zahlen $n+1,2n+1,\ldots ,2^{k}n+1$ bilden eine Cunningham-Kette der zweiten Art mit $k+1$ Gliedern.
• Jede Primzahl der Form $2^{i}\cdot n-1$ mit $0\leq i\leq k-1$ ist eine Sophie-Germain-Primzahl.
• Jede Primzahl der Form $2^{i}\cdot n-1$ mit $1\leq i\leq k$ ist eine sichere Primzahl.
• Sei $n\in \mathbb {N}$ mit $n>6$, sodass $(n-1,n+1),(2n-1,2n+1)$ mindestens eine Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge 2 ist. Dann gilt:

$n=30k$ mit $k\in \mathbb {N}$

Verallgemeinerung

Eine verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ ist eine Primzahlenfolge der Form

$(n-1,n+1),(b\cdot n-1,b\cdot n+1),\ldots (b^{k}\cdot n-1,b^{k}\cdot n+1)$ mit $b\in \mathbb {N}$

Beispiele

• Die größten verallgemeinerten Primzahlzwillings-Bi-Ketten der Länge $k+1$ sind die folgenden:

$k+1$	größte bekannte verallgemeinerte Primzahlzwillings-Bi-Kette der Länge $k+1$ (Stand: 20. Juni 2017)	Dezimal- stellen	Entdeckungs- datum	Entdecker
$1$	$570323880\cdot {\frac {16500\#}{673949}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=8087388$ und $n=1,2$	$7120$ und $7127$	September 2004	Phil Carmody, Jens K. Andersen
$2$	$2203\#\cdot 2^{161}\cdot 3^{66}\cdot 5^{69}\cdot 7^{73}\cdot 11^{23}\cdot 13^{23}\cdot 17^{26}\cdot 19^{23}\cdot 23^{22}\cdot 29^{22}\cdot 31^{22}\cdot 37^{25}\cdot 41^{23}\cdot 43^{25}\cdot 47^{25}\cdot 53^{26}\cdot 59^{25}\cdot 61^{23}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=2^{21}\cdot 3^{12}\cdot 5^{11}\cdot 7^{9}\cdot 11^{3}\cdot 13^{3}\cdot 17^{2}\cdot 19^{3}\cdot 23^{4}\cdot 29^{4}\cdot 31^{4}\cdot 37^{3}\cdot 41^{3}\cdot 43^{3}\cdot 47^{3}\cdot 53^{2}\cdot 59^{3}\cdot 61^{3}$ und $n=1,2,3$	$1702,1793$ und $1884$	Oktober 2004	Ralph Twain
$3$	${\frac {66\cdot 630^{5}\cdot 22218733^{2}\cdot 19\#\cdot 317\#}{561857}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b={\frac {8084448001600\cdot (13\#)^{3}\cdot 197\#}{12863477}}$ und $n=1,2,3,4$	$261,360,459$ und $558$	August 2004	Jens K. Andersen
$4$	$(1250561\cdot 151\#+423642234015)\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5$	$67,67,68,68$ und $69$	August 2004	Jens K. Andersen
$5$	${\frac {526583\cdot 83\#+27663009\cdot 19\#}{4}}\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=1,2,3,4,5,6$	$39,39,40,40,41$ und $42$	August 2004	Jens K. Andersen
$6$	$1394855870347655081\cdot 13\#\cdot b^{n}\pm 1$ mit $b=4$ und $n=2,3,4,5,6,7,8$	$24,25,26,26,27,27$ und $28$	August 2004	Jens K. Andersen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Bitwin Chain. In: MathWorld (englisch).

V – D

Primzahl­mengen