P-Norm

Einheitskreise verschiedener p-Normen in zwei Dimensionen

Die p-Normen sind in der Mathematik eine Klasse von Vektornormen, die für reelle Zahlen $p\geq 1$ definiert sind. Wichtige Spezialfälle sind dabei die Summennorm $(p=1)$, die Euklidische Norm $(p=2)$ und als Grenzwert für $p\rightarrow \infty$ die Maximumsnorm. Alle p-Normen sind zueinander äquivalent, für wachsendes $p$ monoton fallend und erfüllen die Minkowski-Ungleichung sowie die Hölder-Ungleichung. Die Mengen konstanter p-Norm (Einheitssphären) besitzen allgemein die Form von Superellipsoiden oder Subellipsoiden. Die p-Normen bilden einen Grundbaustein für Normen weiterer mathematischer Objekte, wie Folgen, Funktionen, Matrizen und Operatoren.

Definition

Die p-Norm eines reellen oder komplexen Vektors $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {K} }^{n}$ ist für reelles $1\leq p<\infty$ durch

$\|x\|_{p}:=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

definiert, wobei $|x_{i}|$ der Betrag der Komponente $x_{i}$ ist. Für die Definition ist es dabei unerheblich, ob es sich bei $x$ um einen Zeilen- oder einen Spaltenvektor handelt. Im Fall $n=1$ entsprechen alle p-Normen der Betragsnorm einer reellen oder komplexen Zahl.

Die Menge der Vektoren mit p-Norm Eins wird Einheitssphäre der Norm genannt, wobei nur im Fall $p=2$ die Einheitssphäre tatsächlich der aus der Geometrie bekannten Sphäre entspricht. Die Einheitssphären der p-Normen haben allgemein in zwei Dimensionen die Form von Superellipsen $(2<p<\infty )$ oder Subellipsen $(1<p<2)$ und in drei und höheren Dimensionen die Form von Superellipsoiden beziehungsweise Subellipsoiden.

Wichtige Spezialfälle

Die Einheitskreise der Summennorm, der Euklidischen Norm und der Maximumsnorm in zwei Dimensionen

Summennorm

Die 1-Norm wird auch Betragssummennorm oder kurz Summennorm genannt und ist durch

$\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$

definiert. Sie entspricht der Summe der Beträge der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Summennorm hat in zwei Dimensionen die Form einer Raute, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Kreuzpolytops.

Euklidische Norm

→ Hauptartikel: Euklidische Norm

Die 2-Norm heißt Euklidische Norm und ist durch

$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}$

definiert. Sie entspricht der Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Euklidischen Norm hat in zwei Dimensionen die Form eines Kreises, in drei Dimensionen die Form einer Kugeloberfläche und in allgemeinen Dimensionen die Form einer Sphäre. In zwei und drei Dimensionen beschreibt die Euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors in der Ebene oder im Raum.

Maximumsnorm

→ Hauptartikel: Maximumsnorm

Für den Grenzwert $p\rightarrow \infty$ erhält man die ∞-Norm (Unendlich-Norm), die oft auch zu den p-Normen gezählt wird. Sie wird auch Maximumsnorm oder Tschebyschow-Norm genannt und ist durch

$\|x\|_{\infty }=\max _{i=1,\ldots ,n}|x_{i}|$

definiert. Sie entspricht damit der betragsgrößten Komponente des Vektors. Die Einheitssphäre der reellen Maximumsnorm hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Würfels und in allgemeinen Dimensionen die Form eines Hyperwürfels.

Dass die Maximumsnorm tatsächlich als Grenzwert der p-Normen für $p\rightarrow \infty$ entsteht, folgt für $x\neq 0$ aus

$\lim _{p\rightarrow \infty }\|x\|_{p}=\lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\!=\|x\|_{\infty }\cdot \lim _{p\rightarrow \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|x_{i}|}{\|x\|_{\infty }}}\right)^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\!=\|x\|_{\infty }\cdot \lim _{p\rightarrow \infty }S^{1/p}=\|x\|_{\infty },$

da für die Summe $1\leq S\leq n$ gilt und somit der Grenzwert ${\sqrt[{p}]{S}}$ für $p\rightarrow \infty$ gleich Eins ist. Die unterere Schranke von $S$ wird dabei für ein Vielfaches eines Einheitsvektors angenommen und die obere Schranke $n$ für ein Vielfaches des konstanten Vektors.

Beispiele

Reeller Vektor

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des reellen Vektors $x=(3,-2,6)$ sind jeweils gegeben als

${\begin{aligned}\|x\|_{1}\,\,&=|3|+|{-2}|+|6|=11\\\|x\|_{2}\,\,&={\sqrt {|3|^{2}+|{-2}|^{2}+|6|^{2}}}={\sqrt {49}}=7\\\|x\|_{3}\,\,&={\sqrt[{3}]{|3|^{3}+|{-2}|^{3}+|6|^{3}}}={\sqrt[{3}]{251}}\approx 6,308\\\|x\|_{\infty }&=\max\{|3|,|{-2}|,|6|\}=6\end{aligned}}$

Komplexer Vektor

Die 1-, 2-, 3- und ∞-Normen des komplexen Vektors $x=(3-4i,{-2i})$ sind jeweils gegeben als

${\begin{aligned}\|x\|_{1}\,\,&=|3-4i|+|{-2i}|=5+2=7\\\|x\|_{2}\,\,&={\sqrt {|3-4i|^{2}+|{-2i}|^{2}}}={\sqrt {5^{2}+2^{2}}}={\sqrt {29}}\approx 5,385\\\|x\|_{3}\,\,&={\sqrt[{3}]{|3-4i|^{3}+|{-2i}|^{3}}}={\sqrt[{3}]{5^{3}+2^{3}}}={\sqrt[{3}]{133}}\approx 5,104\\\|x\|_{\infty }&=\max\{|3-4i|,|{-2i}|\}=\max\{5,2\}=5\end{aligned}}$

Eigenschaften

Normaxiome

Alle p-Normen inklusive der Maximumsnorm erfüllen die drei Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität. Die Definitheit folgt aus der Positivität der Potenzfunktionen für positive Argumente und der Eindeutigkeit der Nullstelle an der Stelle $0,$ womit

$\|x\|_{p}=0\;\Leftrightarrow \;\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}\!\!\!\!\!=0\;\Rightarrow \;\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}=0\;\Rightarrow \;x=(0,\ldots ,0)=0$

gilt. Die Homogenität folgt aus der Homogenität der Betragsnorm über

$\|\alpha \,x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|\alpha \,x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|\alpha |^{p}\,|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=|\alpha |\,\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}=|\alpha |\,\|x\|_{p}.$

Die Dreiecksungleichung für p-Normen ist gerade die Minkowski-Ungleichung

$\|x+y\|_{p}\leq \|x\|_{p}+\|y\|_{p},$

die wiederum auf auf der folgenden Hölder-Ungleichung basiert.

Hölder-Ungleichung

→ Hauptartikel: Hölder-Ungleichung

Sind $1\leq p,q\leq \infty$ zueinander konjugierte Exponenten, das heißt ${\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1$, dann gilt für die entsprechenden p-Normen

$\sum _{i=1}^{n}|x_{i}\,y_{i}|\leq \|x\|_{p}\cdot \|y\|_{q},$

was wiederum aus der Youngschen Ungleichung folgt. Für den Fall $p=q=2$ entspricht die Hölder-Ungleichung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Monotonie

Die p-Normen sind für einen festen Vektor $x$ und für wachsendes $p$ monoton fallend, das heißt für $1\leq p<r\leq \infty$ gilt die Ungleichung

$\|x\|_{r}\leq \|x\|_{p}.$

Diese Eigenschaft folgt aus der Monotonie der Potenzfunktion $z^{r}\leq z^{p}$ für $z\in [0,1]$ aus

$\|x\|_{r}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{r}\right)^{1/r}\!\!\!\!\!=\|x\|_{p}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|x_{i}|}{\|x\|_{p}}}\right)^{r}\right)^{1/r}\!\!\!\!\!\leq \|x\|_{p}\left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {|x_{i}|}{\|x\|_{p}}}\right)^{p}\right)^{1/r}\!\!\!\!\!=\|x\|_{p}\left({\frac {\|x\|_{p}^{p}}{\|x\|_{p}^{p}}}\right)^{1/r}\!\!\!\!\!=\|x\|_{p},$

da der Bruch jeweils nur einen Wert zwischen Null und Eins annehmen kann. Für einen gegebenen Vektor $x$ ist damit die Summennorm die größte und die Maximumsnorm die kleinste p-Norm (siehe auch die obigen Beispiele). Gleichheit über alle p-Normen gilt genau dann, wenn der Vektor der Nullvektor oder ein Vielfaches eines Einheitsvektors ist.

Äquivalenz

Alle p-Normen sind zueinander äquivalent, das heißt zu einem beliebigen Paar von p-Normen $\|\cdot \|_{p},\|\cdot \|_{r}$ mit $1\leq p\leq r\leq \infty$ gibt es zwei positive Konstanten $c_{1}$ und $c_{2}$, sodass für alle $x\in V$

$c_{1}\|x\|_{r}\leq \|x\|_{p}\leq c_{2}\|x\|_{r}$

gilt. Die untere Konstante $c_{1}$ ist aufgrund der Monotonie immer gleich Eins. Die obere Konstante $c_{2}$ hängt von den gewählten Normen ab und wird für einen konstanten Vektor angenommen, wobei man sich aufgrund der Homogenität der p-Normen auf den Einsvektor $e=(1,\ldots ,1)$ beschränken kann. Für die p-Norm des Einsvektors $e$ gilt

$\|e\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|1|^{p}\right)^{1/p}=n^{1/p}$

und somit

$\|x\|_{p}\leq {\frac {\|e\|_{p}}{\|e\|_{r}}}\,\|x\|_{r}={\frac {n^{1/p}}{n^{1/r}}}\,\|x\|_{r}=n^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{r}}}\,\|x\|_{r}={\sqrt[{pr}]{n^{p-r}}}\,\|x\|_{r}.$

Die Äquivalenzkonstanten der p-Normen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

	1-Norm	2-Norm	r-Norm	∞-Norm
1-Norm	$1$	${\sqrt {n}}$	${\sqrt[{r}]{n^{1-r}}}$	$n$
2-Norm	$1$	$1$	${\sqrt[{2r}]{n^{2-r}}}$	${\sqrt {n}}$
p-Norm	$1$	$1$	${\sqrt[{pr}]{n^{p-r}}}$	${\sqrt[{p}]{n}}$
∞-Norm	$1$	$1$	$1$	$1$

Hierbei ist beispielsweise der Eintrag in der ersten Zeile und zweiten Spalte als

$\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\cdot \|x\|_{2}$

zu lesen. In der zweiten Zeile muss dabei $r\geq 2$ und in der dritten Zeile $r\geq p$ gewählt werden.

Verallgemeinerungen

Fall p < 1

Der Einheitskreis der (2/3)-Norm, einer Quasinorm, ist in zwei Dimensionen eine Astroide.

Die für $0<p<1$ definierten Abbildungen

$\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}$

sind keine Normen, da die resultierenden Einheitskugeln nicht mehr konvex sind und somit die Dreiecksungleichung verletzt wird. Die so definierten Abbildungen sind lediglich Quasinormen, wobei die Dreiecksungleichung durch die schwächere Ungleichung $\|x+y\|\leq k\cdot \left(\|x\|+\|y\|\right)$ für eine reelle Konstante $k>1$ ersetzt wird.

ℓ^p-Normen

→ Hauptartikel: Folgenraum

Die ℓ^p-Normen sind die Verallgemeinerung der p-Normen auf Folgenräume, wobei lediglich die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird. Die ℓ^p-Norm einer in p-ter Potenz betragsweise summierbaren Folge $(a_{n})_{n}\in {\mathbb {K} }^{\mathbb {N} }$ ist dann für $1\leq p<\infty$ gegeben als

$\|(a_{n})\|_{\ell ^{p}}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{1/p}.$

Für den Grenzwert $p\rightarrow \infty$ ergibt sich der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm.

L^p-Normen

→ Hauptartikel: Lp-Raum

Weiter können die p-Normen auf Funktionenräume verallgemeinert werden, was in zwei Schritten geschieht. Zunächst werden die ${\mathcal {L}}^{p}$-Normen einer in p-ter Potenz auf einer Menge $\Omega$ Lebesgue-integrierbaren Funktion $f\colon \Omega \rightarrow {\mathbb {K} }$ sind für $1\leq p<\infty$ als

$\|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}(\Omega )}=\left(\int _{\Omega }|f(x)|^{p}\,dx\right)^{1/p},$

definiert, wobei im Vergleich zu den ℓ^p-Normen lediglich die Summe durch ein Integral ersetzt wurde. Diese Normen sind zunächst nur Halbnormen, da nicht nur die Nullfunktion, sondern auch alle Funktionen, die sich nur an einer Menge mit Lebesgue-Maß Null von der Nullfunktion unterscheiden, zu Null integriert werden. Daher betrachtet man hier die Menge der Äquivalenzklassen von Funktionen $[f]\in L^{p}(\Omega )$, die fast überall gleich sind, und erhält auf diesen L^p-Räumen die L^p-Normen durch

$\|\,[f]\,\|_{L^{p}(\Omega )}=\|f\|_{{\mathcal {L}}^{p}(\Omega )}.$

Für den Grenzwert $p\rightarrow \infty$ ergibt sich so der Raum der wesentlich beschränkten Funktionen mit der wesentlichen Supremumsnorm. Die L^p-Normen und -Räume lassen sich von dem Lebesgue-Maß auch auf allgemeine Maße verallgemeinern

Matrixnormen

→ Hauptartikel: Matrixnorm

Indem eine Matrx $A=(a_{ij})\in {\mathbb {K} }^{m\times n}$ einfach als entsprechend langer Vektor aus ${\mathbb {K} }^{m\cdot n}$ angesehen wird, können Matrixnormen direkt über die p-Normen definiert werden. Beispiele für solche Matrixnormen sind die auf der 2-Norm basierende Frobeniusnorm und die auf der ∞-Norm basierende Gesamtnorm. Matrixnormen werden jedoch meist von einer p-Norm als induzierte Matrixnorm

$\|A\|_{p}=\max _{x\neq 0}{\frac {\|Ax\|_{p}}{\|x\|_{p}}}=\max _{\|x\|_{p}=1}\|Ax\|_{p}.$

abgeleitet. Beispiele für so definierte Matrixnormen sind der 1-Norm basierende Spaltensummennorm, die auf der 2-Norm basierende Spektralnorm und die auf die auf der ∞-Norm basierende Zeilensummennorm. Eine weitere Möglichkeit, Matrixnormen zu definieren besteht darin, die p-Norm des Vektors der Singulärwerte zu betrachten, wie dies bei den Schatten-p-Normen der Fall ist. Auf analoge Art und Weise können auch Normen für allgemeinere lineare Operatoren definiert werden.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis: Eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-34186-2. 
• Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.