Wishart-Verteilung

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Die Wishart-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist die multivariate Entsprechung der χ2-Verteilung.

Für die Erläuterung wird zum besseren Verständnis zunächst von einer Zufallsvariablen ausgegangen: Man betrachtet eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X, also mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz 1. Es liegen von dieser Variablen n Beobachtungen oder Realisationen xi (i=1, ... , n) vor. Da die Realisationen unabhängig voneinander stattfinden, interpretiert man sie als eine Folge von n standardnormalverteilten Zufallsvariablen Xi. Die Quadratsumme dieser Zufallsvariablen

Y = \sum_{i=1}^n X_i^2

ist dann χ2-verteilt mit n Freiheitsgraden. Fasst man die Beobachtungen xi in einem Vektor x mit n Elementen zusammen, kann man auch y darstellen als die Norm

y = \underline x^T \underline x,

wobei xT ein Zeilenvektor ist.

Es werden nun p viele verschiedene Zufallsvariablen Xj betrachtet. Diese Zufallsvariablen sind gemeinsam normalverteilt mit dem Erwartungswert 0 und der Kovarianz-Matrix Σ. Es liegen für jede Zufallsvariable jeweils n viele Beobachtungen vor. Man kann nun diese Daten in einer (nxp)-Matrix X zusammenfassen:

\underline X=
\begin{pmatrix}
x_{11}& x_{12}& \cdots &x_{1j}&\cdots &x_{1p}\\
x_{21}& x_{22}& \cdots &x_{2j}&\cdots &x_{2p}\\
\vdots& & & & &\vdots \\
x_{i1}& x_{i2}& \cdots &x_{ij}&\cdots &x_{ip}\\
\vdots& & & & &\vdots \\
x_{n1}& x_{n2}& \cdots &x_{nj}&\cdots &x_{np}
\end{pmatrix}
.

Analog zu oben bildet man die symmetrische Matrix \underline W = \underline X^T\underline X mit den Elementen

\underline W=
\begin{pmatrix}
 \underline x_{1}^T \underline x_{1} &  \underline x_{1}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{1}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{1}^T \underline x_{p}\\
 \underline x_{2}^T \underline x_{1}&  \underline x_{2}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{2}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{2}^T \underline x_{p}\\
\vdots& & & & &\vdots \\
 \underline x_{j}^T \underline x_{1}&  \underline x_{j}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{j}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{j}^T \underline x_{p}\\
\vdots& & & & &\vdots \\
 \underline x_{p}^T \underline x_{1}&  \underline x_{p}^T \underline x_{2}& \cdots & \underline x_{p}^T \underline x_{j}&\cdots & \underline x_{p}^T \underline x_{p}
\end{pmatrix}
.

Diese Matrix W ist nun Wishart-verteilt mit n Freiheitsgraden.

Eigenschaften der Wishart-Verteilung[Bearbeiten]

Wie die χ2-Verteilung ist auch die Wishart-Verteilung reproduktiv: Die Summe von p Wishart-verteilten Zufallsvariablen mit n Freiheitsgraden und p Zufallsvariablen mit m Freiheitsgraden ist wieder insgesamt Wishart-verteilt mit m+n Freiheitsgraden.