Würfelverdoppelung

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Verhältnis von Volumen zur Kantenlänge eines Würfels

Die Würfelverdoppelung (Würfelvolumenverdoppelung) (auch Delisches Problem genannt) gehört zu den klassischen Problemen der antiken Mathematik.

Nach einer Legende befragten die Bewohner der Insel Delos während einer Pestepidemie 430 v. Chr. das Orakel von Delphi um Rat. Dort wurden sie aufgefordert, den würfelförmigen Altar im Tempel des Apollon im Volumen zu verdoppeln. Für antike Mathematiker bedeutete dies, dass die Seitenlänge eines Würfels mit dem doppelten Volumen unter ausschließlicher Verwendung von Zirkel und Lineal konstruiert werden sollte.

Erst im 19. Jahrhundert wurde bewiesen, dass diese Aufgabe unlösbar ist. Das bewies zuerst Pierre Wantzel 1837. Heutige Beweise verwenden meist die Galoistheorie (Évariste Galois, französischer Mathematiker) und laufen im Kern darauf hinaus, dass die irrationale Zahl \sqrt[3]{2} nicht durch ganze Zahlen, die vier Grundrechenarten und Quadratwurzeln ausgedrückt werden kann.

Die Verdopplung des Würfels gelang aber schon in der Antike unter Benutzung spezieller Kurven (also nicht ausschließlich mit Zirkel und Lineal). Hippokrates von Chios hatte die Würfelverdopplung auf ein Problem der Konstruktion von Verhältnissen zurückgeführt, und Archytas gelang deren Konstruktion mit einer speziellen Kurve. Auch Eudoxos löste das Problem (seine Lösung ist verloren) und Menaichmos (als Schnitt zweier Kegelschnitte basierend auf Hippokrates Umformung des Problems). Eratosthenes gelang auf Hippokrates basierend eine geometrisch-mechanische Lösung, die er im Tempel des Ptolemäus in Alexandria in Stein meißeln ließ.[1]

Die antiken Quellen dazu sind vor allem der Archimedes Kommentar von Eutokios[2], Plutarch und ein Fragment des Platonicus von Eratosthenes. Eratosthenes und Plutarch führen das Problem auf die Orakelbefragung der Einwohner von Delos zurück. Plutarch fügt hinzu, sie hätten sich an Plato um Rat gewandt, der sie an Archytas, Eudoxos und Menaichmos verwies. Deren Lösung kritisierte Plato nach Plutarch, da sie sich mechanischer und nicht geometrischer Methoden bedienen, wobei er unter „geometrisch“ die ausschließliche Verwendung von Zirkel und Lineal meinte.[3]

Ähnliche Probleme aus der Konstruktion von Altären (allerdings mit dem Problem der Verdopplung eines Quadrats statt eines Würfels) gab es in Vedischer Zeit in Indien und sie gaben zu mathematischen Erörterungen Anlass (Sulbasutras).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Van der Waerden Science Awakening, 1956, 230f. Drei Rechtecke oder Dreiecke, die längs eines Zirkels verschoben werden konnten, dessen eine Seite frei drehbar war.
  2. Van der Waerden Science Awakening, 1956, S. 159ff
  3. Ironischerweise erwähnt Eutokios auch eine rein mechanische Lösung, die er auf Plato zurückführt. Möglicherweise wollte dieser damit zeigen, wie einfach eine mechanische Lösung anzugeben ist.