Carol-Zahl

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In der Zahlentheorie ist eine Carol-Zahl eine ganze Zahl der Form , oder, gleichbedeutend, eine Zahl der Form mit . Sie wurden erstmals untersucht von Cletus Emmanuel, der sie nach einer Freundin, Carol G. Kimon, benannt hat.[1][2]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die ersten Carol-Zahlen sind die folgenden:
−1, 7, 47, 223, 959, 3967, 16127, 65023, 261119, 1046527, 4190207, 16769023, 67092479, 268402687, 1073676287, 4294836223, 17179607039, 68718952447, 274876858367, 1099509530623, 4398042316799, 17592177655807, 70368727400447, 281474943156223, 1125899839733759, … (Folge A093112 in OEIS)
  • Die ersten primen Carol-Zahlen sind die folgenden:
7, 47, 223, 3967, 16127, 1046527, 16769023, 1073676287, 68718952447, 274876858367, 4398042316799, 1125899839733759, 18014398241046527, 1298074214633706835075030044377087, … (Folge A091516 in OEIS)
Man nennt sie Carol-Primzahlen.
  • Die siebente Carol-Zahl ist gleichzeitig die fünfte Carol-Primzahl und ist auch eine Primzahl, wenn man ihre Stellen umdreht (also ).
Solche Zahlen nennt man Carol-Mirpzahlen.
Man kennt momentan nur zwei Carol-Mirpzahlen:
16127, 16769023
  • Die größte bekannte Carol-Primzahl ist und hat Stellen.[3] Sie wurde von Mark Rodenkirch am 16. Juli 2016 mit den Programmen CKSieve und PrimeFormGW gefunden. Es ist die 44. Carol-Primzahl.[4]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jede Carol-Zahl der Form mit hat eine binäre Darstellung, welche Stellen lang ist, mit Einsern beginnt, eine einzelne Null in der Mitte hat und mit weiteren Einsern endet. Mit anderen Worten:
Beispiel:
  • Die Differenz zwischen der -ten Mersenne-Zahl (also ) und der -ten Carol-Zahl beträgt .
Somit könnte man die Carol-Zahlen anders definieren, nämlich als .
  • Die Differenz zwischen der -ten Kynea-Zahl und der -ten Carol-Zahl beträgt .
  • Wenn man mit der Carol-Zahl 7 zählen beginnt, ist jede dritte Carol-Zahl ein Vielfaches von .
Beispiel:
ist die sechste Carol-Zahl nach und tatsächlich ist ein Vielfaches von .
  • Eine Carol-Zahl mit für kann keine Primzahl sein.
(folgt aus der Eigenschaft direkt darüber)

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine verallgemeinerte Carol-Zahl zur Basis b ist eine Zahl der Form mit und einer Basis .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis kann nur dann eine Primzahl sein, wenn eine gerade Zahl ist.
(Wenn eine ungerade Zahl wäre, wäre auch jede Potenz ungerade. Zieht man ab, ist die Zahl gerade. Das Quadrat dieser Zahl ist ebenfalls gerade und zieht man ab, ist sie noch immer gerade und somit sicher nicht prim (für ). Damit ist diese und die nächste Eigenschaft bewiesen.)
  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit einer ungeraden Basis ist immer eine gerade Zahl.
  • Eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis ist auch eine verallgemeinerte Carol-Zahl mit Basis .
  • Die kleinsten , sodass prim ist (Basis ), sind die folgenden (für ):
2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 159, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 4, 3, 1, 12, 1, 1, 2, 9, 1, 88, 2, 1, 1, 12, 4, 1, 1, 183, 1, 1, 320, 24, 4, 3, 2, 1, 3, 1, 5, 2, 4, 2, 1, 2, 1, 705, 2, 3, 29, 1, 1, 1, 4836, 20, 1, 135, 1, 4, 1, 6, 1, 15, 3912, 1, 2, 8, 3, 24, 1, 14, 4, 1, 2, 321, 11, 1, 174, 1, 6, 1, 42, 310, 1, 2, 27, 2, 1, 29, 3, 103, 20, …
Beispiel:
Für kann man der obigen Liste an der 6. Stelle die Zahl entnehmen.
Tatsächlich ist eine Primzahl.

Es folgt eine Tabelle, der man die kleinsten verallgemeinerten Carol-Primzahlen mit Basis entnehmen kann:

Form Potenzen , sodass verallgemeinerte Carol-Zahlen mit Basis , also der Form prim sind OEIS-Folge
2, 3, 4, 6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 21, 25, 27, 55, 129, 132, 159, 171, 175, 315, 324, 358, 393, 435, 786, 1459, 1707, 2923, 6462, 14289, 39012, 51637, 100224, 108127, 110953, 175749, 185580, 226749, 248949, 253987, 520363, 653490, 688042, 695631, … (Folge A091515 in OEIS)
1 (führt zur geraden Primzahl ; mehr Potenzen existieren nicht)
1, 2, 3, 5, 6, 9, 66, 162, 179, 393, 3231, 19506, 50112, 92790, 326745, 344021, …
1, 2, 6, 7, 20, 47, 255, 274, 279, 308, 1162, 2128, 3791, 9028, 9629, 10029, 13202, 38660, 46631, 48257, 117991, … (Folge A100901 in OEIS)
1, 2, 4, 5, 6, 7, 9, 43, 44, 53, 57, 105, 108, 131, 145, 262, 569, 2154, 4763, 13004, 33408, 58583, 61860, 75583, 82983, 217830, 231877, …
1, 8, 21, 123, 4299, 6128, 11760, 18884, 40293, … (Folge A0100903 in OEIS)
3, 29, 51, 7824, 15456, 22614, 28312, 47014, …
1, 6, 13, 45, 74, 240, 553, 12348, 13659, 50603, … (Folge A0100905 in OEIS)
1, 3, 33, 81, 9753, 25056, 46395, …
2, 8, 30, 98, 110, 185, 912, 2514, 4074, 10208, 15123, 19395, …
1, 2, 53, 183, 1281, 1300, 8041, 29936, 72820, …
1, 8, 35, 88, 503, 8643, 8743, 14475, … (Folge A0100907 in OEIS)
2, 27, 92, 4950, 20047, …
159, 879, 4744, 5602, 74387, …
1, 22, 127, 165, 2520, 6492, 6577, 22960, 25528, …
1, 6, 19, 30, 166, 495, 769, 826, 1648, 3993, …
2, 3, 5, 11, 35, 63, 87, 37116, 130698, …
1, 4, 258, …
1, 3, 10, 137, 154, 581, 1064, 4514, 6601, 19330, …
1, 2, 13, 560, 28933, …
4, 15, 39, 138, 2153, 4084, 5639, …
3, 6, 14, 15, 29, 78, 195, 255, 272, 713, 2526, 4852, 10573, …
1, 7, 30, 90, 1288, 1947, 12909, 25786, …
12, 269, 1304, 5172, …
1, 2, 4, 6, 12, 13, 3882, 6123, 15067, 15085, …
1, 3, 4, 9, 31, 66, 115, 430, 1233, 2546, 2674, 6360, 53351, 69033, 69157, …

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine positive ganze Zahl der Form nennt man Noddy-Zahl (Noddy number).[5]

Die kleinsten primen Noddy-Zahlen sind die folgenden:[5]

0, 1, 2, 6, 10, 16, 48, 70, 1196, 3958, 57096, 59556, 62440, 70362, … (Folge A0100899 in OEIS)

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kynea-Zahl

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Cletus Emmanuel auf Prime Pages
  2. Message to Yahoo primenumbers group von Cletus Emmanuel
  3. (2695631-1)2-2 auf The Lagest Known Primes!
  4. Carol and Kynea Prime Search von Mark Rodenkirch
  5. a b Carol- und Kynea-Primzahlen

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]