Landauverteilung
Die Landauverteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung,[1] die nach Lev Landau benannt ist. Aufgrund ihrer langen Ausläufer sind die Momente der Verteilung (wie der Erwartungswert und die Varianz) nicht definiert. Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der Standard-Landauverteilung wird durch das komplexe Integral
definiert, wobei den natürlichen Logarithmus bezeichnet und eine beliebige positive reelle Zahl ist, die keinen Einfluss auf das Ergebnis hat. Für numerische Zwecke ist die folgende, äquivalente Form besser geeignet
Die Verteilung kann durch den folgenden geschlossenen Ausdruck approximiert werden[2][3]
Die Landauverteilung ist ein Spezialfall der Lévy-stabilen Verteilungen mit den Parametern und .[4]
Die charakteristische Funktion lautet
![{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \!{\Big [}\;it\mu -|c\,t|(1+{\tfrac {2i}{\pi }}\operatorname {sgn}(t)\log(|t|)){\Big ]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17047be37a966950c0b10bde4ae68227eacbc274)
mit reellen Zahlen , und der Vorzeichenfunktion . Die Funktion erzeugt eine um verschobene und um skalierte Landauverteilung.[5]
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Wenn , dann gilt .
Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Landauverteilung beschreibt die Schwankungen des Energieaustritts aus einer dünnen Schicht durch Stoßionisation.
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Landauverteilung im Data Analysis BriefBook des COSY-11-Experiments am Forschungszentrum Jülich, Rudolf K. Bock, 7. April 1998
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ L. Landau: On the energy loss of fast particles by ionization. In: J. Phys. (USSR). 8. Jahrgang, 1944, S. 201.
- ↑ S. E. Behrens, A.C. Melissinos: Univ. of Rochester Preprint UR-776 (1981).
- ↑ Interaction of Charged Particles. Archiviert vom am 30. Juni 2012; abgerufen am 14. April 2014.
- ↑ James E. Gentle: Random Number Generation and Monte Carlo Methods (= Statistics and Computing). 2nd Auflage. Springer, New York, NY 2003, ISBN 978-0-387-00178-4, S. 196, doi:10.1007/b97336.
- ↑ S. Meroli: Energy loss measurement for charged particles in very thin silicon layers. In: JINST. 6. Jahrgang, 2011, S. 6013, doi:10.1088/1748-0221/6/06/P06013.