Inverse Normalverteilung

Die inverse Normalverteilung (auch inverse Gauß-Verteilung oder Wald-Verteilung genannt) ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie wird in verallgemeinerten linearen Modellen verwendet. Bei der Untersuchung der Brownschen Molekularbewegung mit Drift $v>0$ und Streuungskoeffizient $\lambda >0$ ist die zufällige Zeit des ersten Erreichens des Niveaus $a>0$ invers normalverteilt mit den Parametern $\left({\frac {a}{v}},{\frac {a^{2}}{\lambda ^{2}}}\right)$. Die inverse Normalverteilung gehört zur Exponentialfamilie.

Definition

Dichtefunktionen verschiedener inverser Gaußverteilungen

Eine stetige Zufallsvariable $X$ genügt der inversen Normalverteilung mit den Parametern $\lambda >0$ (Ereignisrate) und $\mu >0$ (Erwartungswert), wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte $f(x)={\begin{cases}\left({\frac {\lambda }{2\pi x^{3}}}\right)^{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {\lambda (x-\mu )^{2}}{2\mu ^{2}x}}}&x>0\\0&x\leq 0\end{cases}}$ besitzt.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die inverse Normalverteilung besitzt den Erwartungswert

$\operatorname {E} (X)=\mu$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich analog zu

$\operatorname {Var} (X)={\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}$.

Standardabweichung

Daraus erhält man für die Standardabweichung

$\sigma ={\sqrt {\frac {\mu ^{3}}{\lambda }}}$

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

$\operatorname {v} (X)=3{\sqrt {\frac {\mu }{\lambda }}}$.

Wölbung (Kurtosis)

Die Wölbung ergibt sich zu

$\beta _{2}={\frac {15\mu }{\lambda }}+3$.

Die Exzess-Kurtosis ist

$\gamma _{2}=\beta _{2}-3={\frac {15\mu }{\lambda }}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}is}{\lambda }}}}\right)}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der inversen Normalverteilung ist

$m_{X}(s)=e^{{\frac {\lambda }{\mu }}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {2\mu ^{2}s}{\lambda }}}}\right)}$.

Reproduzierbarkeit

Sind $X_{1},\dots ,X_{n}$ Zufallsvariable mit inverser Normalverteilung mit den Parametern $\lambda$ und $\mu$, dann ist die Größe ${\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}$ wieder eine Zufallsvariable mit einer inversen Normalverteilung, aber mit den Parametern $n\lambda$ und $\mu$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Gaussian Distribution. In: MathWorld (englisch).

Diskrete univariate Verteilungen

Diskrete univariate Verteilungen für endliche Mengen:
Benford | Bernoulli | beta-binomial | binomial | Dirac | diskret uniform | empirisch | hypergeometrisch | kategorial | negativ hypergeometrisch | Rademacher | verallgemeinert binomial | Zipf | Zipf-Mandelbrot | Zweipunkt

Diskrete univariate Verteilungen für unendliche Mengen:
Boltzmann | Conway-Maxwell-Poisson | discrete-Phase-Type | erweitert negativ binomial | Gauss-Kuzmin | gemischt Poisson | geometrisch | logarithmisch | negativ binomial | parabolisch-fraktal | Poisson | Skellam | verallgemeinert Poisson | Yule-Simon | Zeta

Kontinuierliche univariate Verteilungen

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit kompaktem Intervall:
Beta | Cantor | Kumaraswamy | raised Cosine | Dreieck | Trapez | U-quadratisch | stetig uniform | Wigner-Halbkreis

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit halboffenem Intervall:
Beta prime | Bose-Einstein | Burr | Chi | Chi-Quadrat | Coxian | Erlang | Exponential | Extremwert | F | Fermi-Dirac | Folded normal | Fréchet | Gamma | Gamma-Gamma | verallgemeinert invers Gauß | halblogistisch | halbnormal | Hartman-Watson | Hotellings T-Quadrat | hyper-exponentiale | hypoexponential | invers Chi-Quadrat | scale-invers Chi-Quadrat | Invers Normal | Invers Gamma | Kolmogorow-Verteilung | Lévy | log-normal | log-logistisch | Maxwell-Boltzmann | Maxwell-Speed | Nakagami | nichtzentriert Chi-Quadrat | Pareto | Phase-Type | Rayleigh | relativistisch Breit-Wigner | Rice | Rosin-Rammler | shifted Gompertz | truncated normal | Type-2-Gumbel | Weibull | Wilks’ Lambda

Kontinuierliche univariate Verteilungen mit unbeschränktem Intervall:
Cauchy | Extremwert | exponential Power | Fishers z | Fisher-Tippett (Gumbel) | generalized hyperbolic | Hyperbolic-secant | Landau | Laplace | alpha-stabil | logistisch | normal (Gauß) | normal-invers Gauß’sch | Skew-normal | Studentsche t | Type-1-Gumbel | Variance-Gamma | Voigt

Multivariate Verteilungen

Diskrete multivariate Verteilungen:
Dirichlet compound multinomial | Ewens | gemischt Multinomial | multinomial | multivariat hypergeometrisch | multivariat Poisson | negativmultinomial | Pólya/Eggenberger | polyhypergeometrisch

Kontinuierliche multivariate Verteilungen:
Dirichlet | GEM | generalized Dirichlet | multivariat normal | multivariat Student | normalskaliert invers Gamma | Normal-Gamma | Poisson-Dirichlet

Multivariate Matrixverteilungen:
Gleichverteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit | Invers Wishart | Matrix Beta | Matrix Gamma | Matrix invers Beta | Matrix invers Gamma | Matrix Normal | Matrix Student-t | Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung | Normal-invers-Wishart | Normal-Wishart | Wishart