Rayleigh-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von \sigma

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger beispielsweise ein Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtige Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleighverteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleighverteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition[Bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable X heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter \sigma>0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x|\sigma) =  \begin{cases}\displaystyle
    \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}  & x \geq 0 \\
   0 & x <0
\end{cases}

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

F(x) = \begin{cases}\displaystyle
    1 - e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & x \ge 0 \\
0 & x<0 
\end{cases}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Momente[Bearbeiten]

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,,

wobei \Gamma(z) die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert[Bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}.

Varianz[Bearbeiten]

Die Varianz der Verteilung ist

\operatorname{Var}(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

\frac{\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi}} =\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}\approx 1,91.

Schiefe[Bearbeiten]

Für die Schiefe erhält man

\operatorname{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}.

Wölbung (Kurtosis)[Bearbeiten]

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta_2(X) = - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

\varphi(t)=1-\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i\right).

wobei \operatorname{erf} die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

M(t)=1+\sigma te^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1\right),

wobei \operatorname{erf}(z) wiederum die Fehlerfunktion ist.

Entropie[Bearbeiten]

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2},

wobei \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Modus[Bearbeiten]

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für x = \sigma denn

\frac{d}{dx}f(x|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2}\frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^2} - x^2 \frac{e^{(-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^4} = 0

für x = \pm\sigma. Damit ist \sigma der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat  f() den Wert

f(\sigma|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2})}}{\sigma}.

Parameterschätzung[Bearbeiten]

Die Maximum-Likelihood Schätzung von \sigma erfolgt über:

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten]

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten]

Wenn R \sim \mathrm{Rayleigh}(1) dann ist R^2 Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden: R^2 \sim \chi^2_2

Beziehung zur Weibull-Verteilung[Bearbeiten]

\mathrm{Rayleigh}(\sigma^2) = \mathrm{Wei}\left(\frac{1}{2 \sigma^2}, 2\right)

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten]

Wenn X exponentialverteilt ist \!\,X \sim \mathrm{Exp}(x|\lambda), dann ist Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma).

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten]

Wenn R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma) dann ist \sum_{i=1}^N R_i^2 gammaverteilt mit den Parametern N und 2\sigma^2: [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2).

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten]

R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma) ist Rayleigh verteilt, wenn R = \sqrt{X^2 + Y^2} wobei X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) und Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-44641525-6.