Rayleigh-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von \sigma

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger beispielsweise ein Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleighverteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleighverteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable X heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter \sigma>0, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x|\sigma) =  \begin{cases}\displaystyle
    \frac{x}{\sigma^2} e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}  & x \geq 0 \\
   0 & x <0
\end{cases}

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

F(x) = \begin{cases}\displaystyle
    1 - e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & x \ge 0 \\
0 & x<0 
\end{cases}

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

\mu_k=\sigma^k2^{k/2}\,\Gamma(1+k/2)\,,

wobei \Gamma(z) die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

\operatorname{E}(X)=\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz der Verteilung ist

\operatorname{Var}(X)=\frac{4-\pi}{2} \sigma^2.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

\frac{\operatorname{E}(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\frac{2}{4-\pi}} =\sqrt{\frac{\pi}{4-\pi}}\approx 1,91.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Schiefe erhält man

\operatorname{v}(X)=\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}.

Wölbung (Kurtosis)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wölbung ergibt sich zu

\beta_2(X) = - \frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

\varphi(t)=1-\sigma te^{-\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\operatorname{erf}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)-i\right).

wobei \operatorname{erf} die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

M(t)=1+\sigma te^{\sigma^2t^2/2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}
\left(\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)+1\right),

wobei \operatorname{erf}(z) wiederum die Fehlerfunktion ist.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2},

wobei \gamma die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für x = \sigma denn

\frac{d}{dx}f(x|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2}\frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^2} - x^2 \frac{e^{(-\frac{1}{2} \frac{x^2}{\sigma^2})}}{\sigma^4} = 0

für x = \pm\sigma. Damit ist \sigma der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat  f() den Wert

f(\sigma|\sigma) = \frac{e^{(-\frac{1}{2})}}{\sigma}.

Parameterschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Maximum-Likelihood Schätzung von \sigma erfolgt über:

\sigma\approx\sqrt{\frac{1}{2N}\sum_{i=0}^N x_i^2}

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn R \sim \mathrm{Rayleigh}(1) dann ist R^2 Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden: R^2 \sim \chi^2_2

Beziehung zur Weibull-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

\mathrm{Rayleigh}(\sigma^2) = \mathrm{Wei}\left(\frac{1}{2 \sigma^2}, 2\right)

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn X exponentialverteilt ist \!\,X \sim \mathrm{Exp}(x|\lambda), dann ist Y=\sqrt{2X\sigma^2\lambda} \sim \mathrm{Rayleigh}(y|\sigma).

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma) dann ist \sum_{i=1}^N R_i^2 gammaverteilt mit den Parametern N und 2\sigma^2: [Y=\sum_{i=1}^N R_i^2] \sim \Gamma(N,2\sigma^2).

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma) ist Rayleigh verteilt, wenn R = \sqrt{X^2 + Y^2} wobei X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) und Y \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2) zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Aufl. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.