Rayleigh-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleighverteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und statistisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger beispielsweise ein Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleighverteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleighverteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetige Zufallsvariable heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

,

wobei die Gammafunktion darstellt.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ergibt sich zu

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz der Verteilung ist

.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

.

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die Schiefe erhält man

.

Wölbung (Kurtosis)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Wölbung ergibt sich zu

.

Charakteristische Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die charakteristische Funktion ist

.

wobei die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

,

wobei wiederum die Fehlerfunktion ist.

Entropie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

,

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Modus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für denn

für . Damit ist der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat den Wert

.

Parameterschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Maximum-Likelihood Schätzung von erfolgt über:

Beziehungen zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleighverteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn dann ist Chi-Quadrat verteilt mit zwei Freiheitsgraden:

Beziehung zur Weibull-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beziehung zur Exponentialverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn exponentialverteilt ist , dann ist .

Beziehung zur Gammaverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn dann ist gammaverteilt mit den Parametern und : .

Beziehung zur Normalverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist Rayleigh verteilt, wenn wobei und zwei statistisch unabhängige Normalverteilungen sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.