Dreiecksverteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Dreiecksverteilung (oder Simpsonverteilung, nach Thomas Simpson) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik verwendet wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dreiecksverteilung ist definiert durch die auf dem Intervall definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Hierbei bestimmen die Parameter (minimaler Wert), (maximaler Wert) und (wahrscheinlichster Wert) die Gestalt der Dreiecksverteilung ( und ). Der Graph der Dichtefunktion sieht wie ein Dreieck aus und gibt dieser Verteilung ihren Namen. Die -Achse zeigt die Dichte der jeweiligen Wahrscheinlichkeit für einen Wert .

Plot of the Triangular PMF

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verteilungsfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist

Die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion lautet

Erwartungswert und Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ist

Für ist der Median gegeben durch

. Für diesen Fall ist der Median kleiner als der Erwartungswert; d. h. die Verteilung ist rechtsschief im Sinne von Pearson.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz einer dreiecksverteilten Zufallsvariable ergibt sich zu

Beziehung zu anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Summe gleichverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Summe zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit , Standardabweichung , mittlerer absoluter Abweichung und Interquartilsabstand .

Betrag der Differenz gleichverteilter Zufallsgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Betrag der Differenz zweier identischer unabhängiger und stetig gleichverteilter Zufallsvariablen ist dreiecksverteilt mit .

Trapezverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dreiecksverteilung ist ein Spezialfall der Trapezverteilung.

Diskrete Dreiecksverteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die stetige Dreiecksverteilung kann als Grenzwert einer diskreten Dreiecksverteilung aufgefasst werden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]