Alpha-stabile Verteilungen

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Dichtefunktionen einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen

Die Familie der α-stabilen Verteilungen ist eine Verteilungsklasse von stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen aus der Stochastik, die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, und gilt

für alle und eine Folge ,

so nennt man stabil verteilt, wobei als "hat dieselbe Verteilung wie" zu lesen ist. Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl ist. Die reelle Zahl nennt man hierbei den Formparameter. Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch Paul Lévy mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal Lévy-stabile Verteilungen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:

. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter .
sie ist also stabil mit Formparameter .
  • Die (eigentliche) Standard-Lévy-Verteilung ist stabil mit .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters
.
Der Parameter ist hierbei frei wählbar und heißt Schiefeparameter.
Für ergibt sich
.
  • Endliche Varianz existiert nur für . Dies folgt unmittelbar aus dem zentralen Grenzwertsatz.
  • Für hat die Verteilung den Erwartungswert 0, für existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem Gesetz der großen Zahlen.
  • Alle α-stabilen Verteilungen sind unendlich teilbar und selbstähnlich („selfdecomposable“).

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Rick Durrett: Probability: Theory and Examples. 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u.a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.