Hotellings T-Quadrat-Verteilung

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Die Hotellings T-Quadrat Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die 1931 von Harold Hotelling erstmals beschrieben wurde.[1] Sie ist eine Verallgemeinerung der Studentschen t-Verteilung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hotellings T-Quadrat-Verteilung ist definiert als

mit

  • einer Anzahl von Punkten
  • ist ein Spaltenvektor mit Elementen
  • ist eine -Kovarianzmatrix.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Zufallsvariable mit einer multivariaten Normalverteilung und (unabhängig von x) habe eine Wishart-Verteilung mit einer nicht-singulären Varianz-Matrix und mit . Dann ist die Verteilung von : , Hotellings T-Quadrat-Verteilung mit Parametern p und m.

sei die F-Verteilung. Dann kann gezeigt werden, dass gilt:

.

Unter der Annahme, dass

p×1-Spaltenvektoren mit reellen Zahlen sind.

sei der Mittelwert. Die positiv definite p×p-Matrix

sei ihre „sample variance“-Matrix. (Die Transponierte einer Matrix M sei mit M′ bezeichnet). μ sei ein p×1-Spaltenvektor (bei Anwendung ein Schätzer des Mittelwertes). Dann ist die Hotellings T-Quadrat-Verteilung

hat eine enge Beziehung zur quadrierten Mahalanobis-Distanz.

Insbesondere kann gezeigt werden [2], dass, wenn unabhängig sind und und wie oben definiert sind, dann hat eine Wishart-Verteilung mit n −1 Freiheitsgraden

und ist unabhängig von

und

.

Daraus folgt

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Hotelling (1931) The generalization of Student’s ratio, Ann. Math. Statist., Vol. 2, pp360-378.
  2. K.V. Mardia, J.T. Kent, and J.M. Bibby (1979) Multivariate Analysis, Academic Press.