Lévy-Verteilung

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Lévy-Verteilungen (benannt nach dem französischen Mathematiker Paul Lévy) sind eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit der besonderen Eigenschaft, dass deren Erwartungswert im Unendlichen liegt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lévy-Dichtefunktionen verschiedener Skalierung und μ=0

Die Dichtefunktion der Lévy-Verteilungen lautet

., mit den beiden Parametern .
ist der Lageparameter und definiert die Position auf der x-Achse
ist der Skalierungsparameter (Stauchung falls <1; Streckung falls >1)

Standard-Lévy-Verteilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Standard-Lévy-Verteilung entfallen die beiden Parameter (d. h. )

.

Sie ähnelt einer Normalverteilung, bei der die Standardabweichung nicht konstant ist, sondern mit zunehmendem x steigt:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Standard-Lévy-Verteilung gehört (wie die Normalverteilung und die Cauchy-Verteilung) zur übergeordneten Familie der alpha-stabilen Verteilungen, d. h. sie erfüllt die Bedingung

,

Wobei unabhängige Standard-Lévy-Variablen sind (hier ist ). Da die Theorie der alpha-stabilen Verteilungen maßgeblich von Lévy mitgestaltet wurde, spricht man, um Verwechslungen vorzubeugen, auch oft von der eigentlichen Lévy-Verteilung.

Momente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lévy-Verteilung besitzt weder endlichen Erwartungswert noch endliche Varianz, denn . Die Lévy-Verteilung gehört somit zu den sogenannten heavy-tailed distributions, die vor allem dazu verwendet werden, extreme Ereignisse (z.B. einen Börsencrash in der Finanzmathematik) zu modellieren.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Lévy-Verteilung lassen sich verschiedene Phänomene, insbesondere in der Natur beschreiben:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Applebaum, D.: Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes (PDF; 282 KB) University of Sheffield. S. 37–53. 22. Juli 2010. Abgerufen am 13. Juni 2014.
  2. Belle Dumé: Geomagnetic flip may not be random after all. In: physicsworld.com. 21. März 2006. Abgerufen am 13. Juni 2014.