Fréchet-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung ist eine absolutstetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs und Dichtefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter >0 die Verteilungsfunktion

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

Momente und Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei eine -Fréchet-verteilten Zufallsvariable und die Gamma-Funktion.

Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Median ist

Existenz von Momenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn >k.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ist

.

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz ist

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe ist

Kurtosis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kurtosis ist

Zusammenhang mit anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist Frèchet-verteilt mit Parameter , so ist Gumbel-verteilt mit Parametern und .

Nach dem Theorem von Fisher-Tippet kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698
  • Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • [1] – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011