Fréchet-Verteilung

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Die Fréchet-Verteilung ist eine stetige Verteilung über den positiven reellen Zahlen, die einen echt positiven reellen Skalierparameter \alpha nutzt. Benannt ist sie nach dem französischen Mathematiker Maurice René Fréchet.

Verteilungs und Dichtefunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fréchet-Verteilung besitzt für einen reellen Parameter {\alpha} >0 die Verteilungsfunktion

{\Phi}_{\alpha}(x) = \exp(-x^{-\alpha}) = \exp(-1/ x{^\alpha} )

Die dazugehörige Dichtefunktion ist

{\phi}_{\alpha}(x) = \alpha \; x^{-(\alpha+1)} \; e^{-x^{-\alpha}}

Momente und Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei X eine \alpha-Fréchet-verteilten Zufallsvariable und \Gamma\left(x\right) die Gamma-Funktion.

Median[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Median ist

\operatorname{median}(X) = \left(\frac{1}{\log_e(2)}\right)^{1/\alpha}

Existenz von Momenten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die k-ten Momente der Fréchet-Verteilung existieren genau dann, wenn \alpha >k.

Erwartungswert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Erwartungswert ist

 E(X) = \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right).

Varianz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Varianz ist

\operatorname{var}(X) = \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)- \left(\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)\right)^2

Schiefe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Schiefe ist

\operatorname{skew}(X) = \frac{\Gamma\left(1-\frac {3}{\alpha}\right)-3\Gamma\left(1-\frac {2}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac {1}{\alpha}\right)+2\Gamma^3\left(1-\frac {1}{\alpha} \right)}{\left( \Gamma\left(1-\frac{2}{\alpha}\right)-\Gamma^2\left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right)^{\frac{3}{2}} }

Kurtosis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kurtosis ist

\operatorname{kurtosis}(X) = -6+ \frac{\Gamma \left(1-\frac{4}{\alpha}\right) -4\Gamma\left(1-\frac{3}{\alpha}\right) \Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right)+3 \Gamma^2\left(1-\frac{2}{\alpha} \right)} {\left[\Gamma \left(1-\frac{2}{\alpha}\right) - \Gamma^2 \left(1-\frac{1}{\alpha}\right) \right]^2}

Zusammenhang mit anderen Verteilungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist X Frèchet-verteilt mit Parameter \alpha, so ist \ln X Gumbel-verteilt mit Parametern \mu=0 und \beta=\frac{1}{\alpha}.

Nach dem Theorem von Fisher-Tippet kann eine standardisierte, nicht-degenerierte Extremwertverteilung nur gegen eine der drei generalisierten Extremwertverteilungen (GEV) konvergieren, von denen eine die Fréchet-Verteilung ist.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sie ist daher eine wichtige Verteilung zur Bestimmung von Risiken in der Finanzstatistik, wie zum Beispiel des Value at Risk und des Expected Shortfall.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Franke, J., Härdle, W., Hafner, C. M.: Statistics of Financial Markets: An Introduction. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2008), ISBN 3-540-762698
  • Franke, J., Hafner, C. M., Härdle, W.: Einführung in die Statistik der Finanzmärkte. Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2. Auflage (2004), ISBN 3-540-405585

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • [1] – Jean-Pierre-Stockis, Fachbereich Mathematik der TU Kaiserslautern, Financial Statistics, Part II, abgerufen am 4. Januar 2011