Harmonischer Oszillator

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Das Potential eines harmonischen Oszillators

Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches System, bei dem die Zeitfunktionen der Zustandsgrößen einer Sinusfunktion folgen. Eine solche Schwingung wird als harmonisch bezeichnet und ergibt sich als Lösung der Differentialgleichung ${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$. Beispiele für harmonische Oszillatoren sind das Federpendel oder der Schwingkreis.

Allgemeines

Als harmonischen Oszillator bezeichnet man in der klassischen Mechanik eine Punktmasse, die einem Kraftfeld ${\vec {F}}$ ausgesetzt ist, das durch folgende Bedingungen charakterisiert ist:

• In jedem Raumpunkt zeigt die Kraft ${\vec {F}}$ in Richtung eines festen Punkts. des sogenannten Ruhepunktes oder auch der Ruhelage des Systems.
• Lenkt man das Teilchen aus der Ruhelage in eine bestimmte Richtung aus, so ist die Kraft, die auf das Teilchen wirkt, der Auslenkung proportional. Insbesondere erfährt ein in der Ruhelage liegendes Teilchen keinerlei Kraft, woraus sich auch der Name „Ruhelage“ ableitet. Die Namensgebung ist allerdings in dieser Hinsicht etwas irreführend: Zwar wirkt auf ein Teilchen in der Ruhelage keine Kraft, das Teilchen muss sich dort allerdings keinesfalls in Ruhe befinden; im Allgemeinen nimmt es dort sogar seine Maximalgeschwindigkeit an.
• Hängt die Stärke der Kraft nur von dem Betrag der Auslenkung – also der Entfernung des Teilchens von der Ruhelage – nicht aber von der Richtung der Auslenkung ab, so nennt man den Oszillator isotrop, andernfalls anisotrop. Da es in einer Dimension nur eine Richtung gibt, sind alle eindimensionalen harmonischen Oszillatoren isotrop.

Bewegt man das Teilchen aus der Ruhelage zu irgendeinem anderen Punkt im Raum, so zieht das Kraftfeld das Teilchen stets wieder in Richtung der Ruhelage an. Daher nennt man die Kraft, die das Teilchen erfährt, auch Rückstell- oder Rückholkraft.

Potential

Das Potential eines zweidimensionalen harmonischen Oszillators

Man kann allgemein zeigen, dass das Kraftfeld eines harmonischen Oszillators konservativ ist. Es existiert daher für jedes Oszillator-Kraftfeld ein Potential, also ein Skalarfeld $V$ mit

${\vec {F}}=-\nabla V.$

Die grafische Darstellung des Potentials eines Oszillatorkraftfeldes hat die Form einer quadratischen Parabel. Besondere Bedeutung gewinnt das Potential des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik, da die für die Quantenmechanik fundamentale Schrödinger-Gleichung nur Potentiale, keine Kräfte enthält. Den harmonischen Oszillator der Quantenmechanik behandelt der Artikel Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik).

Realisierbarkeit

Ein idealer harmonischer Oszillator, bei dem die Rückstellkraft für beliebig große Auslenkungen linear mit der Auslenkung ansteigt, existiert in der Natur nicht. Dennoch ist das Konzept für die Physik von fundamentaler Bedeutung, da oft nur kleine Auslenkungen eines Objekts aus der Ruhelage betrachtet werden. Beschränkt man sich darauf, so können viele Kraftfelder in guter Näherung durch ein Oszillatorkraftfeld ersetzt und das gesamte Problem als harmonischer Oszillator beschrieben werden. Der Vorteil einer solchen harmonischen Näherung besteht darin, dass das Problem mit Standardmethoden der theoretischen Physik handhabbar wird und einfach zu interpretierende, analytische Lösungen liefert.

Ihre mathematische Begründung findet die harmonische Näherung in der Tatsache, dass die Potentiale vieler Kraftfelder in einer Taylorreihe entwickelt werden können. Ist zu einem Kraftfeld das Potential $V$ gegeben und ist dieses hinreichend oft differenzierbar, so gilt nach dem Satz von Taylor:

$V(x)=V(x_{0})+{\frac {\partial V}{\partial x}}(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}(x_{0})(x-x_{0})^{2}+R(x-x_{0})$

wobei $R(x-x_{0})$, das sogenannte Restglied, für kleine Abstände $x-x_{0}$ verschwindet. Wählt man für $x_{0}$ ein Minimum des Potentials, so ist ${\tfrac {\partial V}{\partial x}}(x_{0})=0$. Setzt man weiterhin $V(x_{0})=0$ (was stets möglich ist), so erhält man näherungsweise das harmonische Potential:

$V(x)\approx {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}(x_{0})(x-x_{0})^{2},$

Das heißt, bei genügend kleiner Auslenkung verhält sich der Oszillator harmonisch. Ein Beispiel für Oszillatoren, die bereits bei mittleren Amplituden anharmonisch werden, ist das Fadenpendel.

Der harmonische Oszillator der klassischen Mechanik

Das Kraftfeld eines isotropen harmonischen Oszillators in zwei Dimensionen, die Kraft ist symbolisiert durch Pfeile. Die Ruhelage ist als blauer Punkt gekennzeichnet.

eindimensionaler ungedämpfter Oszillator der klassischen Mechanik

Wählt man als Nullpunkt die Ruhelage, so wird die Kraft, die auf einen eindimensionalen harmonischen Oszillator wirkt, durch das Hooksche Gesetz beschrieben. Demzufolge ist die Rückstellkraft $F$ proportional zur Auslenkung $x$ der an einer Feder mit Federkonstanten $k$ befestigten Masse $m$. An Stelle einer Kraft kann ein externen Drehmoment wirken.

$F=m{\ddot {x}}=-kx$

Diese Differentialgleichung zweiter Ordnung sie wird üblicherweise umgeschrieben zu

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

wobei $\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$ die Eigenkreisfrequenz und Resonanzfrequenz des Oszillators ist.

Die Lösung dieser Differentialgleichung ist eine harmonische Schwingung der Form

$x(t)=u\,\sin(\omega _{0}t+\phi )$.

Die Amplitude $u$ und die Phase $\phi$ hängen dabei von den Anfangsbedingungen ab.

mehrdimensionaler harmonischer Oszillator

Ein harmonischer Oszillator in n Dimensionen hat bei geeigneter Wahl der Koordinatenrichtungen das Potential

$V(x_{1},...,x_{n})={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\,x_{i}^{2}$

und das Kraftgesetz

$m{\ddot {\mathbf {x} }}=-\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ x_{i}\,\mathbf {e} _{i}\,.$

Da die Kraftkomponente in einer Dimension nur von der Auslenkung in dieser Dimension abhängt, sind die Lösungen für die einzelnen Komponenten des Ortsvektors die Lösungen des entsprechenden eindimensionalen Problems.

Oszillator mit Reibung

durch Reibung gedämpfter harmonischer Oszillator

Eine mechanische Schwingung ist im Allgemeinen nicht reibungsfrei. Das heißt, die Schwingung verliert Energie durch Reibung. In der Differentialgleichung tritt dann zur beschleunigenden Kraft F eine Reibungskraft F_R hinzu:

$m{\ddot {x}}(t)=-kx(t)+F_{\mathrm {R} }$ .

Der genaue Ausdruck für F_R hängt von der Art der Reibung ab. Im Falle von Gleitreibung ist der Betrag von F_R konstant und das Vorzeichen ist der Geschwindigkeit entgegengesetzt.

$F_{\mathrm {R} }=-d\operatorname {sign} \left({\dot {x}}(t)\right)$ .

Bei kleinen Reynoldszahlen wird die Luftreibung durch das Gesetz von Stokes bestimmt. Das heißt, die Reibungskraft ist proportional zur Geschwindigkeit, also zur ersten zeitlichen Ableitung der Auslenkung:

$F_{\mathrm {R} }=-d{\dot {x}}(t)$ .

Allgemeiner kann die Reibung durch einen Dämpfungsterm $F_{\mathrm {R} }=-2m\gamma {\dot {x}}$ hinzugefügt werden, welcher zur Geschwindigkeit ${\dot {x}}$ proportional und entgegengesetzt ausgerichtet ist. Die Bewegungsgleichung lautet dann:

${\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=0$ .

Mit dem Ansatz

$x(t)\propto e^{\lambda t}$

($\lambda$ ist Eigenwert) gelangt man zur allgemeinen Lösung

$x(t)=e^{-\gamma t}\left(c_{1}e^{{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}t}+c_{2}e^{-{\sqrt {\gamma ^{2}-\omega _{0}^{2}}}t}\right)$

$c_{1}$ und $c_{2}$ sind komplexwertige Konstanten, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Eine mögliche Lösung wäre somit eine sinus-förmige Schwingung wie im ungedämpften Fall, deren Amplitude jedoch exponentiell abfällt. Die Stärke dieses Abfalls wird von $\gamma$ im Exponenten der einhüllenden Exponentialfunktion bestimmt. Die Frequenz der Schwingung wird niedriger.

• Im Falle schwacher Reibung ($\gamma <\omega _{0}$) fällt die Amplitude der Schwingung im Zeitraum $\tau =1/\gamma$ auf 1/e der ursprünglichen Amplitude ab. $\tau$ ist die Halbwertszeit.
• Im Falle starker Dämpfung ($\gamma >\omega _{0}$) bildet sich keine wirkliche Schwingung mehr aus. Vielmehr kriecht die Auslenkung gegen die Ruhelage.
• Im aperiodischen Grenzfall ($\gamma =\omega _{0}$) erreicht die Schwingung noch eine Maximalauslenkung ($t=\tau$), fällt danach aber schneller als im Fall starker Dämpfung auf die Ruhelage zurück.

Oszillator mit Dämpfung und Anregung

Wird der Oszillator von einer externen Kraft $F_{\mathrm {ext} }$ angetrieben, so muss auch diese in der Bewegungsgleichung berücksichtigt werden. Die Differentialgleichung wird inhomogen.

${\ddot {x}}(t)+2\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)={\frac {F_{\mathrm {ext} }}{m}}$

Wenn die von außen auf das System einwirkende Kraft ebenfalls periodisch ist, also in Schwingungen übertragen wird, so kann sie dem Oszillator Energie hinzufügen oder entziehen, je nach Frequenz. Mit jedem Kraftübertrag wird dann etwas Energie zur Schwingung hinzugefügt oder entfernt, so dass die Amplitude anwächst oder abnimmt. Bei einem schwach gedämpften System kann dies zur sogenannten Resonanzkatastrophe führen, einem extremen Anstieg der Amplitude, welcher das System zerstören kann.

Beschreibung in der Hamilton-Dynamik

Die Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators lässt sich auch mit der Hamiltonschen Mechanik herleiten. Wie oben betrachten wir eine Masse $m$ an einer Feder mit Federkonstanten $k$. Als generalisierte Koordinate wird $x=q$ verwendet. Das Hooke'sche Gesetz

$F=-kx$

wird als bekannt vorausgesetzt. Dass das Problem eindimensional sein soll, führt zu den skleronomen Zwangsbedingungen

$y=z=0$

Die kinetische Energie $T$ und die potentielle Energie $U$ lassen sich nun leicht berechnen, und damit auch die Lagrange-Funktion $L$.

$L=T-U=\overbrace {{\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}} ^{T}-\overbrace {{\frac {1}{2}}kq^{2}} ^{U}$

Nun setzt man den generalisierten Impuls $p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}$ ein und erhält:

${\tilde {L}}={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {1}{2}}kq^{2}$

Die Hamilton-Funktion $H=p{\dot {q}}-{\tilde {L}}$ lautet dann

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\underbrace {\frac {k}{m}} _{\omega _{0}^{2}}q^{2}=T+U=E$

Die Hamilton-Funktion beschreibt also die Gesamt-Energie $E$ des Systems. Eine Division durch $E$ der obigen Gleichung ergibt

${\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {q^{2}}{2E/(m\omega _{0}^{2})}}=1={\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {q^{2}}{b^{2}}}$

mit den Halbachsen $a={\sqrt {2mE}}$ und $b={\sqrt {2E/\left(m\omega _{0}^{2}\right)}}$.

Im zwei-dimensionalen Phasenraum mit Ort $q$ und kanonischem Impuls $p$ als Achsen bildet sich also im Fall des ungedämpften Oszillators eine geschlossene Ellipse als Trajektorie aus. Im Fall einer Dämpfung beziehungsweise eines externen Antriebs wäre die Trajektorie eine Spirale, die sich auf den Ursprung zu oder vom Ursprung nach außen bewegt. Die Gesamt-Energie des Systems bestimmt die von der Ellipse eingeschlossene Fläche $A=\pi \cdot a\cdot b=2\pi E/\omega _{0}$. Mit den kanonischen Gleichungen

${\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-m\omega _{0}^{2}q$

${\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}$

gelangt man zur bereits oben beschriebenen Bewegungsgleichung.

${\ddot {q}}+\omega _{0}^{2}q=0$

Variante: Torsionsoszillator

Eine Variante des klassischen harmonischen Oszillators stellt der Torsionsoszillator dar. Anstatt einer Schraubenfeder wird hier eine Torsionsfeder bzw. ein Torsionsfaden verwendet. Anstatt von Translationsbewegungen kommt es dann zu Rotationsbewegungen. Die Berechnung erfolgt prinzipiell auf dem gleichen Weg. Es wird lediglich die Masse $m$ durch das Trägheitsmoment $I$ und die Geschwindigkeit $v={\dot {x}}$ durch die Winkelgeschwindigkeit $\omega ={\dot {\varphi }}$ ersetzt.

gekoppelte Oszillatoren

Ein typisches Beispiel für gekoppelte Oszillatoren sind die gekoppelten Pendel. Dabei werden zwei harmonische Oszillatoren in Form von Pendeln noch miteinander gekoppelt. Die Energie wird nun auch periodisch von einem Pendel auf das andere übertragen. Es ist Schwebung zu beobachten. Eine Lösung Probleme dieser Art erfolgt in der Regel mit den Mitteln der analytischen Mechanik.

Der Harmonische Oszillator außerhalb der Mechanik

Elektromagnetischer Schwingkreis

Der elektromagnische Schwingkreis ist ein Analogon des harmonischen Oszillators in der Elektrodynamik. Während in der Mechanik periodisch potentielle in kinetische Energie (und umgekehrt) in einander umgewandelt werden, verschiebt sich die Energie im Schwingkreis zwischen einem Kondensator der Kapazität $C$ und einer Spule mit Induktivität $L$. Es ergibt sich eine Differentialgleichung für die Ladung $Q$:

${\ddot {Q}}(t)+{\frac {R}{L}}{\dot {Q}}(t)+{\frac {1}{LC}}Q(t)=0$

Die Ähnlichkeit mit der Bewegungsgleichung des mechanischen Oszillators ist offensichtlich. Folgende Tabelle macht die Analogien zwischen dem mechanischen und elektrischen Oszillator nochmals deutlich:

mechanisch (Translation)	mechanisch (Torsion/Rotation)	RLC Reihenschwingkreis	RLC Parallelschwingkreis
Auslenkung $x\,$	Winkel $\varphi \,\!$	Ladung $q\,$	Spannung $U\,$
Geschwindigkeit ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\,$	Winkelgeschwindigkeit ${\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\,$	Stromstärke ${\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\,$	${\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}\,$
Masse $m\,$	Trägheitsmoment $I\,$	Induktivität $L\,$	Kapazität $C\,$
Federkonstante $K\,$	Torsionskonstante $\mu \,$	Reziproke Kapazität $1/C\,$	Reziproke Suszeptibilität $1/L\,$
Dämpfung $\gamma \,$	Reibung $\Gamma \,$	Widerstand $R\,$	Leitwert $1/R\,$
Kraft $F(t)\,$	Drehmoment $M(t)\,$	Spannung $U\,$	$\mathrm {d} I/\mathrm {d} t\,$
Ungedämpfte Resonanzfrequenz $f_{n}\,$:
${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {K}{m}}}\,$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}\,$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,$	${\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,$
Differentialgleichung
$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+Kx=F\,$	$I{\ddot {\varphi }}+\Gamma {\dot {\varphi }}+\mu \varphi =M\,$	$L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=U\,$	$C{\ddot {U}}+{\dot {U}}/R+U/L={\dot {I}}\,$

Harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik

Der harmonische Oszillator der Quantenmechanik ist ein Standard-Modell für Teilchen innerhalb eines periodischen Potentials, das sich gut durch ein quadratisches Potential approximieren lässt. Die Lösung dieses Oszillator-Problems besteht in der Berechnung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten des Teilchens innerhalb des Potentials.

Lorentz-Oszillator in der Optik

Der Lorentzoszillator dient in der Optik als Modell um das Verhalten der Atome eines Festkörpers unter Einfluss einer elektromagnetischen Welle zu beschreiben. Zum Beispiel ist dann die Suszeptibilität, die dem Aufbau des Feldes entgegenwirkt, das Analogon zur Dämpfung durch Reibung in der Mechanik. Mit Hilfe des Lorentzoszillators lassen sich im Drudemodell optische Phänomene wie Doppelbrechung oder der komplexe Brechungsindex erklären.

Anharmonischer Oszillator

Beim anharmonischen Oszillator treten mehr oder minder große Abweichungen vom linearen Kraftgesetz bzw. vom quadratischen Potential auf. Ist das System stark gedämpft und die Anharmonizität klein, so macht sie sich in der Regel nur dadurch bemerkbar, dass Oberschwingungen der Grundfrequenz auftreten. Wenn das System nur schwach gedämpft ist oder der nichtlineare Term das Kraftgesetz dominiert, so kann chaotisches Verhalten auftreten. Beispiele dafür sind der Toda-Oszillator und der Duffing-Oszillator.

Mathematische Lösung

Die Differentialgleichung lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen lösen:

es sei ${\ddot {x}}+2\gamma {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

mit

• $\gamma \geq 0$ Abklingkonstante
• $\omega _{0}$ Resonanzfrequenz

Die Gleichung lässt sich mit einem Expontentialansatz lösen.

Falls $\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}>0$ gilt, ergibt sich

$x(t)=\exp(-\gamma t)\left(x|_{t=0}\cdot \cos(\omega t)+\left(x|_{t=0}\cdot \gamma +{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}|_{t=0}\right){\frac {\sin(\omega t)}{\omega }}\right)$

mit $\omega ^{2}=\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}$

Für den Spezialfall $\gamma =0$, d. h. keine Dämpfung, vereinfacht sich die Lösung zu

$x(t)=x|_{t=0}\cdot \cos(\omega _{0}t)+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}|_{t=0}{\frac {\sin(\omega _{0}t)}{\omega _{0}}}$

Falls $\omega _{0}^{2}-\gamma ^{2}=0$ gilt, d. h. sogenannte kritische Dämpfung, ergibt sich

$x(t)=\left(\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}|_{t=0}+\gamma \cdot x|_{t=0}\right)\cdot t+x|_{t=0}\right)\exp(-\gamma t)$

Weblinks

Commons: Harmonischer Oszillator – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Harmonischer Oszillator, quantenmechanisch
• ChemgaPedia zu harmonischen/anharmonischem Oszillator