Pushout

Das Pushout (auch Kofaserprodukt, kokartesisches Quadrat, Fasersumme, amalgamierte Summe) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um die zum Pullback duale Konstruktion.

Pushout von Moduln

Es seien $\alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}$ und $\alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}$ zwei Homomorphismen zwischen Moduln über einem Ring $R$. Setzt man $Q:=\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):\,x\in X\}\subset X_{1}\oplus X_{2}$, so ist das Pushout von $\alpha _{1}$ und $\alpha _{2}$ definiert als

$P:=(X_{1}\oplus X_{2})/Q$ mit den Homomorphismen

$\varphi _{1}:X_{1}\rightarrow P,\,\varphi _{1}(x_{1}):=(x_{1},0)+Q$ und

$\varphi _{2}:X_{2}\rightarrow P,\,\varphi _{2}(x_{2}):=(0,-x_{2})+Q$

Man kann zeigen, dass $\varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}$ und dass $P,\varphi _{1},\varphi _{2}$ die folgende universelle Eigenschaft hat:

Ist $Y$ irgendein $R$-Modul mit Homomorphismen $\psi _{1}:X_{1}\rightarrow Y$ und $\psi _{2}:X_{2}\rightarrow Y$, so dass $\psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}$, so gibt es genau einen Homomorphismus $\rho :P\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}$ und $\psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}$.

Pushout in Kategorien

Durch obiges Beispiel motiviert, definiert man das Pushout in beliebigen Kategorien wie folgt.

Es seien $\alpha _{1}:X\rightarrow X_{1}$ und $\alpha _{2}:X\rightarrow X_{2}$ zwei Morphismen einer Kategorie. Ein Paar $(\varphi _{1},\varphi _{2})$ von Morphismen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P$ dieser Kategorie heißt Pushout von $(\alpha _{1},\alpha _{2})$, falls gilt:

• $\varphi _{1}\circ \alpha _{1}=\varphi _{2}\circ \alpha _{2}$
• Ist $(\psi _{1},\psi _{2})$ ein Paar von Morphismen $\psi _{i}:X_{i}\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}\circ \alpha _{1}=\psi _{2}\circ \alpha _{2}$, so gibt es genau einen Morphismus $\rho :P\rightarrow Y$ mit $\psi _{1}=\rho \circ \varphi _{1}$ und $\psi _{2}=\rho \circ \varphi _{2}$.

Manchmal nennt man nur das Objekt $P$ ein Pushout und meint damit, dass es Morphismen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow P$ gibt, die obiger Definition genügen. Auch das Diagramm

${\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {\alpha _{1}}}&X_{1}\\\downarrow _{\alpha _{2}}&&\downarrow _{\varphi _{1}}\\X_{2}&{\xrightarrow {\varphi _{2}}}&P\end{array}}$

wird bisweilen als Pushout bezeichnet. Es gibt die zum Pullback analoge Schreibweise $P=X_{1}\sqcup _{X}X_{2}$.

Beispiele

• Jedes Pullback in einer Kategorie ${\mathcal {K}}$ ist ein Pushout in der dualen Kategorie ${\mathcal {K}}^{op}$, denn offenbar ist das Pushout genau das zum Pullback duale Konzept.
• In einer abelschen Kategorie ist das Pushout zu

${\begin{array}{ccc}X&{\xrightarrow {\alpha _{1}}}&X_{1}\\\downarrow _{0}&&\\0&&\end{array}}$

gleich dem Kokern von $\alpha _{1}$.

• Ist mit obigen Bezeichnungen $X$ das Nullobjekt einer additiven Kategorie, so ist das Pushout gleich der direkten Summe $X_{1}\oplus X_{2}$.
• Das einleitende Beispiel zeigt, dass es in der Kategorie der $R$-Moduln stets Pushouts gibt.
• In der Kategorie der Gruppen existiert stets ein Pushout. Mit obigen Bezeichnungen ist dieses gleich dem freien Produkt $X_{1}*X_{2}$ modulo dem von $\{\alpha _{1}(x)\alpha _{2}(x)^{-1}:\,x\in X\}$ erzeugten Normalteiler $N$ mit den natürlichen Abbildungen $\varphi _{i}:X_{i}\rightarrow X_{1}*X_{2}\rightarrow X_{1}*X_{2}/N$ Diese Konstruktion tritt beim Satz von Seifert-van Kampen auf.
• In der Kategorie der kommutativen Ringe mit Einselement ist das Pushout mit obigen Bezeichnungen gleich dem Tensorprodukt $X_{1}\otimes _{X}X_{2}$ versehen mit der Eins $1\otimes 1$ und der durch $(a\otimes b)\cdot (c\otimes d):=(a\cdot c)\otimes (b\cdot d)$ bestimmten Multiplikation.
• In der Kategorie der Mengen ist das Pushout $(X_{1}\sqcup X_{2})/{\sim }$, wobei $\sim$ die von $\{(\alpha _{1}(x),\alpha _{2}(x)):x\in X\}$ erzeugte Äquivalenzrelation auf der disjunkten Vereinigung $X:=X_{1}\sqcup X_{2}$ ist.
• Ähnlich lassen sich Pushouts von topologischen Räumen beschreiben. Diese spielen bei Verklebekonstruktionen eine Rolle.