Polygon

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Verschiedene Auffassungen von Polygonen und polygonalen Flächen

Ein Polygon (von altgriechisch πολυγώνιον polygṓnion ‚Vieleck‘; aus πολύς polýs ‚viel‘ und γωνία gōnía ‚Winkel‘)[1] oder auch Vieleck ist in der elementaren Geometrie eine ebene geometrische Figur, die durch einen geschlossenen Streckenzug gebildet wird.

Ein Polygon ist ein zweidimensionales Polytop.

Ein Polygon erhält man, indem in einer Zeichenebene mindestens drei verschiedene (nicht kollineare) Punkte durch Strecken miteinander verbunden werden. Dabei entsteht ein geschlossener Streckenzug (Polygonzug) mit ebenso vielen Ecken, beispielsweise ein Dreieck (3 Punkte, 3 Strecken) oder ein Viereck (4 Punkte, 4 Strecken).

Die umschlossene Fläche wird oft auch als Polygon bezeichnet, so in der Planimetrie.

Definition und Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Polygon ist eine Figur, die durch ein Tupel von verschiedenen Punkten definiert ist.

  • Die Punkte heißen die Eckpunkte oder kurz Ecken des Polygons, ein Polygon mit Ecken heißt -Eck oder (insbesondere in der englischen Literatur) auch -Gon.
  • Die Strecken und bezeichnet man als Seiten des Polygons.
  • Alle Verbindungsstrecken zweier Eckpunkte, die keine Seiten sind, nennt man Diagonalen.

Manchmal werden noch weitere Bedingungen für die Definition eines Polygons vorausgesetzt, die aber formal nicht notwendig sind:

  • Ein Polygon hat mindestens drei paarweise voneinander verschiedene Eckpunkte. Das schließt ein „Zweieck“ aus.
  • Drei angrenzende Eckpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Auch , , und , , gelten dabei als angrenzende Eckpunkte. Das schließt Ecken mit gestrecktem Winkel aus.

Klassifikation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Historische Abbildung von Vielecken (1699)

Nach Anzahl der Ecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polygone werden typischerweise nach der Zahl der Ecken (Wertigkeit des Polygons) benannt.

Regelmäßiges Polygon[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hat ein Polygon gleiche Seiten und gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet. Viele regelmäßige Polygone lassen sich mit Zirkel und Lineal konstruieren (Konstruierbares Polygon).
Z+L bedeutet: lässt sich mit Zirkel und Lineal konstruieren.

Liste regelmäßiger Polygone
Ecken Bezeichnung Griechisch Z+L Besonderheit
1 Eineck Monogon - Punkt
2 Zweieck Digon - Strecke
3 Dreieck Trigon ja 1. Fermatsche Primzahl
4 Viereck Tetragon ja Quadrat
5 Fünfeck Pentagon ja 2. Fermatsche Primzahl
6 Sechseck Hexagon ja
7 Siebeneck Heptagon nein Näherungskonstruktion möglich
8 Achteck Oktogon ja englisch octagon
9 Neuneck Nonagon nein seltener Enneagon, Näherungskonstruktion möglich
10 Zehneck Dekagon ja
11 Elfeck Hendekagon nein Näherungskonstruktion möglich
12 Zwölfeck Dodekagon ja
13 Dreizehneck Tridekagon nein
14 Vierzehneck Tetradekagon nein
15 Fünfzehneck Pentadekagon ja
16 Sechzehneck Hexadekagon ja
17 Siebzehneck Heptadekagon ja 3. Fermatsche Primzahl
18 Achtzehneck Oktodekagon nein englisch octadecagon, octakaidecagon
19 Neunzehneck Nonadekagon nein englisch auch enneadecagon, enneakaidecagon
20 Zwanzigeck Ikosagon ja
21 Einundzwanzigeck Ikosihenagon nein
24 Vierundzwanzigeck Ikositetragon ja
30 Dreißigeck Triakontagon ja
40 Vierzigeck Tetrakontagon ja
50 Fünfzigeck Pentakontagon nein
51 Einundfünfzigeck Pentakontahenagon ja
60 Sechzigeck Hexakontagon ja
70 Siebzigeck Heptakontagon nein
80 Achtzigeck Oktokontagon ja englisch octacontagon
85 Fünfundachtzigeck Oktokontapentagon ja englisch octacontapentagon
90 Neunzigeck Enneakontagon nein
100 Hunderteck Hektogon nein
257 257-Eck ja 4. Fermatsche Primzahl
1.000 Tausendeck Chiliagon
10.000 Zehntausendeck Myriagon
65.537 65537-Eck ja 5. Fermatsche Primzahl
100.000 Hunderttausendeck
1.000.000 1000000-Eck Megagon
4.294.967.295 4294967295-Eck ja Größte bekannte ungerade Eckenanzahl, die theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist
Googoleck Googolgon Eckenzahl: eine 1 mit 100 Nullen

Weitere Typen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Klassifikation von Polygonen
Überschlagenes Polygon
Schneiden (berühren) sich die Kanten nicht nur in den Eckpunkten, bezeichnet man das Polygon als überschlagen. Liegt keine Selbstüberschneidung vor, bezeichnet man das Polygon als einfach.
Nicht-überschlagens Polygon
Nicht überschlagene Vielecke können konvex (alle Innenwinkel sind kleiner als 180°) oder nichtkonvex (mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°) sein.
Planares Polygon
In der Ebene liegendes (planares) Polygon.
Nicht-planares Polygon
Im Raum liegendes (nicht-planares) Polygon.

Polygone können gleichseitig oder gleichwinklig sein:

Regelmäßiges Polygon
Hat ein Polygon sowohl gleiche Seiten, als auch gleiche Innenwinkel, dann wird es als regelmäßiges Polygon oder reguläres Polygon bezeichnet.
Sternpolygon
Planare überschlagene reguläre Polygone werden wegen ihres Aussehens auch als Sternpolygone bezeichnet.
Orthogonales Polygon
Bei orthogonalen Polygonen treffen alle Kanten im rechten Winkel aufeinander (das heißt, der Innenwinkel beträgt an jeder Kante entweder 90° oder 270°).

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem nicht überschlagenen, ebenen -Eck ist die Summe der Innenwinkel

.

Für die Summe der Außenwinkel gilt dann unabhängig von der Zahl der Ecken

.

Sind darüber hinaus alle Innen- und Außenwinkel gleich groß, so haben diese den Wert

  bzw.   .

Diagonalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für nicht überschlagene Polygone gilt zur Berechnung der Anzahl der Diagonalen folgende Überlegung:

  1. Jede der Ecken kann durch eine Strecke mit einer der anderen Ecken verbunden werden.
  2. Die Verbindung von Ecke zur Ecke ist mit der Verbindung von nach identisch.
  3. Genau Verbindungen sind Seiten des Polygons.

Also hat ein nicht überschlagenes -Eck genau Diagonalen. Bei einem nichtkonvexen Polygon gibt es (im Bereich eines überstumpfen Innenwinkels) Diagonalen außerhalb des Polygons.

Umfang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann der Umfang des Polygons durch Addition der mit dem Satz des Pythagoras berechneten Seitenlängen bestimmt werden:

Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn die Eckpunkte eines ebenen einfachen Polygons durch kartesische Koordinaten gegeben sind, kann die Fläche des Polygons nach der gaußschen Trapezformel berechnet werden:

.

Hierbei werden die Indizes, die größer als sind, immer modulo betrachtet, das heißt mit ist gemeint:

In Determinantenform lautet die gaußsche Trapezformel:

Neben der gaußschen Trapezformel kann die Fläche eines Polygons durch eine vorzeichenbehaftete Summe der Flächeninhalte von Dreiecken berechnet werden, die mit den Kanten des Polygons als Basen und einem festen Punkt (zum Beispiel dem Ursprungspunkt) als Spitze gebildet werden. Die Flächeninhalte der Dreiecke mit einer dem festen Punkt abgewandten Basis (als Kante des Polygons) werden dabei mit negativen Vorzeichen versehen.[2]

Der Flächeninhalt von Gitterpolygonen, deren Ecken alle auf einem Gitter liegen, kann mit dem Satz von Pick berechnet werden.

Algorithmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Insbesondere für die Programmierung ist die folgende Darstellung der gaußschen Trapezformel besonders geeignet, da sich zum Speichern der Koordinaten Arrays anbieten, die Indizierung von Arrays bei vielen Programmiersprachen ohnehin bei null beginnt und die Modulo-Funktion somit besonders elegant zum Einsatz kommen kann. Die Modulo-Funktion ist hier nötig, um sogenannte Off-by-one-Fehler bei der Array-Indizierung auszuschließen. Dabei sind , , , die Koordinaten der Eckpunkte des Polygons.

Der folgende Programmcode soll eine beispielhafte Implementierung – hier in der Programmiersprache C# – zeigen:

public double berechnePolygonFlaeche(double[] x, double[] y)
{
    if ((x == null) || (y == null)) // auf leere Argumente testen
    {
        return 0.0;
    }
    int anzahlDerEcken = Math.Min(x.Length, y.Length);
    if (anzahlDerEcken < 3) // ein Polygon hat mindestens drei Eckpunkte
    {
        return 0.0;
    }
    double flaecheninhalt = 0.0;
    
    // Schleife zwecks Summenbildung
    for (int i = 0; i < anzahlDerEcken; i++)
    {
        // Modulo-Funktion für die Indexe der Koordinaten
        flaecheninhalt += (y[i] + y[(i + 1) % anzahlDerEcken]) * (x[i] - x[(i + 1) % anzahlDerEcken]);
    }
    return Math.Abs(flaecheninhalt / 2.0);
}

Die Koordinaten der Eckpunkte sind dabei in den beiden Arrays x und y gespeichert. Für das Beispiel-5-Eck , das einen Flächeninhalt von 45 hat, können diese Arrays z. B. wie folgt initialisiert werden:

double[] x = {7.0, 8.0, 4.0, 1.0, 1.0}; // beispielhafte x-Koordinaten des Polygons
double[] y = {0.0, 7.0, 9.0, 6.0, 2.0}; // beispielhafte y-Koordinaten des Polygons

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Informatik sind wichtige Approximationen komplexer Polygone die konvexe Hülle und das minimal umgebende Rechteck. In Algorithmen wird oft erst anhand der Approximation auf einen möglichen nichtleeren Schnitt mit einem anderen geometrischen Objekt getestet (oder dieser ausgeschlossen), erst anschließend das ganze Polygon in den Speicher geladen und ein exakter Schnitt berechnet.

In der 3D-Computergrafik werden neben anderen Verfahren der geometrischen Modellierung beliebige (auch gekrümmte) Oberflächen als Polygonnetz modelliert. Dreiecksnetze eignen sich besonders gut zur schnellen Darstellung von Oberflächen, können allerdings nicht so gut durch Subdivision Surfaces interpoliert werden. Zur Speicherung von polygonalen Netzen gibt es eine Reihe bekannter Datenstrukturen.

In der Architektur werden regelmäßige Polygone oft als Grundriss verwendet. Bekannte Beispiele:

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Polygon – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Polygon – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Vieleck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wilhelm Gemoll: Griechisch-Deutsches Schul- und Handwörterbuch. G. Freytag Verlag / Hölder-Pichler-Tempsky, München/Wien 1965.
  2. Cha Zhang, Tsuhan Chen: Efficient feature extraction for 2D/3D objects in mesh representation (PDF; 66 kB). Image Processing, 2001. Proceedings. 2001 International Conference on. Vol. 3. IEEE, 2001. APA (englisch).