Stern (Geometrie)

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In der Geometrie versteht man unter einem regulären Stern ein (normalerweise nicht-konvexes) regelmäßiges (bei Drehung um 1/n um seinen Mittelpunkt invariantes) 2n-Eck, dessen Kanten alle gleich lang sind. Der als n-spitziger (n-strahliger oder n-zackiger) bezeichnete Stern hat nämlich n äußere (konvexe) Ecken, Spitzen genannt, und n innere (konkave) Ecken und ist somit ein 2n-eckiges (gleichseitiges) Polygon.

Die Bezeichnung Stern für ein solches ebenes Polygon wird in der kombinatorischen Geometrie weiter eingeschränkt durch die Bedingung, dass die Geraden, auf denen die Kanten des Sterns liegen, stets durch zwei konvexe (äußere) Ecken des Sterns verlaufen und wird dann als Sternpolygon bezeichnet. Alternativ wird daher in der kombinatorischen Geometrie das Sternpolygon definiert als ein regelmäßiges (gleichseitiges und gleichwinkliges), überschlagenes (nicht-konvexes), ebenes Polygon. Überschlagen bedeutet dabei, dass sich die Seiten innerhalb des Polygons schneiden dürfen. Die Bezeichnung Sternpolygon ist erst im 20. Jahrhundert aufgekommen, als Geometer anfingen Pflasterungen kombinatorisch zu studieren.[1] Die Konstruktion dieser sternförmigen Polygone ist natürlich viel älter (vgl. z. B. das Pentagramm).

Hiervon zu unterscheiden sind die in der Topologie und Analysis betrachteten Sterngebiete, zu denen auch die konvexen Mengen gehören und die nicht polygonal zu sein brauchen.

Sternpolygon[Bearbeiten]

Konstruktion[Bearbeiten]

Ein reguläres Sternpolygon (kombinatorischer Stern oder Schläfli-Stern) entsteht, indem man in einem ebenen regelmäßigen p-Eck jeden Eckpunkt mit einem nicht benachbarten Eckpunkt (und auch nicht mit sich selbst) durch eine (gerade) Strecke verbindet und dieses Verfahren fortsetzt, bis der ursprüngliche Eckpunkt wieder erreicht wird. Das Verfahren kann auch als das Verbinden jeden q-ten Punktes einer gleichmäßig mit p Punkten unterteilten Kreislinie beschrieben werden.

Ein p-Eck liefert im Allgemeinen (für p > 6) mehr als eine Sternpolygonkonstruktion, welche durch die Schreibweise mittels Schläfli-Symbol {p/q} als ungekürzter Bruch (mit 2 \leq q \leq \left \lfloor \tfrac{p-1}{2} \right \rfloor ) unterschieden werden. Sind p und q teilerfremd, lässt sich der Stern in einem Zug zeichnen. Ansonsten zerfällt er in genau ggT(p,q) viele Polygone. Meistens fordert man daher zusätzlich die Teilerfremdheit von p und q, damit das konstruierte Polygon zusammenhängend bleibt.

Tabelle über Sternpolygone[Bearbeiten]

Anzahl der
Spitzen!
Anzahl der
(zusammenhängenden)
Sternpolygone
Schläfli-Symbol {p/q} Bezeichnung Spitzenwinkel α
{p/2} {p/3} {p/4} {p/5} {p/6} {p/7} {p/8} {p/9} {p/10} {p/11}
3 0 (0)
4 0 (0)
5 1 (1) {5/2} Pentagramm   36°
6 1 (0) {6/2} Hexagramm, Sechsort   60°
7 2 (2) {7/2}, {7/3} Heptagramm ~ 77°8′34″
≈ 77,14°
~ 25°42′51″
≈ 25,71°
8 2 (1) {8/2}, {8/3} Oktagramm, Achtort   90°   45°
9 3 (2) {9/2}, {9/3}, {9/4} Neunstern, Enneagramm   100°   60°   20°
10 3 (1) {10/2}, {10/3}, {10/4} Dekagramm   108°   72°   36°
11 4 (4) {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5} Hendekagramm ~ 114°32′44″
≈ 114,55°
~ 81°49′5″
≈ 81,82°
~ 49°5′27″
≈ 49,09°
~ 16°21′49″
≈ 16,36°
12 4 (1) {12/2}, {12/3}, {12/4}, {12/5} Dodekagramm   120°   90°   60°   30°
13 5 (5) {13/2}, {13/3}, {13/4}, {13/5}, {13/6} Tridekagramm ~ 124°36′55″ ≈ 124,62° ~ 96°55′23″ ≈ 96,92° ~ 69°13′51″ ≈ 69,23° ~ 41°32′18″ ≈ 41,54° ~ 13°50′46″ ≈ 13,85°
14 5 (4) {14/2}, {14/3}, {14/4}, {14/5}, {14/6} Tetradekagramm ~ 128°34′17″ ≈ 128,57° ~ 102°51′25″ ≈ 102,86° ~ 77°08′34″ ≈ 77,14° ~ 51°25′43″ ≈ 51,43° ~ 25°42′51″ ≈ 25,71°
15 6 (3) {15/2}, {15/3}, {15/4}, {15/5}, {15/6}, {15/7} Pentadekagramm   132°   108°   84°   60°   36° 12°
16 6 (3) {16/2}, {16/3}, {16/4}, {16/5}, {16/6}, {16/7} Hexadekagramm   135°   112,5°   90°   67,5°   45° 22,5°
... ... ...
20 8 (3) {20/2}, {20/3}, {20/4}, {20/5}, {20/6}, {20/7}, {20/8}, {20/9} Ikosagramm   144°   126°   108°   90°   72° 54° 36° 18°
... ... ...
24 10 (3) {24/2}, {24/3}, {24/4}, {24/5}, {24/6}, {24/7}, {24/8}, {24/9}, {24/10}, {24/11} Tetraikosagramm   150°   135°   120°   105°   90° 75° 60° 45° 30° 15°
... ... ...
p \left \lfloor \tfrac{p-3}{2} \right \rfloor  (\tfrac{\varphi(p)}{2}-1) \{p / 2 \}, \dots ,\{ p / \left \lfloor \tfrac{p-1}{2} \right \rfloor \} 180^\circ \cdot (1-\tfrac{2q}{p})  = \pi (1-\tfrac{2q}{p}) = \tfrac{\pi}{p}(p-2q)

Anmerkungen:

  • Die Indizes der zusammenhängenden Sternpolygone sind fett hervorgehoben. Die Folge der Anzahl der zusammenhängenden Sternpolygone ist in OEIS, A055684.
  • Alle (gerundeten) Winkelangaben sind in Grad (°), Bogenminuten (′) und Bogensekunden (″) sowie in Dezimalgrad angegeben.
  • In den allgemeinen Formeln stehen die eckigen Klammern \left \lfloor \dots \right \rfloor (Gauß-Klammer) für das Abrunden zur nächsten ganzen Zahl; die Funktion \varphi(.) bezeichnet die Eulersche Phi-Funktion.

Interpretationen des Sternpolygons[Bearbeiten]

Drei mögliche Interpretationen des {5/2}-Sternpolygons.

Da die Definition des Sternpolygons aus der kombinatorischen Geometrie und nicht aus der euklidischen Geometrie stammt, hat man genau genommen bei einem Sternpolygon noch keinen geometrischen Stern im Sinne der euklidischen Geometrie, sondern ein Objekt aus der Graphentheorie kanonisch in die euklidische Ebene eingebettet. Dies wird klar, wenn man sich fragt, was genau die Ecken, Kanten und die Fläche des Objektes sind, und was man unter einem geometrischen Stern verstehen will.

Diese „Interpretationsfreiheit“ des Sternpolygons als geometrischen Stern kann man gut im linken Bild erkennen: Der gelbe Stern ist der geometrische Stern, daneben das flächenlose zugehörige Sternpolygon, dann noch zwei weitere sinnvolle Interpretationen des Sternpolygons als mathematischer Stern. Der rote Stern ist eine typische Interpretation in der Theorie der Pflasterungen. Die beiden mittleren Sterne haben je 5 Ecken und 5 Kanten, der gelbe und der grüne Stern aber je 10 Ecken und 10 bzw. 15 Kanten. Der gelbe Stern hat die Kanten mit der Parity-Umlaufregel definiert, der grüne Stern seine Flächen mit der Parity-Umlaufregel, die sich aus der Konstruktionsvorschrift des Sternpolygons ergibt.

Regulärer Stern[Bearbeiten]

Allgemeine Konstruktion[Bearbeiten]

Eine allgemeine geometrische Konstruktion eines regulären Sterns (nicht notwendigerweise Sternpolygons) ist die, ausgehend von n (mindestens 3) gleichmäßig auf einer Hilfskreislinie liegenden Punkten, dessen n Spitzen (äußere konvexe Ecken) zu konstruieren. Eine Möglichkeit ist, dass man ebenso wie bei dem Sternpolygon von einer Spitzen ausgehend eine Strecke zu einem anderen, nun aber beliebigen Punkt (aber weiter als die benachbarte Ecke entfernt) auf dem Hilfskreis konstruiert. Die zweite Kante der Spitze wird nun durch Spiegelung dieses Punktes gewonnen, und alle übrigen Spitzen durch entsprechend gedrehte Konstruktion am Kreis.

Eine überschneidungsfreie, einfache Konstruktion ist folgende: Man verbindet alternierend die nächstgelegenen Ecken zweier konzentrischer regulärer n-Ecke, die gegeneinander um \tfrac{180^\circ}n verdreht sind.

Geometrische Kenngrößen[Bearbeiten]

Geometrische Verhältnisse an einer Sternspitze

Geometrisch ist der äußere Kreis der Umkreis des Polygons und der innere (der überschneidungsfreien Konstruktion), der Inkreis des konstruierten Sterns. Im linken Bild betrachtet man eine Spitze (schwarze Kanten) eines regulären n-zackigen Sterns, deren obere Hälfte als rechtwinkliges Dreieck (in schwarz, grün, hellblau) eingezeichnet ist. Der halbe Spitzenwinkel \tfrac\alpha2 einer Sternzacke ist hier in gelb eingezeichnet. Das zweite rechtwinklige Dreieck (in grün, rot, blau) erstreckt sich von der grünen Kante zum Mittelpunkt des Sterns. In lila ist dort der grundlegende Konstruktionswinkel \tfrac{1}{2n} des Vollkreises = 180°/n = \tfrac{\pi}{n} Radiant gekennzeichnet, der den spitzen Winkel des Dreiecks aus zwei nebeneinander liegenden Ecken (nicht Spitzen!) des Sterns und seinem Mittelpunkt bildet. Sei nun der Radius des Umkreises mit r und der Radius des Inkreises mit \rho bezeichnet, wobei 0 < \rho < r\cos(\tfrac{\pi}{n}) < r ist. Dann gilt aufgrund der beiden Dreiecksverhältnisse:

\tan(\tfrac \alpha2) = \tfrac{\tfrac{\rho}{r}\sin(\tfrac \pi n)}{1 - \tfrac{\rho}{r}\cos(\tfrac \pi n)} bzw. unter Nutzung der trigonometrischen Additionstheoreme \tfrac{\rho}{r} = \tfrac{\sin(\tfrac\alpha2)}{\sin(\tfrac\alpha2+\tfrac\pi n)}. Ferner beträgt die Kantenlänge des so konstruierten Sterns \sqrt{\rho^2-2r\rho\cos(\tfrac \pi n)+r^2} und sein Flächeninhalt ist n r \rho \sin(\tfrac{\pi}{n}).

Wie oben aufgeführt, ist auch der Spitzenwinkel des regelmäßigen Sternpolygons stets ein ganzzahliges Vielfaches dieses Winkels. Somit könnte man dem Spitzenwinkel jedes Sterns eine reelle Zahl q < \tfrac n2 zuordnen, formal q = \tfrac{n}{2}(1-\tfrac{\alpha}{\pi}), und ihn als verallgemeinertes (nicht notwendig in q ganzzahliges) {p/q}-Sternpolygon auffassen. Für den Spitzenwinkel eines regulären n-zackigen Sterns muss ja immer gelten: \alpha < \pi(1-\tfrac2n), damit das Polygon zu keinem konvexen 2n-Eck ausartet, was dann zur Bedingung q > 1 äquivalent ist. Für die Radien des Um- und Inkreises gilt somit: \textstyle \frac{\rho}{r} < \cos(\frac\pi n) < 1.

Beispiele[Bearbeiten]

Ein klassischer Fall, der auf regelmäßige nicht-Sternpolygone führt, ist der, dass man diese Kantengeraden genau mittig zwischen Spitzen des Sterns legt -- siehe beispielsweise die Geometrie des Stern von Verginas (künstlerische Verschönerung eines 16-zackiggen Sterns als Sonnensymbol der Antike) oder des 8-zackigen Sternberger Sterns (Wappenfigur aus dem Mittelalter). Weitere Beispiele sind der 3-zackige Mercedes-Stern (im Logo dieser Automarke als ebener Stern) mit Spitzenwinkel von 360°/18 -- und somit „enthalten" im {9,4}-Sternpolygon --, der 4-zackige Nato-Stern (abgeleitet aus einer 4-strahligen Kompassrose) oder der 6-zackige Stern im Wappen von Tamins (Gemeinde in der Schweiz) mit einem Spitzenwinkel von genau 45 °. Hier noch ein 8-strahliger Stern einer alten Kompassrose -- sehr gut lassen sich hier Umkreis und Inkreis erkennen und (im Rahmen der Bildgenauigkeit) \tfrac{\rho}{r} zu \tfrac{1}{4} bestimmen.

Nicht reguläre Sterne[Bearbeiten]

Hierfür hat sich in der Geometrie noch keine einheitliche Benennung oder gar Klassifikation durchgesetzt. Es ist nicht einmal definiert, ob regelmäßig nur rotations-invariant (unter 1/n-Drehung) oder auch spiegel-invariant für einen regelmäßigen Stern bedeuten soll. In Polarkoordinaten lassen sich natürlich leicht weitere regelmäßige Sterne definieren. Hier nur exemplarisch einige klassische Beispiele: Die Kurven der Hypozykloiden bilden bei ganzzahligem Verhältnis ihrer beiden Parameter a und b einen regelmäßigen Stern, der aber kein Polygon ist. Am bekanntesten ist das der Astroide für \tfrac{a}{b}=4, auch Sternkurve genannt. Auch die Einheitskreise der Quasi-p-Norm bilden für 2-dimensionale Vektorräume und reellem p aus dem offenen Intervall ]0,1[ 4-spitzige symmetrische Sterne. Algebraisch sind dies die Kurven der impliziten Funktionen |x|^p + |y|^p = 1 für alle p mit 0 < p < 1.

Abbildungen[Bearbeiten]

Sternpolygone mit kleinem Schläfli-Index[Bearbeiten]

Die zusammenhängenden Sternpolygone in fetter Schrift.

Regular Star Polygons-en.svg

Beispiele regulärer Sterne die keine Sternpolygone sind und schon lange in der Realität (Design) genutzt werden[Bearbeiten]

In manchen Nationalflaggen werden reguläre Sterne als Flaggensymbole verwendet, die kein {5/2}-Sternpolygon sind, und die offizielle Konstruktionsvorschrift für diese Sterne gibt oft einen doppelt so großen Umkreisradius wie Inkreisradius vor, beispielsweise in der von Nauru oder der von Antigua und Barbuda. Wenn man obige Formel aus dem Abschnitt Geometrische Kenngrößen umstellt, erhält man allgemein

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{\frac{r}{\rho} - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}

und im Fall r = 2\rho somit die Ungleichung

\frac{\pi}{n} >  \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) > \frac{\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}{2 - \cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} = \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) > \frac{\alpha}{2}.

Schon für n \ge 8 ist dann \alpha \approx \tfrac{2\pi}{n} eine gute Approximation für den Spitzenwinkel. Für einen geraden Wert von n ist so ein Stern dann praktisch nicht mehr von einem \left\{n/\tfrac{n-2}{2}\right\}-Sternpolygon optisch zu unterscheiden.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Stern – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. New York: Wiley, 21969, §2.8 (Star Polygons), S. 36–38. (Deutsch: Unvergängliche Geometrie. Basel: Birkhäuser, 21981.)