Benutzer:Stoerzer/Spielwiese

Der Begriff Linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektorräumen über einem gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume), so spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.

Im Gegensatz zu endlichdimensionalen Räumen, wo lineare Operatoren stets beschränkt sind, tauchen bei unendlichdimensionalen Räumen auch unbeschränkte lineare Operatoren auf.

Definition

Linearer Operator

Es seien $V$ und $W$ reelle oder komplexe Vektorräume. Eine Abbildung $T$ von $VF$ nach $W$ heisst linearer Operator, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda \in \mathbb {K} =\{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ die folgenden Bedingungen gelten:

1. $T$ ist homogen: $T(\lambda x)=\lambda T(x)$
2. $T$ ist additiv: $T(x+y)=T(x)+T(y)$.

Antilinearer Operator

Seien $V$ und $W$ komplexe Vektorräume. Ein Operator $T$ von $V$ in $W$ heißt antilinearer Operator, wenn für alle $x,y\in V$ und $\lambda \in \mathbb {C}$ die folgenden Bedingungen gelten:

1. $T$ ist antihomogen: $T(\lambda x)={\overline {\lambda }}T(x)$
2. $T$ ist additiv: $T(x+y)=T(x)+T(y)$.

Beispiele

Lineare Operatoren

• Es sei $A$ eine reelle $n\times m$-Matrix. Dann ist die lineare Abbildung $A:x\mapsto Ax$ ein linearer Operator von $\mathbb {R} ^{m}$ in $\mathbb {R} ^{n}$.

• Sei $V$ ein $\mathbb {K}$-Vektorraum. Dann ist jedes lineare Funktional $T:V\to \mathbb {K}$ ein linearer Operator.

• Für eine offene Menge $\Omega \subset \mathbb {R}$ ist der Ableitungsoperator $f\mapsto Df=f',$ der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, ein linearer Operator von $C^{1}(\Omega )$ (Menge aller einmal stetig differenzierbaren Funktionen von $\Omega$ nach $\mathbb {C}$ ) in $C(\Omega )$ (Menge der stetigen Funktionen auf $\Omega$).

• Für $\Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {R} ^{n}$ offen und einer messbare Funktion $K:\Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {C}$ als Integralkern ist der Integraloperator $Tf(x)=\int _{\Omega _{1}}K(t,x)f(t)\mathrm {d} t$ ein linearer Operator zwischen zwei Vektorräumen.

Bemerkung Auch Distributionen können als Integralkerne verwendet werden.

Kernsatz von Schwartz Für $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ offen sei $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ der Raum aller glatten Funktionen mit kompaktem Träger auf $\Omega$ und $C_{c}^{\infty '}(\Omega )$ sein Dualraum.

Dann gibt es zu jedem linearen Operator $T:C_{c}^{\infty }(\Omega _{2})\to C_{c}^{\infty '}(\Omega _{1})$ eine eindeutige Distribution $K\in C_{c}^{\infty '}(\Omega _{1}\times \Omega _{2}),$ so dass $(T\phi )(\psi )=K(\phi ,\psi )$ für alle $\phi \in C_{c}^{\infty }(\Omega _{1}),\psi \in C_{c}^{\infty }(\Omega _{2})$ gilt. Diese Distribution $K$ nennt man Schwartz-Kern.

Antilinearer Operator

• Sei $(H,\langle \cdot \mid \cdot \rangle )$ ein komplexer Hilbertraum und $H\,'$ sein stetiger Dualraum, d.h der Raum aller linearer stetiger Abbildungen von $H$ nach $\mathbb {C} .$ Dann gibt es nach dem rieszschen Darstellungssatz zu jedem $f\in H\,'$ genau ein $y_{f}\in H$, so dass $f(x)=\langle x\mid y_{f}\rangle$ für alle $x\in H$ gilt. Die Abbildung $H\,'\rightarrow H,f\mapsto y_{f}$ ist antilinear. Diese liegt darin begründet, dass ein komplexes Skalarprodukt $\langle \cdot \mid \cdot \rangle$ in der zweiten Variablen antilinear ist.

Bedeutung und Anwendungen

Die Bedeutung linearer Operatoren besteht darin, dass sie die lineare Struktur des unterliegenden Raumes respektieren, d.h. sie sind Homomorphismen zwischen Vektorräumen.

Anwendungen linearer Operatoren sind:

• Die Beschreibung von Koordinatentransformationen im dreidimensionalen Euklidischen Raum (Spiegelung, Drehung, Streckung) und der Lorentztransformation in der vierdimensionalen Raumzeit durch Matrizen.

• Die Darstellung von Observablen in der Quantenmechanik und die Beschreibung der Dynamik eines quantenmechanischen Systems durch seinen Hamilton-Operator $H$ in der Schrödingergleichung.

• Die Entwicklung von Lösungstheorien für Differential- und Integralgleichungen, siehe Sobolew-Raum und Distribution.

• In der Vierpoltheorie (Elektrotechnik) werden die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen (Stromstärke und Spannung) und den Ausgangsgrößen (Stromstärke und Spannung) als wechselseitig voneinander linear abhängig betrachtet. Die Abhängigkeiten können durch 2x2 Matrizen beschrieben werden.

Beschränkte lineare Operatoren

Definitionen

Seien $V$ und $W$ zwei normierte Vektorräume und $T:V\to W$ ein linearer Operator. Die Operatornorm von $T$ ist definiert durch:

$\|T\|:=\inf \left\{C\geq 0\mid \forall x\in V\colon \|Tx\|\leq C\,\|x\|\right\}.$

Oder äquivalent

$\|T\|:=\sup _{\|x\|=1}\|Tx\|=\sup _{x\not =0}{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}\in [0,\infty ].$

Es gilt: $\|Tx\|\leq \|T\|\|x\|.$

Ein Operator heisst beschränkt, falls die Operatornorm endlich ist, d.h. $\|T\|<\infty .$ Andernfalls heisst der Operator unbeschränkt.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum $V$ in den normierten Raum $W$ nennt man ${\mathfrak {L}}(V,W).$ Durch die Definition der Addition $(S+T)(x):=S(x)+T(x)$ und skalaren Multiplikation $(\lambda S)(x):=\lambda S(x)$ wird ${\mathfrak {L}}(V,W)$ selbst zu einem Vektorraum. Mit der Operatornorm ist dieser selbst ein normierter Vektorraum. (sogar ein Banachraum, falls $W$ vollständig ist) Falls $V=W$ ist, wird auch abkürzend ${\mathfrak {L}}(V)$ geschrieben. Der Raum $V':={\mathfrak {L}}(V,\mathbb {K} )$ heisst stetiger Dualraum von $V$. Seine Elemente sind die stetigen linearen Funktionale auf $V.$

Charakterisierung beschränkter linearer Operatoren

Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Ist $T:V\to W$ ein linearer Operator zwischen zwei normierten Vektorräumen, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. $T$ ist beschränkt, d.h. in ${\mathfrak {L}}(V,W)$ enthalten.
2. $T$ ist gleichmässig stetig.
3. $T$ ist stetig.
4. $T$ ist stetig in einem Punkt $x\in V$.

Beweis 1.) $\Rightarrow$ 2.): Aufgrund der Linearität und der Beschränktheit von $T$ gilt

$\|Tx-Ty\|\leq \|T\|\|x-y\|\leq C\|x-y\|$ für ein $C\geq 0.$ Somit ist $T$ gleichmässig stetig.

Die Implikationen 2.) $\Rightarrow$ 3.) $\Rightarrow$ 4.) sind offensichtlich.

4.) $\Rightarrow$ 1.): Sei ohne Einschränkung $T$ stetig in $x=0.$ Angenommen $T$ ist nicht beschränkt. Dann existiert eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\|x_{n}\|=1$ und $\|Tx_{n}\|\to \infty .$ Für die Folge $y_{n}:=x_{n}/\|Tx_{n}\|$ mit $\|Tx_{n}\|\not =0$ gilt $\|y_{n}\|\to 0$ für $n\to \infty$ und $\|Ty_{n}\|=1\not \to 0.$ Das ist aber ein Widerspruch zur Stetigkeit von $T$ in $0.$ Somit ist $T$ beschränkt.

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

• $I\in {\mathfrak {L}}(V)$ mit $\|I\|=1$, wobei $I$ der identische Operator auf $V$ ist.

• Es sei $K$ eine kompakte Menge und ${\mathcal {C}}(K)$ der Banachraum der stetigen Funktionen auf $K$ mit der Supremumsnorm. Weiter sei $f\in {\mathcal {C}}(K)$ und der lineare Operator $T_{f}:{\mathcal {C}}(K)\rightarrow {\mathcal {C}}(K)$ ist definiert durch $T_{f}(g)(k):=(fg)(k)$ für $k\in K$. Dann ist $T_{f}\in {\mathfrak {L}}(C(K))$ und $\|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }$.

• Es sei $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum und $L^{p}(\Omega )=L^{p}(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ der L^p-Raum der Äquivalenzklassen der in p-ter Potenz integrierbaren, messbaren Funktionen auf $\Omega$ mit der L^p-Norm für $1\leq p\leq \infty .$ Weiter sei $f\in L^{\infty }(\Omega )$ und der lineare Operator $T_{f}:L^{p}(\Omega )\rightarrow L^{p}(\Omega )$ definiert durch $T_{f}(g)(x):=(fg)(x)$ für $x\in \Omega .$ Dann ist $T_{f}\in {\mathfrak {L}}(L^{p}(\Omega ))$ und $\|T_{f}\|=\|f\|_{\infty .}$

• Sei $I\subset \Omega ,$ dann sei $\ell ^{p}(I)$ der L^p-Raum mit dem Zählmaß über $I$ für $1\leq p\leq \infty .$

Der Shiftoperator $S\in {\mathfrak {L}}(\ell ^{p}(\mathbb {N} )$ ist beschränkt mit $\|S\|=1,$ wobei $S((x_{1},x_{2},x_{3},\dots )):=(0,x_{1},x_{2},x_{3},\dots )$ auf dem Folgenraum $\ell ^{p}$ mit $1\leq p\leq \infty$ definiert ist.

Anwendungen

• Spektraltheorie

• Funktionalkalkül, d.h. für eine beschränkte, reelle bzw. komplexwertige messbare Funktion f und einen beschränkten linearen Operator T kann f(T) definiert werden.

Klassen beschränkter linearer Operatoren auf Hilberträumen

Seien $(H,\langle \cdot \mid \cdot \rangle ),(H_{1},\langle \cdot \mid \cdot \rangle _{1})$ und $(H_{2},\langle \cdot \mid \cdot \rangle _{2})$ Hilberträume.

Adjungierter Operator

→ Hauptartikel: Adjungierter Operator

Für $T:H_{1}\to H_{2}$ ist der adjungierte Operator $T^{*}:H_{2}\to H_{1}$ definiert durch $\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid T^{*}y\rangle _{1}$ für alle $x,y\in H.$

Beispiel

• Auf dem Hilbertraum $L^{2}[0,1]$ ist für $K\in C([0,1]\times [0,1])$ der Fredholmsche Integraloperator

$Tf(x):=\int _{0}^{1}K(t,x)f(t)\mathrm {d} t$ stetig auf $L^{2}[0,1].$

Sein adjungierter Operator $T^{*}$ lautet $T^{*}f(t):=\int _{0}^{1}{\overline {K(t,x)}}f(x)\mathrm {d} x\,.$

Selbstadjungierter Operator

→ Hauptartikel: selbstadjungierter Operator

Ein linearer Operator $T\in {\mathfrak {L}}(H)$ heisst selbstadjungiert, falls $T^{*}=T$ gilt.

Beispiel

• Jede symmetrische Matrix von $\mathbb {R} ^{n}$ nach $\mathbb {R} ^{n}$ ist ein selbstadjungierter Operator.
• Der lineare Operator $T:L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )$ mit $Tf=\mathbf {1} _{[0,1]}f$ ist beschränkt mit $\|T\|=1$ und selbstadjungiert. $($ hier ist $\mathbf {1} _{A}$ die charakteristische Funktion auf einer Menge $A\subseteq \mathbb {R} )$

Unitärer Operator

→ Hauptartikel: unitäre Abbildung

Ein Operator $T\in {\mathfrak {L}}(H)$ heisst unitär, falls $TT^{*}=T^{*}T=I$ gilt $($ wobei $TT^{*}:=T\circ T^{*}).$

Beispiel

• Sei $S$ der Shiftoperator auf dem Folgenraum $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ definiert durch $S(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):=(0,x_{1},x_{2},x_{3},\dots ).$ Es gilt $\|S\|=1,S^{*}(x_{1},x_{2},x_{3},\dots ):=(x_{2},x_{3},\dots )$ und $S^{*}S=I,$ aber $SS^{*}\not =I$. Somit ist $S$ auf $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ nicht unitär.
• Betrachtet man den Shiftoperator auf $\ell ^{2}(\mathbb {Z} ),$ dann ist $S(\dots x_{-1},x_{0},x_{1},\dots ):=(\dots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},\dots )$ unitär.

Projektionsoperator

→ Hauptartikel: Projektion

Ein Operator $T\in {\mathfrak {L}}(H)$ heisst Projektion, falls $PP=P$ gilt. Eine Projektion ist genau dann eine Orthogonalprojektion, wenn sie selbstadjungiert ist.

Beispiel

• Für $x\in H$ mit $\|x\|=1$ ist $Py:=\langle y\mid x\rangle x$ eine Orthogonalprojektion.

Kompakter Operator

→ Hauptartikel: kompakter Operator

Ein Operator $T\in {\mathfrak {L}}(H_{1},H_{2})$ heisst kompakt, falls er beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet, d.h. für eine beschränkte Menge $S$ in $H_{1}$ ist der Abschluss von $TS$ kompakt in $H_{2}.$

Beispiel

• Auf $L^{2}[0,1]$ ist für eine stetige Funktion $K\colon [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {C}$ der Fredholmsche Integraloperator ein kompakter Operator.

Unbeschränkte lineare Operatoren

Die Theorie der unbeschränkten Operatoren wurde von John von Neumann 1929 und, weitgehend unbahängig von Neumann, von Marshall Harvey Stone begründet.

Das Interesse an unbeschränkten Operatoren ist durch die Untersuchung von Differentialoperatoren und deren Eigenwertspektrum und Observablenalgebren begründet.

Definitionen

Seien $X$ und $Y$ Banachräume. Ein unbeschränkter linearer Operator

$T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq X\to Y\;$

ist eine lineare Abbildung $T$ von einem linearen Unterraum ${\mathcal {D}}(T)\subseteq X$ — die Domäne von $T$ — nach $Y.$ Dieser Unterraum muss im Allgemeinen weder abgeschlossen noch dicht definiert sein. Der Operator wird als partielle Abbildung aufgefasst.

Ein Operator $T$ heisst dicht definiert, falls ${\mathcal {D}}(T)$ dicht in $X$ ist. Das bedeutet, dass man zum Beispiel bei Betrachtung unbeschränkter Operatoren auf Hilberträumen auch einen Prähilbertraum als Definitionsbereich zulässt.

Ein Operator $T$ ist abgeschlossen, falls sein Graph $\Gamma (T):=\{(x,Tx)\mid x\in {\mathcal {D}}(T)\}$ von $T$ ein abgeschlossener Untervektorraum in der Produkttopologie $X\times Y$ ist, d.h. für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}(T)$ mit $x_{n}\to x\in X$ und $Tx_{n}\to y\in Y$ gilt $x\in {\mathcal {D}}(T)$ und $Tx=y.$

Ein Operator $T$ heisst abschliessbar, falls der Abschluss ${\overline {\Gamma (T}})$ von $\Gamma (T)$ der Graph eines Operators ${\overline {T}}$ ist. In diesem Fall ist ${\overline {T}}$ eindeutig und wird als Abschluss von $T$ bezeichnet.

Ein Operator $S$ ist eine Fortsetzung (oder Erweiterung) eines Operator $T$, falls $\Gamma (T)\subseteq \Gamma (S),$ d.h. ${\mathcal {D}}(T)\subseteq {\mathcal {D}}(S)$ und $Tx=Sx$ für $x\in {\mathcal {D}}(T).$ Man schreibt $T\subset S.$

Zwei Operatoren heissen gleich, falls $T\subset S$ und $S\subset T;$ oder äquivalent: ${\mathcal {D}}(T)={\mathcal {D}}(S)$ und $Tx=Sx$ für $x\in {\mathcal {D}}(T).$

Summe und Produkt zweier Operatoren $S,T$ sind durch ${\mathcal {D}}(S+T):={\mathcal {D}}(S)\cap {\mathcal {D}}(S)$ und ${\mathcal {D}}(ST):=\{x\in {\mathcal {D}}(T)\mid Tx\in {\mathcal {D}}(S)\}$ definiert.

Beispiel

• Betrachte den Differentialoperator

$Tf=f'\;$

auf dem Hilbertraum $L^{2}[0,1]$ (die Menge aller Äquivalenzklassen der quadratisch integrierbaren, messbaren Funktionen auf $[0,1]$) mit der Norm $\|f\|_{L^{2}}={\sqrt {\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx}}$ definiert auf ${\mathcal {D}}(T)=C^{1}[0,1]$, der Menge aller stetig differenzierbaren Funktionen auf $[0,1]$. Dann ist $T$ ein unbeschränkter Operator, da für die Funktionen $f_{n}$ auf $[0,1]$ mit $f_{n}(t)=\sin 2\pi nt\;$ gilt $\|f_{n}\|_{L^{2}}=1/{\sqrt {2}}$ aber $\|Tf_{n}\|_{L^{2}}=2\pi n/{\sqrt {2}}\to \infty .$

Der Operator ist dicht definiert und nicht abgeschlossen.

Abgeschlossener Operator

→ Hauptartikel: Abgeschlossener Operator

Abgeschlossene lineare Operatoren sind eine spezielle Klasse linearer Operatoren auf Banachräumen. Sie sind nicht notwendigerweise stetig, aber sie besitzen immer noch genügend Eigenschaften, sodass das Spektrum als auch (mit gewissen Voraussetzungen) der Funktionalkalkül definiert werden kann. Viele wichtige lineare Operatoren (z.B. Differentialoperatoren ) sind abgeschlossen, aber nicht beschränkt.

Definition

Ein linearer Operatorer $T\colon {\mathcal {D}}(T)\subseteq X\rightarrow Y$ heisst abgeschlossen, falls er die folgenden äquivalenten Eigenschaften erfüllt:

• Der Graph $\Gamma (T)$ ist in $X\times Y$ abgeschlossen.
• ${\mathcal {D}}(T)$ ist ein Banachraum bezüglich der Graphennorm $\|x\|_{T}:={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}$ für $x\in {\mathcal {D}}(T)$.
• Für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}(T)$ mit $x_{n}\to x\in X$ und $Tx_{n}\to y\in Y$ gilt $x\in {\mathcal {D}}(T)$ und $Tx=y.$

Beispiele

• Jeder stetige Operator $T:X\to Y$ ist abgeschlossen. Sind $X$ und $Y$ Banachräume, so gilt nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen (s.u.) auch die Umkehrung. Doch i.Allg. gilt die Umkehrung nicht wie das folgende Beispiel zeigt:

• Betrachte den Differentialoperator

$Tf:=f'\,$

auf dem Banachraum $C[a,b]$ der stetigen Funktionen auf dem Intervall $[a,b]$ mit der Supremumsnorm. Wählt man als Definitionsbereich ${\mathcal {D}}(T)$ die einmal stetig differenzierbaren Funktionen ${\mathcal {D}}(T):=C^{1}[a,b],$ dann ist $T$ ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist. Denn für die Folge $f_{n}(x)=\sin(nx)$ ist $\|f_{n}\|_{\infty }=1$ für alle $n\in \mathbb {N} ,$ aber für $Tf_{n}(x)=n\cos(nx)$ gilt $\|Tf_{n}\|_{\infty }\to \infty$ für $n\to \infty .$

Abschliessbarer Operator

Definitionen

Ein linearer Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq X\to Y$ heisst abschliessbar, falls er folgende äquivalente Bedingungen erfüllt:

• $T$ besitzt eine abgeschlossene Fortsetzung.
• Der Abschluss ${\overline {\Gamma (T)}}$ des Graphen von $T$ ist der Graph eines Operators.
• Für jede Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}(T)$ mit $x_{n}\to 0$ und $Tx_{n}\to y$ gilt $y=0.$

Der Kern (oder Gen) eines abschliessbaren Operators ist ein Unterraum ${\mathcal {D}}$ von ${\mathcal {D}}(T)$, sodass ${\overline {T|_{\mathcal {D}}}}={\overline {T}}$ gilt.

Bemerkung Nicht alle Operatoren sind abschliessbar wie das folgende Beispiel zeigt:

Beispiel

• Auf $L^{2}[0,1]$ sei der Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\to L^{2}[0,1]$ definiert durch ${\mathcal {D}}(T)=C[0,1]$ und $Tf(x)=f(0).$ Für die Folge $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ in ${\mathcal {D}}(T)$ mit $f_{n}(x):=(1-x)^{n}$ gilt

$\|f_{n}\|_{L^{2}}={\sqrt {\int _{0}^{1}(1-x)^{2n}\,dx}}={\sqrt {\frac {1}{2n+1}}}\to 0$ für $n\to \infty ;$

aber $Tf_{n}=1\neq 0.$ Deshalb ist $T$ nicht abschliessbar.

Anwendungen

• Die Darstellung von Observablen der Quantenmechanik erfordert unbeschränkte lineare Operatoren, da die den Observablen zugeordneten Operatoren i. Allg. unbeschränkt sind.

Klassen unbeschränkter linearer Operatoren auf Hilberträumen

Seien $(H,\langle \cdot \mid \cdot \rangle ),(H_{1},\langle \cdot \mid \cdot \rangle _{1})$ und $(H_{2},\langle \cdot \mid \cdot \rangle _{2})$ Hilberträume.

Adjungierter Operator

• Die Operatoren $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq H_{1}\rightarrow H_{2}$ und $S:{\mathcal {D}}(S)\subseteq H_{2}\rightarrow H_{1}$ heissen zueinander formal adjungiert, falls

$\langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1}$ für alle $x\in D(T)$ und $y\in D(S)$ gilt. Unter diesen Voraussetzungen ist $S$ im Allgemeinen nicht eindeutig durch $T$ gegeben. Ist $T$ dicht definiert, so existiert ein zu $T$ eindeutig bestimmter maximaler, formal adjungierter Operator $T^{*}$. Diesen nennt man den adjungierten Operator von $T$.

Symmetrischer Operator

Ein linearer Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq H\rightarrow H$ heisst symmetrisch, falls $\langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle$ für alle $x\in D(T).$

Beispiel

• Auf $L^{2}[0,1]$ ist der Differentialoperator

$Tf:=-{\rm {i}}f'$

mit ${\mathcal {D}}(T)=\{f\in L^{2}[0,1]|f$ ist absolut stetig und $f(0)=f(1)=0\}$ abgeschlossen und symmertrisch, aber nicht selbstadjungiert.

Wesentlich selbstadjungierter Operator

Ein linearer Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq H\rightarrow H$ heisst wesentlich selbstadjungiert, falls $T$ dicht definiert ist und ${\overline {T}}=T^{*}$ gilt.

Beispiel

• Sei $M$ eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann ist der Laplace-Operator

$\Delta f:=\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)$ (wobei $\operatorname {grad}$ bzw. $\operatorname {div}$ den Gradient bzw. die Divergenz bezeichnen)

auf $L^{2}(M)$ mit ${\mathcal {D}}(\Delta )=C_{c}^{\infty }(M)$ der Raum aller glatten Funktionen mit kompaktem Träger auf $M$ wesentlich selbstadjungiert.

Selbstadjungierter Operator

Ein linearer Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq H\rightarrow H$ ist selbstadjungiert, falls $T$ dicht definiert ist und $T=T^{*}$ gilt.

Bemerkung Für beschränkte Operatoren sind die Begriffe selbstadjungiert, symmetrisch und wesentlich selbstadjungiert äquivalent.

Beispiel

• Sei $(\Omega ,\Sigma ,\mu )$ ein Maßraum und $f:\Omega \to \mathbb {R}$ eine messbare Funktion. Dann ist der Multiplikationsoperator

$T_{f}g:=f\cdot g$

auf $L^{2}(\Omega )$ mit $D(T_{f})=\{g\in L^{2}(\Omega )|f\cdot g\in L^{2}(\Omega )\}$ dicht definiert und selbstadjungiert.

Normaler Operator

→ Hauptartikel: Normaler Operator

Ein linearer Operator $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq H\rightarrow H$ heisst normal, falls $TT^{*}=T^{*}T.$

Beispiel

• Selbstadjungierte und unitäre Operatoren sind normal.

Resolvente und Spektrum

→ Hauptartikel: Spektrum (Operatortheorie)

Sei $T:{\mathcal {D}}(T)\subseteq X\rightarrow X$ ein linearer i.Allg. unbeschränkter dicht definierter Operator auf einem Banachraum $X$ und $\mathbb {K} =\mathbb {C} .$ Dann ist $\lambda \in \mathbb {C}$ in der Resolventenmenge $\varrho (T)$ von $T,$ falls der Operator $T-\lambda I$ bijektiv und $(T-\lambda I)^{-1}$ beschränkt ist. Aus dem Satz des abgeschlossen Graphen folgt, dass die Resolvente für alle $\lambda \in \varrho (T)$ beschränkt ist, wenn $T$ abgeschlossen ist. Für $\lambda \in \varrho (T)$ ist die Resolvente von $T$ definiert durch $R(T,\lambda )=(\lambda I-T)^{-1}.$ Die Menge $\sigma (T):=\mathbb {C} \setminus \varrho (T)$ heisst Spektrum von $T.$

Das Spektrum $\sigma (T)$ eines linearen i.Allg. unbeschränkten Operator $T$ kann folgendermaßen unterteilt werden:

• Das Punktspektrum $\sigma _{p}(T):=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid (T-\lambda I)$ ist nicht injektiv$\}$ ist die Menge der Eigenwerte.
• Das kontinuierliche Spektrum $\sigma _{c}(T):=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid (T-\lambda I)$ ist injektiv und hat dichtes Bild, aber ist nicht surjektiv$\}.$
• Das Residualpektrum ist die Menge $\sigma _{r}(T):=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid (T-\lambda I)$ ist injektiv, aber das Bild ist nicht dicht$\}.$

Bemerkung Das Spektrum eines linearen Operator kann jede abgeschlossen Menge sein, sogar $\mathbb {C}$ und $\emptyset .$ Eine wichtige Rolle spielt dabei die Domäne des Operators wie folgendes Beispiel zeigt:

Beispiel

Betrachte den Banachraum $X=C[0,1]$ und die Operatoren $T_{1,2}f:=f'$ mit ${\mathcal {D}}(T_{1})=C^{1}[0,1]$ und ${\mathcal {D}}(T_{2})=\{f\in C^{1}[0,1]\mid f(0)=0\}.$

Für $f(x)=e^{\lambda x}$ gilt $T_{1}f-\lambda f=0.$ Dann ist $\sigma (T_{1})=\mathbb {C} .$
Für die lineare Differentialgleichung $(T_{2}-\lambda I)f=g,f(0)=0$ existiert eine eindeutige Lösung $f(x)=e^{\lambda x}\int _{0}^{x}e^{\lambda s}g(s)\,ds.$ Diese definiert eine Inverse für $(T_{2}-\lambda I).$ Somit gilt $\sigma (T_{2})=\emptyset .$

Hauptsätze über lineare Operatoren

Satz von Hahn-Banach

Sei $V$ ein Vektorraum über $\mathbb {K} =\{\mathbb {R}$, $\mathbb {C} \},\,U$ ein linearer Unterraum. Sei $p:V\to \mathbb {R}$ eine sublineare Abbildung und $f:U\to \mathbb {K}$ ein lineares Funktional mit $\operatorname {Re} f(u)\leq p(u)$ für alle $u\in U$ (wobei mit $\operatorname {Re} z$ der Realteil einer komplexen Zahl $z$ gemeint ist).
Dann existiert ein lineares Funktional $F:V\to \mathbb {K}$ mit

• $F|_{U}=f\,\,$ und
• $\operatorname {Re} F(v)\leq p(v)$ für alle $v\in V.$

Satz von Banach-Steinhaus (Prinzip der gleichmässigen Beschränktheit)

Sei $X$ ein Banachraum, $Y$ ein normierter Raum und $F$ eine Familie beschränkter linearer Operatoren von $X$ nach $Y.$
Dann folgt aus der punktweisen Beschränktheit

$\sup \left\{\,\|T(x)\|:T\in F\,\right\}<\infty$ für alle $x\in X,$

die gleichmäßige Beschränktheit

$\sup \left\{\,\|T\|:T\in F\;\right\}<\infty .$

Satz von der offenen Abbildung

Seien $X,Y$ Banachräume und $T\in {\mathfrak {L}}(X,Y)$ surjektiv. Dann ist $T$ offen.
Insbesondere gilt: Satz vom stetigen Inversen Ist $T$ bijektiv und stetig, dann ist die Inverse $T^{-1}$ stetig.

Satz vom abgeschlossenen Graphen

Seien $X,Y$ Banachräume und $T:X\to Y$ linear und abgeschlossen. Dann ist $T$ stetig.

Satz vom abgeschlossenen Bild

Seien $X,Y$ Banachräume, $T\in {\mathfrak {L}}(X,Y)$ und $T':Y'\to X'$ mit $y'\mapsto T'y'=y'\circ T$ sein dualer Operator. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (wobei $\operatorname {im} (T)$ bzw. $\operatorname {ker} (T)$ das Bild bzw. den Kern von $T$ bezeichnen)

• $\operatorname {im} (T)$ ist abgeschlossen in $Y.$
• $\operatorname {im} (T')$ ist abgeschlossen in $X'.$
• $\operatorname {im} (T)=\operatorname {ker} (T')^{\perp }=\{y\in Y|y'(y)=0$ für alle $y'\in \operatorname {ker} (T')\}.$
• $\operatorname {im} (T')=\operatorname {ker} (T)^{\perp }=\{x'\in X'|x'(x)=0$ für alle $x\in \operatorname {ker} (T)\}.$

Konvergenzbegriffe / Topologien auf Operatorräumen

→ Hauptartikel: Operatortopologie

Ist der zugrundeliegende Vektorraum $V$ endlichdimensional mit Dimension $n$, so ist ${\mathfrak {L}}(V)$ ein Vektorraum der Dimension $n^{2}$. In diesem Fall sind alle Normen äquivalent. d.h. sie liefern den gleichen Konvergenzbegriff und die gleiche Topologie.

Im Unendlichdimensionalen gibt es dagegen verschiedene nicht-äquivalente Topologien. Seien nun $X$ und $Y$ Banachräume und $(T_{i})_{i\in I}$ eine Folge (oder auch ein Netz) in ${\mathfrak {L}}(X,Y)$.

Normtopologie

$T_{i}$ konvergiert in der Normtopologie gegen $T$ genau dann wenn:

$\lim _{i}\|T-T_{i}\|=0$

Die Normtopologie ist die Topologie, die durch die offenen Kugeln erzeugt wird.

Starke Operatortopologie

$T_{i}$ konvergiert in der starken Operatortopologie (kurz stop) gegen $T$ genau dann wenn es punktweise konvergiert:

$\lim _{i}T_{i}x=Tx\quad \forall x\in X$

oder anders ausgedrückt:

$0=\lim _{i}\|T_{i}x-Tx\|=\lim _{i}\|(T_{i}-T)x\|\quad \forall x\in X$

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Abbildungen

$\left\lbrace \left.{\begin{matrix}{\mathfrak {L}}(X,Y)&\to &Y\\T&\mapsto &Tx\end{matrix}}\,\right|\,x\in X\right\rbrace$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Abbildungen stetig sind. ${\mathfrak {L}}(X,Y)$ mit der starken Operatortopologie ist also ein lokalkonvexer Raum.

Alternativ ausgedrückt: Die starke Operatortopologie ist die Produkttopologie aller Funktionen von $X$ nach $Y$ eingeschränkt auf die (evtl. beschränkten) linearen Operatoren.

Schwache Operatortopologie

$T_{i}$ konvergiert in der schwachen Operatortopologie gegen $T$ genau dann wenn:

$\lim _{i}\varphi (T_{i}x)=\varphi (Tx)\quad \forall x\in X,\varphi \in Y'$

oder anders ausgedrückt:

$\lim _{i}|\varphi (T_{i}x-Tx)|=0\quad \forall x\in X,\varphi \in Y'$

(Hierbei bezeichnet $Y'$ den stetigen Dualraum von $Y'$)

Die zugehörige Topologie ist die Initialtopologie, die durch die Menge von linearen Funktionalen

$\left\lbrace \left.{\begin{matrix}{\mathfrak {L}}(X,Y)&\to &\mathbb {C} \\T&\mapsto &\varphi (Tx)\end{matrix}}\,\right|x\in X,\varphi \in Y'\right\rbrace$

erzeugt wird. Dies ist die kleinste Topologie, in der all diese Funktionale stetig sind. ${\mathfrak {L}}(X,Y)$ mit der schwachen Operatortopologie ist also ebenfalls ein lokalkonvexer Raum.

Literatur

• Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis : eine anwendungsorientierte Einführung. 5. Auflage. Springer-Verlag, 2006, ISBN 3-540-34186-2
• Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen Teil I Grundlagen. 1.Auflage. B.G. Teubner Verlag, 2000, ISBN 3-519-02236-2
• Anton Deitmar: Funktionalanalysis Skript WS 2011/12 <http://www.mathematik.uni-tuebingen.de/~deitmar/LEHRE/frueher/2011-12/FA/FA.pdf>
• Paul R. Chernoff: Journal of Functional Analysis 12 Academic Press, 1973, Seite 401-414

Einzelnachweise

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