Graph des Tangens hyperbolicus
Graph des Kotangens hyperbolicus
Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen . Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens .
Tangens hyperbolicus:
y
=
tanh
x
{\displaystyle y=\tanh \,x}
Kotangens hyperbolicus:
y
=
coth
x
{\displaystyle y=\coth \,x}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
=
1
−
2
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}=1-{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
=
1
+
2
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}+1}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}=1+{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}}
Hierbei bezeichnen
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus .
Tangens hyperbolicus
Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
Wertebereich
−
1
<
f
(
x
)
<
1
{\displaystyle -1<f\left(x\right)<1}
−
∞
<
f
(
x
)
<
−
1
{\displaystyle -\infty <f\left(x\right)<-1}
1
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 1<f\left(x\right)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
x
<
0
{\displaystyle x<0}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten
x
→
+
∞
:
f
(
x
)
→
+
1
{\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}
x
→
−
∞
:
f
(
x
)
→
−
1
{\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}
x
→
+
∞
:
f
(
x
)
→
+
1
{\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}
x
→
−
∞
:
f
(
x
)
→
−
1
{\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
(
0
,
0
)
{\displaystyle \left(0,0\right)}
keine
Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei
u
∈
R
{\displaystyle u\in \mathbb {R} }
coth
u
=
u
{\displaystyle \coth \,u=u}
Sie liegen bei
u
±
=
±
1,199
67864
…
{\displaystyle u_{\pm }=\pm 1{,}19967864\dots }
A085984 in OEIS )
Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion
tanh
:
R
→
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \tanh \colon \mathbb {R} \rightarrow (-1,1)}
Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus . Sie ist für Zahlen x aus dem Intervall
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
Logarithmus ausdrücken:
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
.
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}.}
Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
1
cosh
2
x
=
sech
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x}
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
1
sinh
2
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}
Die
n
{\displaystyle n}
d
n
d
z
n
tanh
z
=
2
n
+
1
e
2
z
(
1
+
e
2
z
)
n
+
1
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
A
n
,
k
e
2
k
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\tanh z={\frac {2^{n+1}\mathrm {e} ^{2z}}{(1+\mathrm {e} ^{2z})^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A_{n,k}\,\mathrm {e} ^{2kz}}
mit den Euler-Zahlen An,k .
Es gilt das Additionstheorem
tanh
(
α
+
β
)
=
tanh
α
+
tanh
β
1
+
tanh
α
tanh
β
{\displaystyle \tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}}
analog dazu:
coth
(
α
+
β
)
=
1
+
coth
α
coth
β
coth
α
+
coth
β
{\displaystyle \coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,\mathrm {d} x=\ln \cosh x+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sinh x}|+C}
tanh
x
=
sgn
x
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
2
e
−
2
k
|
x
|
]
{\displaystyle \tanh x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]}
tanh
x
=
∑
k
=
0
∞
8
x
(
2
k
+
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8x}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
coth
x
=
1
x
+
∑
k
=
1
∞
2
x
k
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
Die Taylorreihe des Tangens hyperbolicus lautet:
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
⋅
B
2
n
⋅
x
2
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
⋅
2
2
n
+
1
π
2
n
⋅
λ
(
2
n
)
⋅
x
2
n
−
1
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
315
x
7
+
⋯
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots }
Hierbei steht Bₙ für die Bernoulli-Zahlen und λ(n) für die Dirichletsche Lambdafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π/2.
Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:
L
(
x
)
=
coth
x
−
1
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
⋅
2
π
2
n
⋅
ζ
(
2
n
)
⋅
x
2
n
−
1
=
1
3
x
−
1
45
x
3
+
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
+
⋯
{\displaystyle \mathrm {L} (x)=\coth x-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2}{\pi ^{2n}}}\cdot \zeta (2n)\cdot x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots }
Diese Funktion wird Langevin-Funktion genannt.
Dabei steht ζ(n) für die Riemannsche Zetafunktion . Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.
Johann Heinrich Lambert zeigte folgende Formel:
tanh
x
=
x
1
+
x
2
3
+
x
2
5
+
…
{\displaystyle \tanh x={\frac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\ldots }}}}}}}
Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel
tanh
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion
e
x
{\displaystyle {e}^{x}}
Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird Fall 1 :
x
{\displaystyle x}
x
>
k
⋅
ln
10
2
{\displaystyle {x}>k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}
tanh
x
=
+
1
{\displaystyle \tanh x=+1}
wobei
k
{\displaystyle k}
double 16 ist. Fall 2 :
x
{\displaystyle x}
x
<
−
k
⋅
ln
10
2
{\displaystyle {x}<-k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}
tanh
x
=
−
1
{\displaystyle \tanh x=-1}
Fall 3 :
x
{\displaystyle x}
−
0
,
1
<
x
<
+
0
,
1
{\displaystyle -0{,}1<x<+0{,}1}
tanh
x
=
sinh
x
e
x
−
sinh
x
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\mathrm {e} ^{x}-\sinh x}}}
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots }
Fall 4 : Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
tanh
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
tanh
{\displaystyle \tanh }
f
′
=
1
−
f
2
{\displaystyle f^{\prime }=1-f^{2}}
1
2
f
′
′
=
f
3
−
f
=
f
(
f
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }=f^{3}-f=f(f^{2}-1)}
mit
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime }(\infty )=0}
tanh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
2
x
)
cosh
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
+
i
sin
(
2
y
)
cosh
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
{\displaystyle \tanh(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+i\,{\frac {\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}}
tanh
(
i
y
)
=
i
tan
y
{\displaystyle \tanh(i\,y)=i\,\tan y}
coth
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
2
x
)
cosh
(
2
x
)
−
cos
(
2
y
)
+
i
−
sin
(
2
y
)
cosh
(
2
x
)
−
cos
(
2
y
)
{\displaystyle \coth(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+i\,{\frac {-\sin(2y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}}
coth
(
i
y
)
=
−
i
cot
y
{\displaystyle \coth(i\,y)=-i\,\cot y}
Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung ). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form
v
˙
=
−
g
+
k
v
2
{\displaystyle {\dot {v}}=-g+kv^{2}}
Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit
v
g
=
−
g
k
<
0
{\displaystyle v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {g}{k}}}<0}
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit:
v
(
t
)
=
v
g
⋅
tanh
(
g
k
t
+
c
)
{\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \tanh \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}
c
=
artanh
v
(
0
)
v
g
≥
0
{\displaystyle c=\operatorname {artanh} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}\geq 0}
beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit:
v
(
t
)
=
v
g
⋅
coth
(
g
k
t
+
c
)
{\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \coth \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}
c
=
arcoth
v
(
0
)
v
g
>
0
{\displaystyle c=\operatorname {arcoth} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}>0}
Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik : Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie -Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen
δ
n
=
n
⋅
tanh
E
2
k
B
T
{\displaystyle \delta n=n\cdot \tanh {\frac {E}{2k_{\mathrm {B} }T}}}
k
B
{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}
Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
B
J
(
x
)
=
1
J
[
(
J
+
1
2
)
coth
(
J
x
+
x
2
)
−
1
2
coth
x
2
]
{\displaystyle B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\coth \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\coth {\frac {x}{2}}\right]}
Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
H
(
t
)
=
H
g
coth
t
t
c
h
{\displaystyle H(t)=H_{g}\coth {\frac {t}{t_{ch}}}}
t
c
h
=
2
3
H
g
{\displaystyle t_{ch}={\frac {2}{3H_{g}}}}
H
g
=
Ω
Λ
,
0
H
0
{\displaystyle H_{g}={\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
H
0
{\displaystyle H_{0}}
Ω
Λ
,
0
{\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}
Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf:
Ω
Λ
(
t
)
=
tanh
2
(
t
/
t
c
h
)
{\displaystyle \Omega _{\Lambda }(t)=\tanh ^{2}(t/t_{ch})}
![{\displaystyle \tanh x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e78a7111a0801ba3a0b0c604c501c7b161da19e0)
![B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\coth \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\coth {\frac {x}{2}}\right]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908e314179a7227dfef7fc0313ae6a9da8801494)
