Graph des Tangens hyperbolicus
Graph des Kotangens hyperbolicus
Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen . Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens .
Tangens hyperbolicus:
y
=
tanh
x
{\displaystyle y=\tanh \,x}
Kotangens hyperbolicus:
y
=
coth
x
{\displaystyle y=\coth \,x}
tanh
x
=
sinh
x
cosh
x
=
e
x
−
e
−
x
e
x
+
e
−
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
=
1
−
2
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}=1-{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
coth
x
=
cosh
x
sinh
x
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
=
e
2
x
+
1
e
2
x
−
1
=
1
+
2
e
2
x
−
1
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}+1}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}=1+{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}}
Hierbei bezeichnen
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
und
cosh
x
{\displaystyle \cosh x}
den Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus .
Tangens hyperbolicus
Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
−
∞
<
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x<+\infty }
;
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
Wertebereich
−
1
<
f
(
x
)
<
1
{\displaystyle -1<f\left(x\right)<1}
−
∞
<
f
(
x
)
<
−
1
{\displaystyle -\infty <f\left(x\right)<-1}
;
1
<
f
(
x
)
<
+
∞
{\displaystyle 1<f\left(x\right)<+\infty }
Periodizität
keine
keine
Monotonie
streng monoton steigend
x
<
0
{\displaystyle x<0}
streng monoton fallend
x
>
0
{\displaystyle x>0}
streng monoton fallend
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten
x
→
+
∞
:
f
(
x
)
→
+
1
{\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}
x
→
−
∞
:
f
(
x
)
→
−
1
{\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}
x
→
+
∞
:
f
(
x
)
→
+
1
{\displaystyle x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1}
x
→
−
∞
:
f
(
x
)
→
−
1
{\displaystyle x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1}
Nullstellen
x
=
0
{\displaystyle x=0}
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
x
=
0
{\displaystyle x=0}
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
(
0
,
0
)
{\displaystyle \left(0,0\right)}
keine
Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei
u
∈
R
{\displaystyle u\in \mathbb {R} }
, sodass
coth
u
=
u
{\displaystyle \coth \,u=u}
.
Sie liegen bei
u
±
=
±
1,199
67864
…
{\displaystyle u_{\pm }=\pm 1{,}19967864\dots }
(Folge A085984 in OEIS )
Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion
tanh
:
R
→
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle \tanh \colon \mathbb {R} \rightarrow (-1,1)}
. Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus . Sie ist für Zahlen x aus dem Intervall
(
−
1
,
1
)
{\displaystyle (-1,1)}
definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an.
Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:
artanh
x
=
1
2
ln
1
+
x
1
−
x
.
{\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}.}
Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:
arcoth
x
=
1
2
ln
x
+
1
x
−
1
{\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
d
d
x
tanh
x
=
1
−
tanh
2
x
=
1
cosh
2
x
=
sech
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x}
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
1
sinh
2
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}
Die
n
{\displaystyle n}
-te Ableitung ist gegeben durch
d
n
d
z
n
tanh
z
=
2
n
+
1
e
2
z
(
1
+
e
2
z
)
n
+
1
∑
k
=
0
n
−
1
(
−
1
)
k
A
n
,
k
e
2
k
z
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\tanh z={\frac {2^{n+1}\mathrm {e} ^{2z}}{(1+\mathrm {e} ^{2z})^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A_{n,k}\,\mathrm {e} ^{2kz}}
mit den Euler-Zahlen An,k .
Es gilt das Additionstheorem
tanh
(
α
+
β
)
=
tanh
α
+
tanh
β
1
+
tanh
α
tanh
β
{\displaystyle \tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}}
analog dazu:
coth
(
α
+
β
)
=
1
+
coth
α
coth
β
coth
α
+
coth
β
{\displaystyle \coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}}
∫
tanh
x
d
x
=
ln
cosh
x
+
C
{\displaystyle \int \tanh x\,\mathrm {d} x=\ln \cosh x+C}
∫
coth
x
d
x
=
ln
|
sinh
x
|
+
C
{\displaystyle \int \coth x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sinh x}|+C}
tanh
x
=
sgn
x
[
1
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
2
e
−
2
k
|
x
|
]
{\displaystyle \tanh x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]}
tanh
x
=
∑
k
=
0
∞
8
x
(
2
k
+
1
)
2
π
2
+
4
x
2
{\displaystyle \tanh x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8x}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}}
coth
x
=
1
x
+
∑
k
=
1
∞
2
x
k
2
π
2
+
x
2
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}}
Die Taylorreihe des Tangens hyperbolicus lautet:
tanh
x
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
⋅
B
2
n
⋅
x
2
n
−
1
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
⋅
2
2
n
+
1
π
2
n
⋅
λ
(
2
n
)
⋅
x
2
n
−
1
=
x
−
1
3
x
3
+
2
15
x
5
−
17
315
x
7
+
⋯
{\displaystyle \tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots }
Hierbei steht Bₙ für die Bernoulli-Zahlen und λ(n) für die Dirichletsche Lambdafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π/2.
Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:
L
(
x
)
=
coth
x
−
1
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
⋅
2
π
2
n
⋅
ζ
(
2
n
)
⋅
x
2
n
−
1
=
1
3
x
−
1
45
x
3
+
2
945
x
5
−
1
4725
x
7
+
⋯
{\displaystyle \mathrm {L} (x)=\coth x-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2}{\pi ^{2n}}}\cdot \zeta (2n)\cdot x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots }
Diese Funktion wird Langevin-Funktion genannt.
Dabei steht ζ(n) für die Riemannsche Zetafunktion . Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.
Johann Heinrich Lambert zeigte folgende Formel:
tanh
x
=
x
1
+
x
2
3
+
x
2
5
+
…
{\displaystyle \tanh x={\frac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\ldots }}}}}}}
Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel
tanh
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion
e
x
{\displaystyle {e}^{x}}
zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:
Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird
Fall 1 :
x
{\displaystyle x}
ist eine große positive Zahl mit
x
>
k
⋅
ln
10
2
{\displaystyle {x}>k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}
:
tanh
x
=
+
1
{\displaystyle \tanh x=+1}
,
wobei
k
{\displaystyle k}
die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Fall 2 :
x
{\displaystyle x}
ist eine kleine negative Zahl mit
x
<
−
k
⋅
ln
10
2
{\displaystyle {x}<-k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}}
:
tanh
x
=
−
1
{\displaystyle \tanh x=-1}
Fall 3 :
x
{\displaystyle x}
ist nahe an 0, z. B. für
−
0
,
1
<
x
<
+
0
,
1
{\displaystyle -0{,}1<x<+0{,}1}
:
tanh
x
=
sinh
x
e
x
−
sinh
x
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\mathrm {e} ^{x}-\sinh x}}}
sinh
x
{\displaystyle \sinh x}
lässt sich hier über die Taylorreihe
sinh
x
=
x
+
x
3
3
!
+
x
5
5
!
+
x
7
7
!
+
…
{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots }
sehr genau berechnen.
Fall 4 : Alle übrigen
x
{\displaystyle x}
:
tanh
x
=
e
2
x
−
1
e
2
x
+
1
{\displaystyle \tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}}
tanh
{\displaystyle \tanh }
löst folgende Differentialgleichungen:
f
′
=
1
−
f
2
{\displaystyle f^{\prime }=1-f^{2}}
oder
1
2
f
′
′
=
f
3
−
f
=
f
(
f
2
−
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }=f^{3}-f=f(f^{2}-1)}
mit
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
und
f
′
(
∞
)
=
0
{\displaystyle f^{\prime }(\infty )=0}
tanh
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
2
x
)
cosh
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
+
i
sin
(
2
y
)
cosh
(
2
x
)
+
cos
(
2
y
)
{\displaystyle \tanh(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+i\,{\frac {\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}}
tanh
(
i
y
)
=
i
tan
y
{\displaystyle \tanh(i\,y)=i\,\tan y}
coth
(
x
+
i
y
)
=
sinh
(
2
x
)
cosh
(
2
x
)
−
cos
(
2
y
)
+
i
−
sin
(
2
y
)
cosh
(
2
x
)
−
cos
(
2
y
)
{\displaystyle \coth(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+i\,{\frac {-\sin(2y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}}
coth
(
i
y
)
=
−
i
cot
y
{\displaystyle \coth(i\,y)=-i\,\cot y}
Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung ). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form
v
˙
=
−
g
+
k
v
2
{\displaystyle {\dot {v}}=-g+kv^{2}}
mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit
v
g
=
−
g
k
<
0
{\displaystyle v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {g}{k}}}<0}
, die für
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
erreicht wird, und es gilt:
beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit:
v
(
t
)
=
v
g
⋅
tanh
(
g
k
t
+
c
)
{\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \tanh \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}
mit
c
=
artanh
v
(
0
)
v
g
≥
0
{\displaystyle c=\operatorname {artanh} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}\geq 0}
beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit:
v
(
t
)
=
v
g
⋅
coth
(
g
k
t
+
c
)
{\displaystyle v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \coth \left({\sqrt {gk}}t+c\right)}
mit
c
=
arcoth
v
(
0
)
v
g
>
0
{\displaystyle c=\operatorname {arcoth} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}>0}
Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik : Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie -Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen
δ
n
=
n
⋅
tanh
E
2
k
B
T
{\displaystyle \delta n=n\cdot \tanh {\frac {E}{2k_{\mathrm {B} }T}}}
, wobei
k
B
{\displaystyle k_{\mathrm {B} }}
die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
B
J
(
x
)
=
1
J
[
(
J
+
1
2
)
coth
(
J
x
+
x
2
)
−
1
2
coth
x
2
]
{\displaystyle B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\coth \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\coth {\frac {x}{2}}\right]}
Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch
H
(
t
)
=
H
g
coth
t
t
c
h
{\displaystyle H(t)=H_{g}\coth {\frac {t}{t_{ch}}}}
, wobei
t
c
h
=
2
3
H
g
{\displaystyle t_{ch}={\frac {2}{3H_{g}}}}
eine charakteristische Zeitskala ist und
H
g
=
Ω
Λ
,
0
H
0
{\displaystyle H_{g}={\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}}
der Grenzwert des Hubble-Parameters für
t
→
∞
{\displaystyle t\to \infty }
ist (
H
0
{\displaystyle H_{0}}
ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,
Ω
Λ
,
0
{\displaystyle \Omega _{\Lambda ,0}}
der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf:
Ω
Λ
(
t
)
=
tanh
2
(
t
/
t
c
h
)
{\displaystyle \Omega _{\Lambda }(t)=\tanh ^{2}(t/t_{ch})}
.