Raute

Eigenschaften einer Raute.

Ein ebenes Viereck, bei dem alle vier Seiten gleich lang sind, heißt Raute (Plural: Rauten) oder Rhombus (Plural: Rhomben). Dabei sind gegenüberliegende Seiten parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Darstellungen und Bezeichnungen

Die Symboldarstellungen befinden sich im Unicode-Block Geometrische Formen. Das Zeichen U+25C6 ◆ heißt „schwarze Raute“, U+25C7 ◇ „weiße Raute“, U+25CA ◊ „Rhombus“.

Neben Raute und Rhombus wird manchmal auch der Ausdruck Karo verwendet. Heraldische Stilelement heißen auch Wecke und Spindel. Englisch spricht man von diamond, Diamant.

Mitunter werden fälschlicherweise auch Parallelogramme als Rauten bezeichnet. Die Raute ist jedoch nur eine Spezialform des Parallelogramms. Ein Spezialfall der Raute wiederum ist das Quadrat, das, auf der Spitze stehend, manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet wird (heraldisch dieses Kantenwürfel).

Geometrie

Beispiel eines Rhombus

Eine Raute oder ein Rhombus ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten (gleichseitiges Viereck).

Folgerungen

• Es ist konvex.
• Gegenüberliegende Seiten sind parallel.
• Die beiden Diagonalen sind Symmetrieachsen.
• Die Diagonalen stehen aufeinander senkrecht und halbieren einander.
• Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel ergänzen einander auf 180°.
• Jeder Innenwinkel wird durch eine Diagonale halbiert.
• Jede Raute besitzt einen Inkreis, aber nur die rechtwinkelige (also das Quadrat) einen Umkreis.

Die Raute ist ein Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten. Eine Raute, für die man einen rechten Winkel fordert, ist schon ein Quadrat. Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke (wie zum Beispiel die Seitenlänge a und einer der beiden Winkel) notwendig.

Formeln zur Raute (zum Rhombus)
Flächeninhalt	$A \, = \frac{1}{2} \cdot \overline{AC} \cdot \overline{BD}$ $A \, = \, a \cdot h_a = b \cdot h_b$ $A \, = \, a^2 \cdot \sin\alpha = a^2 \cdot \sin\beta$
Umfang	$u \, = \, 4 \cdot a$
Diagonalenlänge	$e \, = \, 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\beta}{2}$
Diagonalenlänge	$f \, = \, 2 \cdot a \cdot \sin\frac{\alpha}{2} = 2 \cdot a \cdot \cos\frac{\beta}{2}$
Inkreisradius	$\rho \, = \, \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sin\alpha$
Länge einer Seite	$a\,$
Größe des Innenwinkels bei A	$\alpha\,$
Größe des Innenwinkels bei B	$\beta\,$
Diagonalenlängen	$e = \overline{AC}; \quad f = \overline{BD}$

Vorkommen und Anwendung

Zum Stern schließen sich nur diejenigen Rhomben, die die Bedingung erfüllen, dass der Zentriwinkel, also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt, gleich $\frac{360^\circ}{n}$ für eine natürliche Zahl $n$ ist. Sie bilden dann einen n-zackigen Stern. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rhomben in ihrer Spitze aneinanderfügen, und ergeben dann pyramidenförmige Spitzen.

• Praktische Anwendungen:
  • Rautensterne wirken neutral, Sterne aus Trapezen spitz, also dynamisch, wenn die lange Halbdiagonale außen liegt, andernfalls stumpf. Das wird im Dekorationswesen bewusst verwendet.
  • Das Rhombendach ist aus vier rautenförmigen Dachflächen zusammengesetzt. Es erlaubt zu quadratischen Grundrissen um 45 Grad versetzte Dachschrägen (die das Wasser nicht über die Portale ableiten).

• 

  Sechszackiger Rautenstern (an der Diagonale koloriert)

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  Dachlösung in Rauten (Marienkirche Dortmund)

Durch seine Definition eignet sich jeder Rhombus für eine flächendeckende Kachelung, aber nur in zwei Hauptrichtungen (platonische Parkettierung). Hier bildet die Rautenparketierung (mit ihrer Sonderform, dem Quadratgitter, also einem orthogonalen Raster) eine der 17 möglichen Symmetriegruppen der Parkettierungen.

• eine Besonderheit ist die aperiodische (quasikristalline) Penrose-Parkettierung zweier Rauten mit 36°/144° und 72°/108°.
• Technische Anwendungen:
  • Dachflächen werden in Rautendeckung geschlossen. Diese hat gute Wasserleiteigenschaften, da das Wasser an der unteren Spitze abtropft, und braucht nur eine Nagelung an der oberen Spitze. Sie eignet sich für Flachformplatten wie Eternit oder Blechschindeln und wurde auch bei Holzschindelzierat angewandt.
  • Bei der Rhombus- oder Rauten-Schalung handelt es sich im mathematischen Sinne meist nicht um rautenförmige Holzprofile, sondern um Parallelogramme (Querschnitt der liegend montierten Schallatten, die dann ebenfalls eine definierte Tropfkante haben).

• 

  Flächenfüllende, schiefwinklig-platonische Kachelung als Dekorationsmuster (Staatsflagge Bayerns (Rautenflagge), heraldische Fachsprache: gerautet)

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  Rhombenparketierung mit 3D-Effekt (Kolorierungvariante des Dreieckgitters)

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  Penrose-Parkettierung

Ein Rhomboeder ist ein Polyeder, dessen Körper ausschließlich von Rauten begrenzt ist.

Weblinks

 Commons: Raute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wiktionary: Raute – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Weiterführende Informationen, Berechnungsbeispiele und Abbildungen
• Beschreibung einer Raute inklusive Konstruktion und Herleitung